Polígonos

1. O contorno precisa ser formado por segmentos e ser fechado e simples.
2. A terceira descrição atende a essas condições. Uma curva, uma abertura ou um cruzamento entre lados não consecutivos impede aplicar a convenção adotada.

1. Heptágono tem 7 lados; octógono, 8; eneágono, 9; e decágono, 10.
2. Nonágono é outro nome aceito para o polígono de nove lados.

1. Os extremos da diagonal pertencem ao polígono, mas o segmento que os une não fica inteiramente em sua região.
2. Isso viola a condição de convexidade. A diagonal continua sendo uma diagonal porque liga vértices não consecutivos.

1. 70 mm correspondem a 7 cm.
2. Na mesma unidade, $P=3+4+5+6+7=25$ cm.

1. A contagem por vértice é $d_v=n-3$.
2. Como $n-3=8$, temos $n=11$. Não usamos a fórmula do total de diagonais para uma contagem por vértice.

1. O hexágono tem seis vértices e de cada um partem $6-3=3$ diagonais.
2. Cada diagonal aparece em duas dessas contagens, portanto $d=6\cdot3/2=9$.

1. Da fórmula do total, $n(n-3)=88$, logo $n^2-3n-88=0$.
2. Fatoramos $(n-11)(n+8)=0$. A raiz $-8$ não representa uma contagem de lados. A válida é $n=11$.

Não. O pentágono tem cinco diagonais e o hexágono tem nove; a contagem cresce com o número de lados.

1. Para $n=3,4,5,6$, os totais são, respectivamente, 0, 2, 5 e 9.
2. A diferença entre as contagens de n + 1 e n lados é $d(n+1)-d(n)=n-1$, positiva para $n\ge3$. Portanto, a contagem aumenta estritamente.
3. Não existe um número inteiro de lados entre 5 e 6. Assim, sete diagonais não ocorre; arredondar uma raiz mudaria o problema.

1. Usamos $(n-2)\cdot180^\circ=1080^\circ$.
2. Dividindo por 180 graus, $n-2=6$; portanto $n=8$.

1. A soma interna vale $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$.
2. Os quatro conhecidos somam $300^\circ$. O restante é $540^\circ-300^\circ=240^\circ$.
3. Esse ângulo é maior que 180 graus, caracterizando um vértice reentrante. Portanto, o pentágono não é convexo.

1. Os quatro externos conhecidos somam $260^\circ$.
2. A soma dos cinco é uma volta: $360^\circ$. Logo o quinto mede $360^\circ-260^\circ=100^\circ$. A figura não precisa ser regular.

1. O externo adjacente mede $180^\circ-160^\circ=20^\circ$.
2. Como os externos são iguais, $n=360/20=18$.

1. Os ângulos centrais dividem uma volta: $n=360/45=8$.
2. O externo do octógono regular também mede 45 graus. O interno é seu suplemento: $i=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

1. Regularidade exige lados iguais e ângulos iguais ao mesmo tempo.
2. O retângulo dado é equiângulo, mas não é equilátero, pois 3 cm e 5 cm são diferentes. Um quadrado seria regular.

1. Os triângulos centrais do hexágono regular são equiláteros. Assim, seu raio mede 4 cm.
2. O apótema e a metade do lado são catetos de um triângulo retângulo: $a^2+2^2=4^2$.
3. Logo $a^2=12$. Como a é positivo, $a=\sqrt{12}=2\sqrt3$ cm.

10 lados, 35 diagonais e perímetro de 25 cm.

1. Se e é o externo, o interno é 4e. O par é suplementar: $5e=180^\circ$, então $e=36^\circ$.
2. Como o polígono é regular, os externos são iguais e somam uma volta: $n=360/36=10$. É um inteiro ao menos igual a três.
3. O total de diagonais é $10\cdot7/2=35$.
4. O perímetro é $P=10\cdot2{,}5=25$ cm.