Circunferência e círculo

1. A circunferência é o conjunto dos pontos à distância r > 0 do centro.
2. O círculo reúne esses pontos e os que estão a uma distância menor. O comprimento do contorno e a área da região são grandezas diferentes.

1. O diâmetro reúne dois raios: $d=2\cdot7{,}5=15$ cm.
2. Uma corda só é diâmetro quando passa pelo centro.

1. A perpendicular do centro divide a corda ao meio. Se x é a metade, $x^2+5^2=13^2$.
2. Assim, $x^2=144$ e $x=12$ cm. A corda inteira mede $2\cdot12=24$ cm.

1. Com raio fixo, o quadrado da metade da corda é r² menos o quadrado de sua distância ao centro.
2. Uma distância menor produz uma metade maior. Por isso, a corda maior é a mais próxima do centro.

1. Os dois arcos completam a volta: $360^\circ-118^\circ=242^\circ$.
2. O resultado é maior que 180 graus, coerente com o arco maior.

1. A distância perpendicular do centro à reta é igual ao raio.
2. Somente o pé dessa perpendicular pertence ao contorno; a reta é tangente.

1. A diferença dos raios é $7-3=4$ cm, igual à distância entre os centros.
2. Como os raios são diferentes, ocorre tangência interna, com um único ponto comum.

1. São concêntricas distintas: um ponto não pode estar simultaneamente a 6 cm e a 2 cm do mesmo centro.
2. O círculo menor está dentro do maior, mas seus contornos não se encontram.

1. O raio é perpendicular à tangente. Portanto, $PT^2=13^2-5^2=144$.
2. O comprimento é a raiz positiva, PT = 12 cm.

1. As tangentes de P têm comprimentos iguais: $2x+1=x+6$, logo $x=5$.
2. Substituindo, $PT=2\cdot5+1=11$ cm e $PU=5+6=11$ cm.

1. O inscrito mede metade do arco interceptado: $146^\circ/2=73^\circ$.
2. O arco escolhido não passa pelo vértice P.

1. Como AB é diâmetro, o ângulo em P é reto. AB é a hipotenusa.
2. Então $PB^2=13^2-5^2=144$ e $PB=12$ cm.

1. O arco interceptado foi especificado, mesmo sendo maior: $230^\circ/2=115^\circ$.
2. Trocar pelo arco menor de 130 graus alteraria o ângulo considerado.

1. Pelo teorema do ângulo de segmento, $\alpha=100^\circ/2=50^\circ$.
2. A abertura adjacente de 130 graus corresponderia ao outro arco, de 260 graus.

1. Para vértice interior, somamos os arcos e dividimos por dois: $(70^\circ+130^\circ)/2=100^\circ$.
2. A diferença entre esses arcos não corresponde à relação de ângulos interiores.

1. A medida é metade da diferença: $(170^\circ-50^\circ)/2=60^\circ$.
2. A ordem dos arcos é afastado menos próximo.

1. Entre duas tangentes, $\alpha=180^\circ-130^\circ=50^\circ$.
2. Equivalentemente, o arco maior mede 230 graus, e $(230^\circ-130^\circ)/2=50^\circ$.

1. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares: $C=180^\circ-112^\circ=68^\circ$.
2. A relação não exige que o quadrilátero seja retângulo ou regular.

1. No interior, $PA\cdot PC=PB\cdot PD$. Logo, $4\cdot6=3\cdot PD$.
2. Dividindo por 3, PD = 8 cm. Os produtos são de partes da mesma corda.

1. O total da primeira é $PB=3+9=12$ cm.
2. Assim, $3\cdot12=4\cdot PD$, e $PD=9$ cm.
3. O trecho interno CD seria 9 − 4 = 5 cm; esse valor não é o total PD pedido.

1. A distância total é $PB=4+12=16$ cm.
2. Pela relação tangente–secante, $PT^2=4\cdot16=64$, e $PT=8$ cm.

1. A definição dá $\operatorname{Pot}(P)=3^2-5^2=9-25=-16\text{ cm}^2$.
2. O sinal negativo indica que P está no interior. Isso não torna negativos os comprimentos dos segmentos.

1. O comprimento é $L=2\pi r=2\pi\cdot6=12\pi$ cm.
2. O resultado é um comprimento, não uma área.

1. O contorno inteiro mede $2\pi\cdot12=24\pi$ cm.
2. O arco ocupa $150/360=5/12$ da volta, logo seu comprimento é $(5/12)\cdot24\pi=10\pi$ cm.

1. O raio inscrito é a distância do centro a um lado, metade de 8 cm: 4 cm.
2. A diagonal mede $8\sqrt2$ cm. O raio circunscrito é sua metade: $4\sqrt2$ cm.

1. As somas de lados opostos são iguais: $5+8=7+x$.
2. Logo, x = 6 cm. São as igualdades dos segmentos tangentes em cada vértice que justificam essa relação.

PT = 8 cm; PB = 16 cm; AB = 12 cm. PA é externo, PB é total e AB é interno.

1. P é exterior, pois $10>6$. Sua potência é $10^2-6^2=64\text{ cm}^2$.
2. O segmento tangente satisfaz $PT^2=64$, logo $PT=8$ cm.
3. Na secante, $PA\cdot PB=64$. Como $PA=4$ cm, temos $PB=16$ cm.
4. A ordem P–A–B dá $PB=PA+AB$. Portanto, $AB=16-4=12$ cm. Usar AB como total confundiria os dois trechos.

É inscritível, pois os ângulos opostos somam 180 graus. Não é circunscritível, pois as somas dos lados opostos seriam 6 cm e 10 cm, diferentes.

1. Os quatro ângulos do retângulo são retos, então cada par oposto soma 180 graus. Pelo critério do quadrilátero convexo, há uma circunferência pelos quatro vértices.
2. Também podemos localizar o centro no encontro das diagonais, pois elas são iguais e se dividem ao meio.
3. Para tangência aos quatro lados, Pitot exigiria 3 + 3 = 5 + 5. Como 6 ≠ 10, a condição necessária falha. Logo, não existe a circunferência inscrita pedida.

A potência é $4^2-5^2=-9\text{ cm}^2$. Os produtos $1\cdot9$ e $3\cdot3$ valem $9\text{ cm}^2$, o oposto da potência, porque P é interior.

1. Pela definição, $\operatorname{Pot}(P)=16-25=-9\text{ cm}^2$.
2. As partes de cada corda são comprimentos positivos: $PA\cdot PC=1\cdot9=9$ e $PB\cdot PD=3\cdot3=9$, em centímetros quadrados.
3. Para ponto interior, esses produtos valem r² − OP² = 9 cm², o oposto da potência. Não há contradição nem necessidade de atribuir comprimentos negativos aos segmentos.

1. Cada volta percorre $L=2\pi\cdot0{,}4=0{,}8\pi$ m.
2. Dividimos a distância pelo avanço por volta: $40\pi/(0{,}8\pi)=50$. As medidas foram usadas na mesma unidade.