Quadriláteros

1. Lados opostos não compartilham um vértice: AB e CD formam um desses pares.
2. Diagonais ligam vértices não consecutivos: AC e BD. AD é lado, pois fecha o contorno.

1. A soma é $x+2x+2x+3x=360^\circ$, isto é, $8x=360^\circ$.
2. Logo, $x=45^\circ$. As quatro medidas são 45, 90, 90 e 135 graus: positivas, menores que 180 graus e com soma 360 graus.

1. O quadrado tem quatro ângulos retos, portanto é retângulo, e quatro lados iguais, portanto é losango.
2. Ambas as famílias são de paralelogramos. As afirmações inversas não são garantidas: as propriedades adicionais precisam ser verificadas.

1. O paralelogramo tem dois pares de lados opostos paralelos; o trapézio, nesta convenção, tem exatamente um.
2. Há fontes que adotam pelo menos um par. Nesse outro uso do nome, os paralelogramos passam a ser incluídos.

1. Ângulos consecutivos são suplementares: $\widehat B=180^\circ-67^\circ=113^\circ$.
2. Ângulos opostos são iguais, portanto o ângulo em C mede 67 graus.

1. Os lados opostos têm comprimentos iguais; a volta completa contém dois lados de cada medida.
2. Assim, $P=2(7{,}5+4)=23$ cm.

1. A divisão mútua das diagonais ao meio é uma caracterização do paralelogramo.
2. Perpendicularidade pode ocorrer em um deltoide que não é paralelogramo; um par paralelo também ocorre em trapézios. Um único par de lados consecutivos iguais não garante dois pares de paralelas.

1. AO = OC, portanto $x+2=2x-3$, dando $x=5$.
2. Cada metade mede 7 cm. Assim, $AC=AO+OC=14$ cm.

1. A diagonal é a hipotenusa: $3^2+b^2=5^2$.
2. Logo, $b^2=25-9=16$ e, por ser comprimento positivo, $b=4$ cm.

1. A recíproca correta exige que o quadrilátero já seja paralelogramo.
2. Um trapézio isósceles com bases diferentes tem diagonais iguais e não é retângulo, fornecendo um contraexemplo à conclusão sem essa hipótese.

1. As metades das diagonais medem 5 cm e 12 cm e são perpendiculares.
2. Cada lado mede $\ell=\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm. O perímetro é $4\cdot13=52$ cm.

1. AC bisseta o ângulo em A, que mede $2\cdot38^\circ=76^\circ$.
2. Como o losango é paralelogramo, os ângulos consecutivos são suplementares: $\widehat B=180^\circ-76^\circ=104^\circ$.

1. Da relação $d=\ell\sqrt2$, temos $\ell=8/\sqrt2$.
2. Racionalizando, $\ell=4\sqrt2$ cm. O lado é menor que a diagonal.

1. No paralelogramo, diagonais iguais garantem retângulo e diagonais perpendiculares garantem losango.
2. A figura pertence às duas famílias ao mesmo tempo: é quadrado. A hipótese de paralelogramo é essencial.

1. Os ângulos junto à mesma base AB são iguais, logo B mede 72 graus.
2. A com D e B com C são suplementares. Portanto, C e D medem $180^\circ-72^\circ=108^\circ$.

1. A diferença entre as bases é 12 cm, dividida em duas sobras iguais de 6 cm junto às alturas.
2. Cada triângulo lateral tem hipotenusa de 10 cm e cateto horizontal de 6 cm. Assim, $h^2=10^2-6^2=64$ e $h=8$ cm, usando a raiz positiva.
3. O lado inclinado de 10 cm não é a altura; ele é a hipotenusa do triângulo usado no cálculo.

1. A base média liga os pontos médios dos lados não paralelos: $9=(12+b)/2$.
2. Logo, $18=12+b$ e $b=6$ cm. As condições $12>6>0$ são satisfeitas.

1. O segmento que liga pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado.
2. Seu comprimento é a metade: $MN=18/2=9$ cm.

AC = BD = 4 cm, mas AO ≠ OC. As diagonais não se dividem mutuamente ao meio, portanto a figura não é paralelogramo nem quadrado.

1. Somando as partes, $AC=3+1=4$ cm e $BD=2+2=4$ cm. As diagonais são iguais e a perpendicularidade já foi dada.
2. Se fosse quadrado, seria paralelogramo e O seria ponto médio de ambas as diagonais. Porém, AO = 3 cm é diferente de OC = 1 cm.
3. Assim, os dados satisfazem as duas condições citadas e não produzem um quadrado: são um contraexemplo. Não foi preciso estimar nenhum ângulo pela aparência.

1. Os pontos médios formam um paralelogramo com dois lados de 5 cm e dois de 7 cm.
2. Logo, $P=2(5+7)=24$ cm. Isso equivale à soma $10+14$ das diagonais originais.

ABCD é quadrado, com lado $6\sqrt2$ cm e perímetro $24\sqrt2$ cm. EFGH também é quadrado, com lado de 6 cm e perímetro de 24 cm.

1. A divisão mútua ao meio garante que ABCD é paralelogramo. Dentro dessa família, diagonais iguais garantem retângulo e diagonais perpendiculares garantem losango. Portanto, ABCD é quadrado.
2. Cada lado de ABCD é hipotenusa de um triângulo de catetos 6 cm e 6 cm: $\ell=6\sqrt2$ cm. Seu perímetro é $24\sqrt2$ cm.
3. Pelo teorema de Varignon, EFGH é paralelogramo. Seus lados são paralelos às diagonais originais e medem suas metades: todos têm 6 cm e os consecutivos são perpendiculares. Logo, EFGH é quadrado.
4. O perímetro de EFGH é $4\cdot6=24$ cm, também obtido por $AC+BD=12+12$.