Reta

1. Em (2,4), substituir x=2 dá y=3·2−2=4. Os demais pares falham: em x=1 seria y=1, em x=0 seria y=−2 e em x=2 a ordenada não é seis.

1. As ordenadas são iguais a −3 e as abscissas são distintas. A reta é horizontal y=−3; x continua livre para variar.

1. A abscissa é quatro nos dois pontos distintos. A reta vertical x=4 admite qualquer ordenada real.

1. Os dados repetem o mesmo ponto. Por exemplo, x=1 e y=2 passam por ele e são retas diferentes. A unicidade exige dois pontos distintos ou outra condição suficiente.

1. m=(7−1)/[2−(−2)]=6/4=3/2. A variação vertical fica no numerador e a horizontal, no denominador.

1. m=(−4−4)/[3−(−1)]=−8/4=−2. Como m é negativo, uma variação positiva de x produz uma variação negativa de y.

1. Dois pontos distintos têm a mesma abscissa, dando Δx=0 e Δy≠0. O quociente Δy/Δx seria uma divisão por zero. A reta existe, mas seu coeficiente angular real não.

1. 135° está no segundo quadrante e tem referência de 45°. Sua tangente é −1, portanto m=−1. O coeficiente é a tangente do ângulo, não o número de graus.

1. Pela forma ponto-angular, y−2=3(x−1). Distribuindo, y−2=3x−3; somando dois, y=3x−1. Em x=1, a ordenada é dois.

1. O coeficiente de x é −1 e o termo fixo é quatro. Assim m=−1 e n=4, com interseção (0,4) no eixo Oy.

1. Em y=−2x+n, substitua (3,1): 1=−6+n. Somando seis aos dois lados, n=7.

1. Isole 4y=−2x+8 e divida todos os termos por quatro: y=−x/2+2.

1. Subtraindo nove, −3x=−9; dividindo por −3, x=3. y pode ser qualquer real, portanto a reta é vertical.

1. A igualdade se reduz a −2=0, falsa para qualquer par. Como os coeficientes de x e y são ambos nulos, a expressão não define uma reta.

1. m=(5−1)/(2−0)=2 e a ordenada em x=0 é um. Assim y=2x+1, equivalente a 2x−y+1=0. Os dois pontos satisfazem essa igualdade.

1. A condição é (2−0)(k−0)=(3−0)(4−0), isto é, 2k=12. Dividir por dois dá k=6. A base A,B é distinta.

1. Multiplicar os três coeficientes por −3 produz −3x+6y−12=0. O mesmo fator precisa alcançar o termo constante, não apenas os coeficientes das coordenadas.

1. Em Ox, y=0 dá 3x=6, então x=2. Em Oy, x=0 dá 2y=6, então y=3.

1. A forma é x/p+y/q=1, conservando os interceptos com sinal: p=−3 e q=6. Em (−3,0), o lado esquerdo é um; em (0,6), também.

1. A origem satisfaz y=2x, mas não a igualdade x/p+y/q=1 para denominadores não nulos. Os interceptos não atendem às condições dessa forma.

1. Usamos o mesmo três: x=2+3=5 e y=1−2·3=1−6=−5.

1. x é fixo e qualquer y real é atingido escolhendo t=(y−4)/3. Logo obtemos toda a reta x=−1. A direção (0,3) é não nula.

1. t=0 dá (2,1) e t=1 dá (3,−1). Os valores intermediários percorrem todos os pontos entre os extremos. Não há pontos além deles nesse domínio.

1. Da primeira, t=x−2. Substituindo, y=1−2(x−2)=1−2x+4=−2x+5. Portanto 2x+y−5=0. Como t é irrestrito, temos a reta inteira.

1. Ambas as frações podem ser chamadas t. Então x=1+2t e y=−2+3t, com ponto inicial (1,−2) e direção (2,3). Os denominadores são não nulos.

1. Somando, 2x=6, portanto x=3. Na primeira, y=4−3=1. A segunda confere: 3−1=2.

m=−1/2; y=−x/2+2; x+2y−4=0; x/4+y/2=1; x=−2+6t, y=3−3t, t real. C está na reta, mas fora do segmento.

1. As variações são (6,−3), então m=−3/6=−1/2. Em A, 3=(−1/2)(−2)+n=1+n, logo n=2 e y=−x/2+2.
2. Multiplicando por dois, 2y=−x+4; reunindo, x+2y−4=0. Para Ox, y=0 dá x=4. Para Oy, x=0 dá 2y=4 e y=2. Os interceptos são (4,0) e (0,2), ambos não nulos, então a forma segmentária é x/4+y/2=1.
3. Usando A e a direção B−A=(6,−3), temos x=−2+6t, y=3−3t, com t real para a reta completa. t=0 recupera A e t=1 recupera B.
4. Em C, 6+2·(−1)−4=0, portanto C pertence à reta. Pela abscissa, 6=−2+6t dá 6t=8 e t=4/3; a ordenada é 3−3·(4/3)=−1. Como 4/3>1, C está além de B e não pertence ao segmento AB.

x−3=0; x=3, y=−2+6t, t real. Não há m real nem forma reduzida y=mx+n. Interseção (3,−1).

1. A abscissa é três nos dois pontos distintos, então a forma geral é x−3=0. A direção B−A=(0,6) é não nula, permitindo x=3, y=−2+6t.
2. O quociente para m teria (4+2)/(3−3)=6/0, que não existe nos reais. Uma expressão y=mx+n daria um único y para x=3, mas a vertical admite todos os y, por isso essa forma não a representa.
3. Na interseção, x=3. Substituindo na outra reta, y=−2·3+5=−1, portanto P=(3,−1). P satisfaz x−3=0 e y=−2x+5.
4. Na parametrização da vertical, −1=−2+6t dá t=1/6, permitido no domínio real; isso confirma o mesmo ponto.

Sempre é reta. Horizontal em k=1: y=1; vertical em k=−1: x=−1. Para k≠−1, y=−[(k−1)/(k+1)]x+2/(k+1). P pertence somente em k=1.

1. Os coeficientes a=k−1 e b=k+1 não podem ser ambos zero: isso exigiria k=1 e k=−1 ao mesmo tempo. Portanto todo k real produz uma reta.
2. Se k=1, a=0 e b=2, então 2y−2=0 e y=1, horizontal. Se k=−1, a=−2 e b=0, então −2x−2=0 e x=−1, vertical.
3. Para k≠−1, isolamos (k+1)y=−(k−1)x+2. Dividir por k+1 dá y=−[(k−1)/(k+1)]x+2/(k+1). Essa expressão não inclui o caso vertical, já tratado à parte.
4. Em P=(0,1), a igualdade original dá (k−1)·0+(k+1)·1−2=0, ou k−1=0. Logo k=1. A reta y=1 obtida nesse caso realmente contém P.

y=3x+5, x≥0; taxa de 3 reais por quilômetro e parcela fixa 5 reais. Com 29 reais, 0≤x≤8 km.

1. A taxa é m=(23−11)/(6−2)=12/4=3 reais por quilômetro. Substituindo (2,11), 11=3·2+n dá n=5 reais de parcela fixa.
2. O modelo é y=3x+5 para x≥0. Confere os dois dados: 3·2+5=11 e 3·6+5=23.
3. O orçamento exige 3x+5≤29. Subtraindo cinco, 3x≤24; dividindo por três positivo, x≤8. Intersectando com o domínio físico, 0≤x≤8. Em oito quilômetros, o preço é 29 reais.
4. Os dois registros determinam uma reta, mas não provam sozinhos que o preço do serviço segue essa reta em todas as distâncias. A hipótese dada de taxa constante mais parcela fixa é que justifica o modelo nesse domínio.