Plano cartesiano e estudo do ponto

1. A primeira coordenada é a abscissa, −4. A segunda é a ordenada, 2. O sinal negativo indica a posição à esquerda da origem.

1. No primeiro ponto, x=−2 e y=5; no segundo, x=5 e y=−2. A ordem informa a função de cada número e não pode ser ignorada.

1. A abscissa é zero, portanto o ponto está no eixo vertical. A ordenada negativa o coloca abaixo da origem. Os eixos não pertencem aos quadrantes.

1. A abscissa é positiva e a ordenada negativa: direita e abaixo da origem, no IV quadrante.

1. A ordenada três já é positiva. A abscissa precisa atender a t−2>0, isto é, t>2. Em t=2, o ponto fica no eixo Oy e não pertence ao quadrante.

1. Pelas abscissas, 2a−1=7 dá 2a=8, portanto a=4. Pelas ordenadas, b+3=−2 dá b=−5. As duas condições devem valer simultaneamente.

1. Conservamos a coordenada horizontal −4 e zeramos a vertical para chegar a Ox. A projeção é um ponto, não apenas a distância quatro.

1. Até Ox medimos a separação vertical |3|=3. Até Oy, a horizontal |−4|=4. Comprimentos não são negativos.

1. Final menos inicial: Δx=3−(−2)=5 e Δy=−1−4=−5. A variação vertical negativa informa o sentido para baixo.

1. As ordenadas coincidem. A distância horizontal é |4−(−3)|=|7|=7.

1. As abscissas coincidem. A distância vertical é |−2−5|=|−7|=7. O módulo transforma a diferença com sinal em medida não negativa.

1. As variações são 6 e 8. Logo $d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Somar 6+8 daria um trajeto por direções dos eixos, e não a diagonal.

1. Calculamos $1-(-4)=5$ e $3-(-1)=4$. A distância é $\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. Não se tira a raiz de cada parcela separadamente.

1. As variações são $2-1/2=3/2$ e $1-(-1)=2$. Portanto $d=\sqrt{9/4+4}=\sqrt{25/4}=5/2$.

1. A origem é $(0,0)$. Assim $d=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$.

1. As ordenadas são iguais, então |x−1|=4. Os casos x−1=4 e x−1=−4 dão x=5 e x=−3. Não se escolhe um lado sem outra condição.

1. A igualdade das distâncias exige t²+16=9, portanto t²=−7, impossível nos reais. A separação vertical de quatro já supera a distância pedida.

1. A reflexão no eixo horizontal conserva x=−3 e troca o sinal de y=2. A imagem é (−3,−2).

1. A simetria central de centro O troca os dois sinais: −(−3)=3 e −2. A imagem é (3,−2).

1. As médias são (−4+6)/2=1 e [3+(−1)]/2=1, portanto M=(1,1). A divisão por dois se aplica às duas somas.

1. As distâncias PA e PB são $\sqrt{13}$. Porém P tem ordenada três e está fora do segmento AB, cujos pontos têm ordenada zero. O ponto médio é (0,0).

1. Desfazendo as médias, $x_B=2\cdot2-(-1)=5$ e $y_B=2\cdot1-5=-3$. As médias de A com esse B recuperam M.

1. As variações são (6,6). Um quarto delas é (3/2,3/2). Somando a A: x=1+3/2=5/2 e y=−2+3/2=−1/2.

1. A parte AP corresponde a 1/(1+2)=1/3 do total. As variações são (12,6), então P=(−2+12/3,1+6/3)=(2,3). A razão 1:2 não significa metade do percurso.

1. Na divisão externa, t=r/(r−1)=2/(2−1)=2, portanto P=(12,0). As medidas AP=12 e PB=6 confirmam 2:1. (4,0) corresponderia à divisão interna.

1. As médias dos três vértices são x=(0+6+0)/3=2 e y=(0+0+6)/3=2. O ponto (3,3) é o ponto médio de BC, não o encontro das medianas.

A: III, B: IV, C: I, D: II. Perímetro 28; diagonal 10; ambos os pontos médios são (2,2).

1. Os sinais são A=(−,−), B=(+,−), C=(+,+) e D=(−,+), dando III, IV, I e II. Nenhum vértice está sobre um eixo.
2. AB mede |5−(−1)|=6 e BC mede |6−(−2)|=8. Os lados opostos têm as mesmas medidas. O perímetro é 2·6+2·8=12+16=28.
3. Para AC, as variações são (6,8), logo $AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. A soma 6+8=14 mede o caminho A→B→C, não o segmento direto AC.
4. O ponto médio de AC é [(−1+5)/2,(−2+6)/2]=(2,2). O de BD é [(5−1)/2,(−2+6)/2]=(2,2). As duas diagonais se encontram na mesma posição central.

x=3 ou x=−7; no II quadrante, somente x=−7, portanto P=(−7,1).

1. As ordenadas coincidem. A distância exige |x−(−2)|=5, isto é, |x+2|=5.
2. As possibilidades são x+2=5 e x+2=−5. Subtraindo dois, x=3 ou x=−7. Ambas são posições reais a cinco unidades de A.
3. No II quadrante, x<0 e y>0. A ordenada um já é positiva; entre as candidatas, somente −7 é negativa.
4. Conferindo, |−7−(−2)|=|−5|=5. Assim P=(−7,1). A escolha do sinal veio da condição adicional, não da distância sozinha.

M=(2,5), I=(4,6) e E=(20,14). A divisão interna usa t=2/3; a externa, t=2.

1. As médias dão M=[(−4+8)/2,(2+8)/2]=(2,5). As variações de A a B são (12,6).
2. Na divisão interna, t=2/(1+2)=2/3. Portanto I=(−4+(2/3)·12,2+(2/3)·6)=(4,6).
3. Na externa, t=2/(2−1)=2. Assim E=(−4+2·12,2+2·6)=(20,14), além de B.
4. De A a E as variações são (24,12), e de B a E são (12,6). Logo $AE^2=24^2+12^2=576+144=720$ e $EB^2=12^2+6^2=180$. Como $720=144\cdot5$ e $180=36\cdot5$, tomar as raízes positivas dá $AE=12\sqrt5$ e $EB=6\sqrt5$. Portanto $AE/EB=(12\sqrt5)/(6\sqrt5)=2$.
5. O mesmo valor 2:1 compara comprimentos de partes em posições diferentes. No caso interno, A→I percorre dois terços de AB; no externo, A→E percorre duas vezes AB. As hipóteses interna e externa escolhem fórmulas diferentes.

C=(3,6), N=(3,3) e AG:GN=2:1; C está fora da reta horizontal AB.

1. Pela abscissa do baricentro, $1=(-3+3+x_C)/3$, então $x_C=3$. Pela ordenada, $2=(0+0+y_C)/3$, então $y_C=6$. Portanto C=(3,6).
2. A reta AB é horizontal, com ordenada zero. C tem ordenada seis, logo os três vértices não são colineares e formam um triângulo não degenerado.
3. O ponto médio de BC é N=[(3+3)/2,(0+6)/2]=(3,3). De A a N as variações são (6,3); G está em t=2/3, pois (−3+(2/3)·6,0+(2/3)·3)=(1,2).
4. As variações de A a G são (4,2); de G a N, (2,1). Assim $AG^2=4^2+2^2=20$ e $GN^2=2^2+1^2=5$. Tomar as raízes positivas dá $AG=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5$ e $GN=\sqrt5$. Dividir os comprimentos dá $AG/GN=(2\sqrt5)/\sqrt5=2$, confirmando a razão 2:1.