Parábola

1. A condição é PF=d(P,ℓ), com F fora da diretriz. A distância até uma reta é a perpendicular, não uma ligação arbitrária. Distância constante a um centro define uma circunferência.

1. A projeção do foco é (1,3). O vértice é o ponto médio entre essa projeção e F: (1,(7+3)/2)=(1,5). A distância vértice-foco é dois.

1. 4p=−20 dá p=−5. O sinal indica abertura para baixo; o comprimento VF=|p|=5 é positivo.

1. A orientação é horizontal e 4p=12, então p=3. Com vértice na origem, o foco é (3,0) e a diretriz x=−3.

1. O vértice é (−1,3), e p=8/4=2. Para eixo vertical, F=(h,k+p)=(−1,5).

1. V=(−1,2), p=−3. Então F=(−1−3,2)=(−4,2) e a diretriz é x=h−p=−1−(−3)=2.

1. O vértice é (2,(−1+5)/2)=(2,2). p=−1−2=−3, portanto a equação vertical é (x−2)²=4(−3)(y−2).

1. Substituir na forma (x−2)²=4p(y−1) dá 4=8p e p=1/2. Assim 4p=2 e a equação é (x−2)²=2(y−1).

1. A forma seria x²=4py. O ponto (3,0) produziria 9=0, impossível para qualquer p. A condição de orientação é essencial.

1. 4p=−16 dá p=−4. A corda mede 4|p|=16, sempre positiva. Ela passa pelo foco de ordenada 1−4=−3.

1. O quadrado do lado esquerdo é não negativo e oito é positivo. Então x−2≥0, isto é, x≥2. Cada x>2 permite duas ordenadas.

1. Como x²+2x=(x+1)²−1, temos y=(x+1)²−1−3=(x+1)²−4, então V=(−1,−4). O coeficiente a é um; p=1/(4a)=1/4.

1. Isole x²+6x=8y−1. Somar nove aos dois lados completa o quadrado: (x+3)²=8y−1+9=8(y+1). Logo V=(−3,−1), p=2, F=(−3,1) e diretriz y=−3.

1. Em q=0, resta (x−2)²=0, então x=2 e y é livre. A ausência de restrição em y produz uma reta, não apenas um ponto.

1. Em (0,5), (5−1)²=16 e −8(0−2)=16. Os demais pontos produzem lados diferentes: 4 e zero; zero e −8; zero e dezesseis.

1. Substituir y=2 dá x²=16, então x=±4. A ordenada continua dois nos dois pares.

1. A substituição confirma o único ponto, mas a reta vertical é paralela ao eixo. A tangente em (4,2) é y=x−2, obtida pela fórmula no ponto ou pela raiz dupla. O critério da circunferência não se generaliza a essa situação.

1. p=2 e T pertence à curva. A fórmula dá 4x=4(y+2), então y=x−2. Substituir produz (x−4)²=0.

1. A normal é 4(x−4)+4(y−2)=0, ou x+y−6=0. Ela passa por (4,2) e tem coeficiente angular −1, perpendicular à tangente de coeficiente angular um.

1. V=(3,−2) e o eixo é horizontal. No vértice, a tangente é perpendicular ao eixo, portanto vertical x=3. A fórmula no ponto dá 0=2(x−3).

1. p=2. A fórmula da tangente pelo coeficiente angular dá y=mx−pm²=2x−2·4=2x−8. O contato tem x=2pm=8 e y=pm²=8.

1. O mesmo t é usado: x=−2+6(−1)=−8 e y=1+3(−1)²=4. O quadrado de −1 é positivo.

1. A distância foco-diretriz é 2|p|. Assim 2|p|=6 e |p|=3; a corda focal mede 4|p|=12. O sinal de p dependeria da orientação.

1. A excentricidade é a razão PF/d(P,ℓ). Pela definição da parábola, as duas distâncias são iguais e o denominador é positivo; a razão vale um.

1. A borda tem x=6 e y=1,5. Então 36=4p·1,5=6p, portanto p=6. Pela fórmula, 12²/(16·1,5)=144/24=6.

1. Escreva y=ax²+8. Em (4,0), 0=16a+8 dá a=−1/2. Em y=6, 6=8−x²/2 dá x²=4 e x=±2; a largura é 2−(−2)=4.

V=(−2,1), p=2, (x+2)²=8(y−1), eixo x=−2. Corda de (−6,3) a (2,3), comprimento oito. Domínio ℝ e imagem [1,+∞). Q pertence.

1. A projeção do foco é (−2,−1). O ponto médio é V=(−2,(3−1)/2)=(−2,1), e p=3−1=2. A equação é (x+2)²=8(y−1).
2. O eixo é x=−2 e a abertura é para cima. A corda pelo foco usa y=3: (x+2)²=16, então x=−2±4. Seus extremos são (−6,3) e (2,3), e o comprimento é oito.
3. Isolar y dá y=1+(x+2)²/8. O domínio é todo ℝ, e a imagem é y≥1, com mínimo em x=−2. Todo y≥1 é atingido por x=−2±√[8(y−1)].
4. Em Q, (2+2)²=16 e 8(3−1)=16. Geometricamente, QF=4 e a distância de Q até y=−1 é |3+1|=4, conferindo a definição.

(y−2)²=4(x−2), V=(2,2), p=1, F=(3,2), diretriz x=1. Em T, tangente y=x+1 e normal x+y−7=0. No vértice, tangente x=2.

1. Agrupe 2(y²−4y)−8x+24=0. Como y²−4y=(y−2)²−4, obtemos 2(y−2)²−8−8x+24=0, ou 2(y−2)²=8x−16.
2. Dividir por dois dá (y−2)²=4(x−2). Logo V=(2,2), p=1, F=(3,2) e diretriz x=1.
3. T pertence, pois (4−2)²=4=4(3−2). A tangente é 2(y−2)=2(x+3−4), então 2y−4=2x−2 e y=x+1.
4. A normal é 2(x−3)+2(y−4)=0, ou x+y−7=0. Ela contém T e tem coeficiente angular −1, perpendicular à tangente de coeficiente angular um.
5. No vértice, a fórmula da tangente fica 0=2(x−2), dando x=2. Essa tangente vertical seria perdida se dividíssemos por tᵧ−k=0.

Tangentes y=3x−9 e y=−x−1; contatos (6,9) e (−2,1). x=2 é paralela ao eixo e não tangente.

1. Uma reta não vertical por P é y+3=m(x−2), ou y=mx−2m−3. Para x²=4y, p=1 e a tangente de coeficiente angular m tem termo constante −m².
2. Igualar os termos constantes dá −2m−3=−m², então m²−2m−3=0. Fatorando, (m−3)(m+1)=0, logo m=3 ou m=−1.
3. Para m=3, y=3x−9 e o contato é (2m,m²)=(6,9). A substituição dá x²−12x+36=(x−6)²=0.
4. Para m=−1, y=−x−1 e o contato é (−2,1). A substituição dá x²+4x+4=(x+2)²=0. Ambas as retas contêm P e os contatos satisfazem a parábola.
5. A vertical x=2 fornece apenas (2,1), mas é paralela ao eixo da parábola vertical. A tangente nesse ponto é y=x−1, não x=2; não há tangente vertical omitida.

p=5, F=(0,5), x²=20y, −5≤x≤5. T pertence; H=(4,−5), TF=TH=29/5. Tangente 2x−5y−4=0.

1. A borda tem x=±5 e y=1,25. Logo 25=4p·1,25=5p, então p=5. A equação é x²=20y e o foco (0,5). O trecho físico é −5≤x≤5.
2. Em T, x²=16 e 20y=20·(4/5)=16, portanto T pertence e está no trecho. A diretriz é y=−5, e a projeção de T nela é H=(4,−5).
3. A distância ao foco é $TF=\sqrt{4^2+(4/5-5)^2}=\sqrt{16+441/25}=\sqrt{841/25}=29/5$. A distância à diretriz é $TH=|4/5+5|=29/5$.
4. A tangente é 4x=10(y+4/5), ou 4x−10y−8=0. Dividindo por dois, 2x−5y−4=0.
5. O ponto médio de FH é (2,0), que pertence à tangente. A direção FH=(4,−10) é paralela à normal (2,−5) dessa reta: ela é mediatriz de FH, compatível com a propriedade refletora. A profundidade 1,25 não é a distância focal cinco.