Posições relativas e distâncias

1. Os coeficientes angulares são iguais a dois e os lineares são diferentes. Igualar as expressões daria 1=3, impossível, então não há ponto comum.

1. Multiplicar todos os coeficientes da primeira por −2 produz a segunda: (−6,−4,8)=−2(3,2,−4). Dividir a segunda por −2 recupera a primeira, com todos os pontos comuns.

1. D=1·(−1)−1·1=−2≠0, portanto há uma única interseção. Somando x+y=2 e x−y=0, x=1 e y=1.

1. D=0 testa as direções. Os termos constantes ainda podem fazer as duas equações representar a mesma reta ou duas paralelas distintas.

1. D=2(k+1)−4=2k−2, que zera em k=1. Nesse valor, a segunda é 4x+2y+3=0. Dividir por dois dá 2x+y+3/2=0, com constante diferente de −1. Portanto são paralelas distintas.

1. Conservar a direção dá 2x+3y+c=0. Substituindo o ponto, 2+3(−2)+c=0, ou 2−6+c=0, então c=4. Como a constante difere de −1, não há coincidência.

1. A condição é (3/4)m₂=−1. Multiplicando por 4/3, m₂=−4/3. Apenas trocar o sinal não produz produto −1.

1. A construção é −3(x−1)−2(y−2)=0. Expandir e multiplicar por −1 dá 3x+2y−7=0. Ela contém (1,2), e 2·3+(−3)·2=0 confirma perpendicularidade.

1. A perpendicular a uma vertical é horizontal. Para conter o ponto de ordenada três, sua equação é y=3.

1. A soma de produtos é 2·(−1)+1·2=0. As direções são perpendiculares, independentemente do ponto inicial escolhido para cada reta. No plano, as retas correspondentes se encontram em ângulo reto.

1. m₁=−1 e m₂=0. A tangente do menor ângulo é |[0−(−1)]/[1+(−1)·0]|=1. No intervalo de 0° a 90°, isso corresponde a 45°.

1. O produto dos coeficientes é −1, logo as retas são perpendiculares. A tangente de 90° não existe; o ângulo existe e é reto.

1. As normais são (1,0) e (1,−1). Assim $\cos\varphi=|1|/(1\cdot\sqrt2)=\sqrt2/2$, dando φ=45°. A fórmula reduzida com dois m não serviria, pois a primeira reta é vertical.

1. A origem é (0,0). O numerador é |5·0+12·0−26|=26. O denominador é √(5²+12²)=√169=13. A distância é 26/13=2 e não pode ser negativa.

1. a=1, b=−1 e c=0. K=3−5=−2 e N=1²+(−1)²=2. Assim H=(3−1·(−2)/2,5−(−1)·(−2)/2)=(4,4). Ele está em y=x e PH tem direção (1,−1), perpendicular à direção (1,1) da reta.

1. P′=2H−P=(2·1−3,2·2−5)=(−1,−1). Assim H é o ponto médio de PP′ e o segmento é perpendicular ao eixo de reflexão.

1. A projeção é (2,4). O comprimento é a diferença absoluta das abscissas: |−3−2|=5. A ordenada não muda no trajeto perpendicular.

1. Divida a segunda por −2, obtendo 5x+12y−39=0. Então d=|−39−(−13)|/√(25+144)=26/13=2. O fator negativo também precisa alcançar a constante.

1. As duas retas compartilham o ponto de encontro. Escolher esse ponto em ambas produz comprimento zero, que é o menor possível.

1. |k−1|=4 dá k−1=4 ou k−1=−4. Somando um, k=5 ou k=−3. O módulo considera os dois lados da reta.

1. Igualar as distâncias aos eixos dá |x|=|y|, equivalente a x=y ou x=−y. As duas retas passam pela origem e dividem os ângulos dos eixos em partes iguais.

1. A igualdade |y+2|=|y−4| tem a possibilidade y+2=−y+4, que dá 2y=2 e y=1. A outra possibilidade exige 2=−4 e é impossível.

1. O ponto médio é M=(3,2), e B−A=(4,2). A mediatriz é 4(x−3)+2(y−2)=0. Distribuir dá 4x+2y−16=0; dividir por dois produz 2x+y−8=0. Sua normal é paralela a AB, portanto ela é perpendicular ao segmento.

1. B−A=(4,1) e C−A=(1,3). A área é |4·3−1·1|/2=|11|/2=11/2. O módulo impede área negativa.

1. A projeção na reta y=0 é (5,0), fora do segmento. $t_*$=(5·2+3·0)/4=5/2>1, então o ponto permitido mais próximo é B. PB=√[(5−2)²+3²]=√18=3√2.

1. A igualdade seria 5=0, impossível. Os dois coeficientes das coordenadas são zero, violando a condição de reta válida e tornando √(a²+b²)=0. Nenhuma distância ponto-reta é definida por essa expressão.

Paralelas distintas em k=3; concorrentes em k≠3; nunca coincidentes. Perpendiculares em k=−7. Em k=1, interseção (4,−1/2).

1. s é válida para todo k, pois seu coeficiente de y é quatro. D=1·4−2(k−1)=6−2k. D=0 somente para k=3.
2. Em k=3, s:2x+4y+2=0 se reduz a x+2y+1=0. A constante difere de −3, então são paralelas distintas. Para k≠3, são concorrentes. Não há coincidência em valor algum.
3. Perpendicularidade exige 1·(k−1)+2·4=0, isto é, k−1+8=k+7=0. Portanto k=−7, que realmente não é o caso paralelo.
4. Em k=1, s dá 4y+2=0, então y=−1/2. Em r, x+2(−1/2)−3=0 dá x−1−3=0 e x=4. Conferindo, 4−1−3=0 e 4(−1/2)+2=0.

H=(2,0), d=2√2, P′=(0,−2); o ponto médio de PP′ é H.

1. A perpendicular por P é (x−4)−(y−2)=0, ou x−y=2. Junto de x+y=2, somar as igualdades dá 2x=4, x=2 e y=0.
2. Pela fórmula, K=4+2−2=4 e N=1²+1²=2. H=(4−4/2,2−4/2)=(2,0), igual ao resultado do sistema.
3. A distância é |4|/√2=2√2. Também PH=√[(4−2)²+(2−0)²]=√8=2√2.
4. P′=2H−P=(4−4,0−2)=(0,−2). O ponto médio de P e P′ é ((4+0)/2,(2−2)/2)=(2,0)=H. A direção PP′ é (−4,−4), perpendicular à direção (1,−1) da reta.

Área 12; altura por C: x=2; mediatrizes x=3 e x+2y−5=0; O=(3,1), com OA=OB=OC=√10.

1. AB mede seis e sua reta suporte é y=0. A altura de C é quatro, então S=6·4/2=12. Pela fórmula de coordenadas, |6·4−0·2|/2 também dá 12.
2. A perpendicular a AB por C é vertical x=2. A mediatriz de AB passa por M=(3,0) e é x=3; altura e mediatriz são diferentes.
3. O ponto médio de AC é (1,2), e a direção AC é (2,4). Sua mediatriz é 2(x−1)+4(y−2)=0, ou x+2y−5=0.
4. Na interseção, x=3 e 3+2y−5=0 dão y=1. Assim O=(3,1). OA²=3²+1²=10; OB²=(3−6)²+1²=10; OC²=(3−2)²+(1−4)²=10. As três distâncias são a raiz não negativa √10.

Para P, 2√2 km, com chegada em B; para Q, 2 km, com chegada em (1,0). Até a reta y=0, ambos ficam a 2 km. Com A=B, calcula-se a distância até o único extremo.

1. A direção B−A=(2,0) tem quadrado do comprimento quatro. Para P, $t_*$=[(4−0)·2+(2−0)·0]/4=2, fora de [0,1]. O ponto mais próximo permitido é B.
2. A distância PB=√[(4−2)²+(2−0)²]=√8=2√2 km. A projeção na reta inteira seria (4,0), que não pertence ao trecho; a distância dois até ela não é permitida.
3. Para Q, $t_*$=[1·2+2·0]/4=1/2. A projeção (1,0) está no segmento e a distância é dois quilômetros. As distâncias até a reta y=0 são dois para ambos, mas só a de Q é atingida dentro do trecho.
4. Se A=B, o domínio geométrico vira um único ponto. Não se usa $t_*$ com denominador zero: a distância é a distância entre o ponto de partida e esse extremo.