Elipse

1. A definição fixa PF₁+PF₂=2a, com 2a>F₁F₂=2c. As parcelas podem variar; apenas sua soma permanece fixa.

1. Pela desigualdade triangular, a soma é pelo menos a separação dos focos. A igualdade ocorre exatamente no segmento entre eles; não é uma elipse não degenerada.

1. Os semieixos são a=10 e b=6. Então c²=10²−6²=100−36=64 e c=8. A distância entre os focos seria 2c=16.

1. O eixo maior é horizontal, a²=49 e b²=24. Logo c²=49−24=25 e c=5; os focos são (−5,0),(5,0).

1. O maior denominador está sob y². a=5,b=3,c=√(25−9)=4; os focos variam na coordenada y.

1. C=(−2,1), a²=36, b²=20 e c²=16. Os focos são (−2±4,1), isto é, (−6,1),(2,1).

1. C=(1,(−5+3)/2)=(1,−1), c=4 e a=5. b²=25−16=9; os focos estão na mesma vertical, então a² fica sob y+1.

1. Em x²/25+y²/B²=1, a substituição dá 9/25+256/(25B²)=1. Subtrair 9/25 fornece 256/(25B²)=16/25. Multiplicar por 25B²≠0 dá 256=16B², então B²=16 e B=4, positivo por ser comprimento.

1. O ponto já é um extremo do eixo horizontal conhecido. Sua substituição não gera condição nova para B; é preciso outro dado adequado.

1. Agrupe 4(x²−2x)+9(y²+4y)=−4. Completar dá 4(x−1)²−4+9(y+2)²−36=−4, então 4(x−1)²+9(y+2)²=36. Divida por 36.

1. Os termos são não negativos e só somam zero se ambos forem zero. Assim x=1 e y=−2 simultaneamente; há um único ponto.

1. O segundo denominador deve ser positivo e menor que dezesseis: 0<q−2<16. Somar dois dá 2<q<18. Em q=18 há circunferência; em q=2 a expressão é indefinida.

1. O ponto é o centro. Substituir dá S=0+0=0<1. Ele está dentro da região e não na igualdade que define o contorno.

1. Os raios horizontal e vertical são seis e dois. Cada parcela não negativa é no máximo um, portanto |x|≤6 e |y|≤2; os extremos pertencem.

1. c=√(13²−12²)=√25=5. Logo e=c/a=5/13, entre zero e um e sem unidade.

1. a=5,b=4,c=3 e e=3/5. O eixo maior é horizontal; as diretrizes são x=±a/e=±5/(3/5)=±25/3.

1. a=5 e b²=16. A corda mede 2b²/a=2·16/5=32/5; b não é o comprimento da corda.

1. Os semieixos são nove e quatro centímetros. A área é π·9·4=36π cm²; as medidas totais precisam ser divididas por dois.

1. cos π=−1 e sen π=0. Substituir o mesmo t nas duas coordenadas dá x=−3 e y=0.

1. Substituir y=1 dá x²/9=1−1/4=3/4. Logo x²=27/4 e x=±3√3/2. A ordenada é um nos dois pontos.

1. T pertence: 9/25+(256/25)/16=9/25+16/25=1. A tangente é 3x/25+(16/5)y/16=1, ou 3x/25+y/5=1. Multiplicar por 25 dá 3x+5y=25.

1. A fórmula dá 25·(16/5)(x−3)−16·3(y−16/5)=0. Dividir por dezesseis dá 5(x−3)−3(y−16/5)=0. Multiplicar por cinco dá 25(x−3)−15(y−16/5)=0. Distribuir fornece 25x−75−15y+48=0; reunir as constantes dá 25x−15y−27=0. O coeficiente angular 5/3 é perpendicular ao −3/5 da tangente.

1. A fórmula dá −5x/25=1, então x=−5. Ela é vertical e não pode ser escrita como y=mx+n com m real.

1. Aqui A=3 e B=4, embora o semieixo maior seja vertical. Com m=1, n=±√(9·1²+16)=±5, fornecendo duas tangentes.

1. A mínima é a−c=10−6=4, e a máxima a+c=10+6=16. a mede a partir do centro; c mede centro-foco.

1. a=6 e b=5, então x²/36+y²/25=1 com y≥0. Em y=3, x²/36=16/25 e x²=576/25. Logo x=±24/5 e a largura é 24/5−(−24/5)=48/5 metros.

C=(−1,1), a=5,b=3,c=4. (x+1)²/25+(y−1)²/9=1. Vértices (−6,1),(4,1); e=4/5; diretrizes x=−29/4 e x=21/4; área 15π. Abscissas [−6,4], ordenadas [−2,4].

1. O centro é ((−5+3)/2,(1+1)/2)=(−1,1). A separação dos focos é oito, então c=4. Da soma, a=5; a>c confirma a existência.
2. b²=25−16=9, logo b=3. Os focos estão na mesma horizontal; a equação é (x+1)²/25+(y−1)²/9=1.
3. Os vértices são (−1±5,1)=(−6,1),(4,1). Os extremos do menor são (−1,1±3)=(−1,−2),(−1,4), fornecendo as faixas x em [−6,4] e y em [−2,4].
4. e=c/a=4/5. A distância do centro às diretrizes é a/e=25/4, então x=−1±25/4: −29/4 e 21/4.
5. A área é πab=π·5·3=15π em unidades quadradas. As diretrizes ficam fora dos vértices: −29/4<−6 e 21/4>4.

(x−1)²/4+(y+2)²/9=1; C=(1,−2), a=3,b=2,c=√5; focos (1,−2±√5). Em T: tangente 9x+8y−23=0 e normal 8x−9y−14=0. No vértice superior (1,1), tangente y=1.

1. Agrupe 9(x²−2x)+4(y²+4y)=11. Complete: 9(x−1)²−9+4(y+2)²−16=11. Assim 9(x−1)²+4(y+2)²=36.
2. Dividir por 36 dá (x−1)²/4+(y+2)²/9=1. C=(1,−2), eixo maior vertical, a=3,b=2,c=√(9−4)=√5. Os focos são (1,−2±√5).
3. Em T, x−1=6/5 e y+2=12/5. A soma normalizada é (36/25)/4+(144/25)/9=9/25+16/25=1, confirmando o contato.
4. A tangente é (6/5)(x−1)/4+(12/5)(y+2)/9=1. Multiplicar por trinta dá 9(x−1)+8(y+2)=30, ou 9x+8y−23=0.
5. A normal é 4·(12/5)(x−11/5)−9·(6/5)(y−2/5)=0. Multiplicar por cinco e dividir por seis dá 8(x−11/5)−9(y−2/5)=0, então 8x−9y−14=0. Os coeficientes angulares −9/8 e 8/9 têm produto −1.
6. O vértice superior é (1,−2+3)=(1,1). Na fórmula da tangente, o primeiro termo zera: 3(y+2)/9=1 dá y=1.

y=(x−5)/2 e y=−(x−5)/2, com contatos (9/5,−8/5) e (9/5,8/5), respectivamente. x=5 não encontra a elipse.

1. Uma reta não vertical por P é y=m(x−5), com n=−5m. A condição de tangência é n²=9m²+4.
2. Logo 25m²=9m²+4, então 16m²=4 e m=±1/2. As retas são y=(x−5)/2 e y=−(x−5)/2.
3. Na fórmula da tangente no contato, a passagem por (5,0) exige 5tₓ/9=1. Assim tₓ=9/5. Substituir na elipse dá (81/25)/9+tᵧ²/4=1, então tᵧ²/4=16/25 e tᵧ=±8/5.
4. Em x=9/5, temos x−5=9/5−25/5=−16/5. Na reta y=(x−5)/2, y=(−16/5)/2=−8/5, o contato inferior; na reta y=−(x−5)/2, y=8/5, o superior. Em ambos, a conferência na curva dá 9/25+16/25=1.
5. A vertical por P seria x=5. Substituir dá 25/9+y²/4=1, impossível porque 25/9>1. Não existe tangente vertical omitida.

x²/169+y²/144=1, y≥0 e −13≤x≤13; focos (±5,0); largura 13√3 metros na altura seis; área 78π m².

1. O vão 2a=26 dá a=13; a altura fornece b=12. A elipse é x²/169+y²/144=1, mas o arco usa apenas y≥0 e −13≤x≤13.
2. c²=169−144=25, então c=5. Os focos da elipse completa são (−5,0),(5,0).
3. Em y=6, x²/169+36/144=1 dá x²/169=3/4, logo x=±13√3/2. A largura é 13√3/2−(−13√3/2)=13√3 metros.
4. A região completa teria área π·13·12=156π m². Por simetria em relação à base, a metade superior tem 156π/2=78π m².
5. A equação inteira também descreve a metade inferior, que não pertence ao arco físico. As coordenadas usam metros e a área usa metros quadrados.