Circunferência

1. x−3 indica abscissa três; y+2 é y−(−2), indicando ordenada −2. O raio é a raiz positiva de 49, portanto sete.

1. O quadrado da distância ao centro é x²+y² e o raio ao quadrado é dezesseis. O disco fechado permite distância menor ou igual ao raio, incluindo a borda. A igualdade sozinha descreveria apenas o contorno.

1. Passe nove para a direita e complete: (x²−8x+16)+(y²+6y+9)=−9+16+9=16. Assim (x−4)²+(y+3)²=16, com centro (4,−3) e raio quatro.

1. Divida todos os termos por −3: x²+y²−4x+2y−4=0. Completar quadrados dá (x−2)²+(y+1)²=9, com raio positivo três.

1. Completar quadrados dá (x+1)²+(y−3)²=10−k. É preciso 10−k>0, portanto k<10. Em k=10 resta um ponto; para k>10 não há pontos reais.

1. O raio ao quadrado é [2−(−1)]²+(6−2)²=3²+4²=25. Usando o centro dado, a equação é (x+1)²+(y−2)²=25.

1. O centro é o ponto médio (3,0). AB²=6²+4²=52, e r²=AB²/4=13. Portanto (x−3)²+y²=13.

1. Em (5,2), a soma é (5−2)²+(2−1)²=9+1=10. Os outros pares produzem zero, um e dezesseis, respectivamente, diferentes de dez.

1. O centro tem abscissa −2 e o raio é dois, portanto os extremos são −2−2=−4 e −2+2=0. Também 4−(x+2)² precisa ser não negativo ao isolar y.

1. Três pontos distintos não colineares fornecem um centro único pelo encontro das mediatrizes. Três distintos colineares não pertencem a uma circunferência; repetições não dão três condições independentes.

1. O centro é a origem e o raio é quatro. A distância até y=3 é três, menor que quatro, então há dois pontos de interseção.

1. Substituir x=2 dá 4+y²=20, então y²=16 e y=±4. A abscissa continua sendo dois nos dois pares.

1. A distância da origem à reta 2x−y+k=0 é |k|/√5. O raio é √5. Igualar dá |k|=5, portanto k=±5.

1. T pertence ao contorno, pois 4²+3²=25. O raio tem direção (4,3), então a tangente é 4(x−4)+3(y−3)=0. Distribuir dá 4x+3y−25=0.

1. O centro é (−1,2), e o raio até T é horizontal, com direção (3,0). A tangente perpendicular é vertical: 3(x−2)=0, ou x=2.

1. O centro é (1,−2), o raio é √5 e a distância até a reta é |2·1−2+k|/√5=|k|/√5. A tangência exige |k|=5.

1. CP=√(16+9)=5, igual ao raio. P já está no contorno e tem uma única tangente, perpendicular ao raio CP.

1. CP²=169 e r²=25. Pitágoras dá PT²=169−25=144 e PT=√144=12. Cento e quarenta e quatro é a potência, não o comprimento.

1. CP²=1²+1²=2 e r²=9, então p=2−9=−7. O sinal negativo indica ponto interno e ausência de tangentes reais por ele.

1. A meia corda mede √(13²−5²)=√(169−25)=√144=12. O comprimento inteiro é 2·12=24.

1. A diferença absoluta dos raios é |6−2|=4, igual à distância positiva entre os centros. É tangência interna, com um único ponto comum. A soma seria oito, condição da tangência externa.

1. Centro e raio iguais definem a mesma circunferência. Não é tangência interna, embora d e a diferença dos raios sejam ambos zero; é coincidência.

1. Expandir a segunda dá x²+y²−16x+39=0. Subtrair essa equação da primeira forma normalizada dá 16x−64=0, então x=4. Na primeira, y²=25−16=9, logo y=±3.

1. Subtrair equações normalizadas elimina os termos quadráticos e iguala as potências. Essa condição linear é necessária para um ponto comum, mas precisa ser combinada com uma circunferência original; pode não haver encontro real.

1. Como cos π=−1 e sen π=0, x=−1+3(−1)=−4 e y=2+3·0=2. O mesmo ângulo gera as duas coordenadas.

1. CP=1 e r=4. Até o contorno, a distância é |1−4|=3. Até a região fechada, é zero, pois P já pertence ao disco.

(x+2)²+(y−3)²=25; centro (−2,3), raio cinco. Interseções (1,7) e (1,−1); tangente em (1,7): 3x+4y−31=0.

1. Dividir tudo por dois dá x²+y²+4x−6y−12=0. Separando a constante e completando, (x²+4x+4)+(y²−6y+9)=12+4+9=25.
2. Portanto (x+2)²+(y−3)²=25, com C=(−2,3) e r=5.
3. Em x=1, 9+(y−3)²=25, então (y−3)²=16 e y=3±4. As interseções são (1,7) e (1,−1).
4. O contato pedido é T=(1,7). T−C=(3,4), então a tangente é 3(x−1)+4(y−7)=0. Distribuir dá 3x+4y−31=0.
5. T satisfaz a equação reduzida, pois 3²+4²=25, e a reta, pois 3+28−31=0. A distância do centro à reta é |−6+12−31|/5=25/5=5.

$y=\pm(\sqrt3/3)(x-4)$; contatos $(1,-\sqrt3)$ e $(1,\sqrt3)$, respectivamente. Cada segmento mede $2\sqrt3$.

1. O centro é a origem e o raio é dois. A vertical x=4 fica a quatro do centro, portanto é exterior e não é tangente.
2. Para as outras retas, use y=m(x−4), ou mx−y−4m=0. A tangência exige 4|m|/√(1+m²)=2. Os dois lados são não negativos e o denominador é positivo.
3. Elevar ao quadrado dá $16m^2=4(1+m^2)$, então $12m^2=4$, $m^2=1/3$ e $m=\pm\sqrt3/3$.
4. Na projeção da origem em mx−y−4m=0, os coeficientes da reta são m,−1,−4m. Logo K=m·0−1·0−4m=−4m e N=m²+1>0.
5. Substituir na fórmula da projeção dá $t_x=0-m(-4m)/(1+m^2)=4m^2/(1+m^2)$ e $t_y=0-(-1)(-4m)/(1+m^2)=-4m/(1+m^2)$.
6. Como $m^2=1/3$, temos $1+m^2=4/3$: $t_x=(4/3)/(4/3)=1$ e $t_y=(-4m)/(4/3)=-3m$. Assim os contatos são $(1,-\sqrt3)$ para m positivo e $(1,\sqrt3)$ para m negativo.
7. Em cada contato, $1^2+(\pm\sqrt3)^2=4$. O comprimento é $PT=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3$, o mesmo para ambas as tangentes.

Secantes; pontos (4,3) e (4,−3); eixo radical x=4; corda comum de comprimento seis.

1. Os centros são (0,0) e (4,0), a distância é quatro e os raios são cinco e três. Como |5−3|=2<4<8=5+3, são secantes.
2. A primeira forma geral é x²+y²−25=0. Expandir a segunda dá x²+y²−8x+16−9=0, ou x²+y²−8x+7=0. Subtrair a segunda da primeira dá 8x−32=0, então x=4.
3. Em x=4, a primeira dá y²=25−16=9, portanto os pares são (4,3) e (4,−3). A segunda confere: (4−4)²+3²=9 e (4−4)²+(−3)²=9.
4. O segmento vertical entre os contatos tem comprimento |3−(−3)|=6. Pela primeira circunferência, a reta x=4 fica a quatro do centro; a meia corda é √(25−16)=3 e a inteira mede seis.
5. A reta x=4 também contém, por exemplo, (4,0), que não pertence à primeira circunferência. Ela é uma condição auxiliar; a interseção é somente o conjunto dos dois pares encontrados.

Sempre existe: centro (k,−2), raio três. Oy é secante se |k|<3, tangente se |k|=3 e exterior se |k|>3. A origem pertence para k=√5 ou k=−√5.

1. Agrupe x²−2kx e y²+4y. Ao completar quadrados, (x−k)²+(y+2)²=5−k²+k²+4=9. Logo ρ=9>0 para todo k real.
2. O centro é C=(k,−2) e o raio é três. A distância até Oy, isto é, x=0, é |k|. Compará-la com três dá secante em |k|<3, tangente em |k|=3 e exterior em |k|>3.
3. Na origem, a equação original exige k²−5=0. Portanto k=√5 ou k=−√5. Nas duas possibilidades, a distância do centro à origem é √(k²+4)=√9=3.
4. A existência da circunferência e a posição de uma reta são condições diferentes: a circunferência continua válida mesmo quando Oy não a encontra.