Hipérbole

1. A definição é |PF₁−PF₂|=2a, com 0<2a<2c=F₁F₂. O módulo inclui as duas ordens das distâncias e, portanto, os dois ramos.

1. A diferença iguala a separação dos focos. A igualdade ocorre na reta que os contém, do foco para fora do segmento em cada lado, incluindo os focos. No interior do segmento ela é menor que oito.

1. Diferença zero significa equidistância. O lugar é a mediatriz do segmento dos focos, vertical x=0. Não é uma hipérbole própria de a>0.

1. b²=c²−a²=25−16=9. Por ser medida positiva, b=3. A relação usada é c²=a²+b².

1. O termo positivo é x²/25, então o eixo transverso é horizontal e a²=25, isto é, a=5. A orientação não é escolhida pelo maior denominador.

1. a=4,b=3 e c=√(16+9)=5. O termo positivo é y², portanto os focos são (0,−5),(0,5).

1. C=(−2,1), a=4,b=3,c=5. Somar ±5 à abscissa do centro fornece (−7,1),(3,1).

1. O caso é horizontal, a=4 e b=3. As assíntotas são y=±(b/a)x=±3x/4; x=±4 são as tangentes nos vértices, não as assíntotas.

1. Aqui a mede quatro na vertical e b três na horizontal. A subida dividida pelo percurso horizontal é a/b=4/3.

1. O centro é (1,0), c=5 e a=8/2=4. b²=25−16=9. Os focos têm a mesma abscissa, logo a orientação é vertical.

1. Agrupe 9(x²−2x)−16(y²+4y)=199. Completar dá 9(x−1)²−9−16(y+2)²+64=199. Logo 9(x−1)²−16(y+2)²=144; divida por 144.

1. Fatorar a diferença de quadrados fornece [2(x−1)−3(y+2)][2(x−1)+3(y+2)]=0. Cada fator zero define uma reta; a união das duas é o conjunto.

1. Precisamos de q+2>0, então q>−2. Não exigimos b<a; em q=14 temos b=a=4 e a hipérbole continua própria. Em q=−2 a expressão é indefinida.

1. (x−1)²/16=1+(y+2)²/9≥1. Assim |x−1|≥4, isto é, x≤−3 ou x≥5. Os extremos são vértices e estão incluídos.

1. Isolar o quadrado positivo dá (y−1)²≥16. Logo |y−1|≥4, produzindo y≤−3 ou y≥5.

1. c=√(16+9)=5, então e=c/a=5/4>1. A razão não tem unidade.

1. a=4,c=5,e=5/4. A hipérbole é horizontal; suas diretrizes são as retas verticais x=±a/e=±16/5, dentro da faixa entre os vértices.

1. L=2b²/a=2·9/4=18/4=9/2. O comprimento não é b nem 2a.

1. a=b=3, então c=3√2 e e=√2. As assíntotas y=±x são perpendiculares. O sinal de subtração impede confundir com a circunferência.

1. Isolar fornece y=2+8/(x+1), com x≠−1. A reta vertical do denominador é x=−1; longe dela o termo fracionário se aproxima de zero, dando a assíntota y=2.

1. cos(π/3)=1/2 e tan(π/3)=√3. Logo x=4/(1/2)=8 e y=3√3. A equação x²/16−y²/9=1 confere: 4−3=1.

1. Substituir dá x²/16−[x²/16−x/2+1]=1, então x/2=2 e x=4. Não há raiz dupla de uma quadrática. A reta cruza a curva; no contato de vértice, a tangente verdadeira é vertical x=4.

1. T pertence: 25/16−(81/16)/9=25/16−9/16=1. A tangente é 5x/16−(9/4)y/9=1, ou 5x/16−y/4=1. Multiplicar por dezesseis dá 5x−4y=16.

1. A normal é 16·(9/4)(x−5)+9·5(y−9/4)=0, ou 36(x−5)+45(y−9/4)=0. Dividir por nove e multiplicar por quatro dá 16x+20y−125=0. O coeficiente angular −4/5 é perpendicular ao 5/4 da tangente.

1. b/a=3/4 e |m|=1>3/4. A condição dá n=±√(16·1²−9)=±√7. São duas tangentes; y=x não é uma delas.

1. Em y=3, r²/16−1=1, então r²=32 e r=4√2, positivo. O diâmetro é o dobro: 8√2 metros.

a=5,b=12,c=13; x²/25−y²/144=1. Vértices (±5,0), assíntotas y=±12x/5, e=13/5, diretrizes x=±25/13. Conjugada: y²/144−x²/25=1, com as mesmas assíntotas.

1. A distância entre os focos é 26, então c=13. A diferença 2a=10 dá a=5. A condição 0<5<13 garante hipérbole própria.
2. b²=c²−a²=169−25=144, logo b=12. O eixo transverso é horizontal; a equação é x²/25−y²/144=1.
3. Os vértices são (−5,0),(5,0), e as assíntotas y=±(12/5)x. b>a é permitido.
4. e=c/a=13/5. As diretrizes ficam em x=±a/e=±5/(13/5)=±25/13, entre os vértices.
5. A conjugada é y²/144−x²/25=1. Nela a=12 e b=5, com eixo transverso vertical; suas assíntotas são y=±(12/5)x, iguais às originais, mas os focos são (0,±13).

(y+2)²/4−(x−1)²/9=1; C=(1,−2), a=2,b=3,c=√13. Assíntotas y+2=±(2/3)(x−1). Em T: tangente −8x+15y+20=0; normal 45x+24y−257=0. No vértice superior (1,0), tangente y=0.

1. Agrupe 4(x²−2x)−9(y²+4y)=−4. Completar dá 4(x−1)²−4−9(y+2)²+36=−4, portanto 4(x−1)²−9(y+2)²=−36.
2. Dividir por −36 fornece (y+2)²/4−(x−1)²/9=1. C=(1,−2), eixo vertical, a=2,b=3,c=√(4+9)=√13. As assíntotas são y+2=±(2/3)(x−1).
3. Em T, x−1=4 e y+2=10/3. A conferência dá (100/9)/4−16/9=25/9−16/9=1.
4. A tangente é (10/3)(y+2)/4−4(x−1)/9=1. Multiplicar por dezoito dá 15(y+2)−8(x−1)=18, então −8x+15y+20=0.
5. A normal é 9·(10/3)(x−5)+4·4(y−4/3)=0, ou 30(x−5)+16(y−4/3)=0. Dividir por dois e multiplicar por três dá 45x+24y−257=0. Seu coeficiente angular −15/8 é perpendicular ao 8/15 da tangente.
6. O vértice superior é (1,−2+2)=(1,0). A fórmula da tangente dá 2(y+2)/4=1, então y=0.

Por P: y=±(3√2/4)x+3. Contatos (−4√2,−3) para coeficiente positivo e (4√2,−3) para negativo. Pelo centro não há tangente: as candidatas seriam assíntotas.

1. Por P, y=mx+3. A condição dá 3²=16m²−9, então 16m²=18, m²=9/8 e m=±3√2/4. Os dois módulos superam b/a=3/4.
2. Para localizar os contatos, a passagem por (0,3) na fórmula no ponto exige −3tᵧ/9=1, portanto tᵧ=−3. Na hipérbole, tₓ²/16−1=1 dá tₓ²=32 e tₓ=±4√2.
3. Na reta de coeficiente positivo, o contato é (−4√2,−3); na negativa, (4√2,−3). Ambos satisfazem a curva e as respectivas retas. A vertical x=0 não tem interseção.
4. Pelo centro, n=0 levaria formalmente a m=±3/4. Esses valores violam a condição estrita |m|>b/a e dão as assíntotas y=±3x/4. A substituição nelas exige 0=1; portanto não há tangentes pelo centro.

Ramo direito de x²/25−y²/144=1, x≥5. Com y=9, a posição é (25/4,9). Percursos PF₁=85/4 e PF₂=45/4 metros, diferença dez metros e atraso 1/34 segundo.

1. A diferença de percurso é vΔt=340·(1/34)=10 metros. Como F₁ recebe depois, PF₁−PF₂=10. A separação é 26, então c=13,a=5 e b²=169−25=144.
2. A equação com módulo é x²/25−y²/144=1. O sinal positivo de PF₁−PF₂ seleciona o ramo direito x≥5, mais próximo de F₂.
3. Em y=9, x²/25=1+81/144=1+9/16=25/16. Logo x²=625/16 e x=±25/4. Só o sinal positivo pertence ao ramo selecionado.
4. Em P=(25/4,9), $PF_1=\sqrt{(25/4+13)^2+9^2}=\sqrt{5929/16+1296/16}=85/4$. Também $PF_2=\sqrt{(25/4-13)^2+9^2}=\sqrt{729/16+1296/16}=45/4$.
5. A diferença é (85−45)/4=40/4=10 metros. Dividir por 340 m/s dá 10/340=1/34 segundo. Sem o dado y=9, a diferença de tempos permitiria todo um ramo, não um ponto único.