Áreas de figuras planas

1. Uma unidade de área é uma superfície, como um quadrado de lado 1 cm, cuja área é 1 cm².
2. O perímetro soma comprimentos ao longo da borda e usa unidades como cm. A igualdade de um não determina a igualdade do outro.

1. Como $1\text{ m}=100\text{ cm}$, temos $1\text{ m}^2=100^2\text{ cm}^2=10\,000\text{ cm}^2$.
2. Multiplicamos $2{,}4\cdot10\,000=24\,000$ cm².

1. Cada metro quadrado corresponde a $10\,000$ cm². Assim, $35\,000/10\,000=3{,}5$ m².

1. A conversão é $0{,}75\cdot10\,000=7\,500$ m². Hectare já é unidade de área; não elevamos o fator 10 000 ao quadrado novamente.

1. Primeiro, $80\text{ cm}=0{,}8\text{ m}$. Então $S=2\cdot0{,}8=1{,}6$ m².
2. Multiplicar 2 por 80 sem compatibilizar as unidades não fornece uma medida diretamente em m².

1. A área é $S=7^2=49$ cm². O valor 28 cm seria o perímetro, outra grandeza.

1. O lado é positivo e satisfaz $\ell^2=81$, logo $\ell=9$ cm. O perímetro mede $4\cdot9=36$ cm.

1. A altura correspondente à base é 6 cm. Portanto, $S=12\cdot6=72$ cm².
2. O lado inclinado de 10 cm não pode substituir a altura perpendicular.

1. De $64=16h/2=8h$, obtemos $h=8$ cm. A altura é medida perpendicularmente à reta da base.

1. Os catetos são perpendiculares, logo podem ser base e altura: $S=9\cdot12/2=54$ cm².

1. Aplicamos $S=\ell^2\sqrt3/4$: $S=16\sqrt3/4=4\sqrt3$ cm².

1. A soma das bases é $20+12=32$ cm. A área é $S=32\cdot5/2=80$ cm².

1. A base média é a média das bases paralelas. Por isso $S=mh$, sem dividir por 2 novamente. Temos $63=9h$ e $h=7$ cm.

1. A fórmula fornece $84=(18+6)h/2=12h$. Portanto, $h=7$ cm.

1. A convexidade e a perpendicularidade permitem $S=Dd/2=16\cdot12/2=96$ cm².
2. Não precisamos supor que ambas as diagonais se dividam ao meio.

1. A área é $6\cdot8=48$ cm². A conta $10\cdot10/2=50$ não vale aqui: igualdade das diagonais não significa perpendicularidade.

1. A região retirada está contida na maior. A área restante é $12\cdot9-5\cdot4=108-20=88$ m².

1. A soma conta a parte comum duas vezes. Subtraindo uma contagem, $S=32+27-9=50$ cm².

1. O contorno externo mede $8+2=10$ m por $4+2=6$ m.
2. Subtraímos o interior: $S=10\cdot6-8\cdot4=60-32=28$ m².

1. A soma dos triângulos centrais dá $S=Pa/2=24\cdot3/2=36$ cm². O apótema é uma altura perpendicular ao lado.

1. O semiperímetro é $s=42/2=21$ cm. Então $S=sr=21\cdot4=84$ cm².
2. O círculo é tangente aos três lados; por isso os três triângulos com vértice no incentro têm altura 4 cm.

1. O raio mede 5 cm. Logo, $S=\pi\cdot5^2=25\pi$ cm².

1. A nova área é $\pi(2r)^2=4\pi r^2$. O fator linear 2 aparece ao quadrado.

1. O setor ocupa $120/360=1/3$ do círculo. Sua área é $(1/3)\pi\cdot6^2=12\pi$ cm².

1. Usamos o comprimento do arco, não o da corda: $S=r\ell/2=8\cdot3\pi/2=12\pi$ cm².

1. Subtraímos as áreas: $S=\pi(10^2-6^2)=64\pi$ cm². Elevar a largura 4 cm ao quadrado mediria outra região.

1. A região ocupa $1/4$ da coroa: $S=(1/4)\pi(64-16)=12\pi$ cm².

1. O setor menor tem área $16\pi/4=4\pi$ cm². O triângulo retângulo de catetos 4 e 4 tem área $4\cdot4/2=8$ cm².
2. O segmento é a diferença: $(4\pi-8)$ cm².

1. O fator linear é $1{,}2$ e o fator de área é $1{,}2^2=1{,}44$. A área final é 144% da inicial; seu aumento é de 44%.

1. A área real é $5\cdot300^2=450\,000$ cm².
2. Dividindo por $10\,000$, obtemos $45$ m². Não basta multiplicar a área pelo fator linear 300.

1. Os lados formam triângulo, pois $5+6>7$. O semiperímetro é $s=9$ cm.
2. Heron dá $S=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt6$ cm².

1. A desigualdade de existência deve ser estrita: a soma dos dois menores lados precisa superar o maior.
2. Na igualdade, os pontos estariam alinhados e a área seria zero. Isso não satisfaz as condições de um triângulo não degenerado.

ABD tem área 30 cm² e ADC tem área 45 cm²; os dois têm a mesma altura relativa à reta BC.

1. A distância perpendicular de A à reta BC é a mesma para as duas bases BD e DC.
2. Assim, $S_{ABD}:S_{ADC}=2:3$. Cada uma das cinco partes vale $75/5=15$ cm².
3. Portanto, $S_{ABD}=2\cdot15=30$ cm² e $S_{ADC}=3\cdot15=45$ cm².

Área: $(140-8\pi)\text{ m}^2$. Comprimento total da borda: $(48+8\pi)\text{ m}$.

1. O retângulo tem área $14\cdot10=140$ m². Cada disco retirado tem área $\pi\cdot2^2=4\pi$ m².
2. Como os furos não se sobrepõem, restam $(140-2\cdot4\pi)=(140-8\pi)$ m².
3. O contorno externo mede $2(14+10)=48$ m. Cada furo acrescenta uma circunferência de comprimento $2\pi\cdot2=4\pi$ m à borda.
4. O comprimento total é $(48+8\pi)$ m. Retirar material diminui a área, mas, nesta situação, aumenta o comprimento total da borda.

A área é 24 cm² e o raio inscrito mede 1,5 cm.

1. O triângulo existe: os lados são positivos e $4+13>15$. O semiperímetro é $s=(4+13+15)/2=16$ cm.
2. Por Heron, $S=\sqrt{16\cdot12\cdot3\cdot1}=\sqrt{576}=24$ cm².
3. Como $S=sr$, temos $r=S/s=24/16=1{,}5$ cm. O raio é positivo e está na unidade de comprimento, não de área.