Produtos notáveis e fatoração

1. Os extremos são (2x)² = 4x² e 5² = 25. O termo central é 2·2x·5 = 20x.

1. O termo central é −2·3x·2 = −12x e o último termo é (−2)² = 4, positivo.

1. Expandindo o primeiro quadrado, temos a² + 2ab + b². Subtrair a² + b² deixa 2ab.

1. Os quadrados somam 5 + 2 = 7. O termo misto é −2√5√2 = −2√10, usando radicandos positivos.

1. Os fatores são conjugados. O resultado é (5x)² − (3y)² = 25x² − 9y².

1. 1002 = 1000 + 2 e 998 = 1000 − 2. O produto é 1000² − 2² = 1000000 − 4 = 999996.

1. Os termos mistos são 3·x²·3 = 9x² e 3·x·3² = 27x. Os extremos são x³ e 27.

1. Os sinais na escrita são +, −, + e −. O termo com 3² aparece com adição: +3·x·9 = +27x; seu valor é negativo se x < 0.

1. A diferença entre os lados é 3ab(a + b). Ela zera se e somente se um dos fatores a, b ou a + b é zero. Isso inclui números opostos não nulos.

1. Trate o terceiro termo como −c. Seu quadrado é +c², e seus produtos em dobro com a e b são −2ac e −2bc. A parcela que envolve a e b continua escrita como +2ab; o sinal de seu valor depende de a e b.

1. Pela condição, c = −(a + b). Substituir e usar o cubo da soma produz −3ab(a + b) = 3abc. A hipótese não pode ser descartada.

1. O maior divisor comum de 12 e 18 é 6, e o menor expoente de x é 2. O fator é 6x²; o agrupamento interno fica 2x − 3.

1. O fator numérico é 5 e os expoentes mínimos são 2 para x e 2 para y. Multiplicar 5x²y² por 2x e 3y recupera as duas parcelas.

1. O fator comum é x + 1. O que resta das parcelas é 4x e −7, formando 4x − 7. Essa identidade também vale em x = −1.

1. Evidenciar −2 dá −2(x² + 4x + 4). O trinômio é (x + 2)², pois seu termo central é 2·x·2.

1. Os dois grupos são x(x + 5) e 2(x + 5). Evidenciando x + 5, obtemos (x + 2)(x + 5).

1. Agrupamos x(y − 2) − 3(y − 2). O fator comum y − 2 deixa x − 3. O termo constante é (−3)·(−2) = 6.

1. Os extremos são (3x)² e 5², e o termo central é 2·3x·5 = 30x. Portanto é o quadrado da soma 3x + 5.

1. Se (ux + v)² produz os extremos, u² = 1 e v² = 16. Assim o termo central 2uvx seria 8x ou −8x. A condição não confere.

1. A expressão é (7x)² − (4y)². Aplicamos soma vezes diferença desses dois termos completos.

1. Primeiro x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4). O primeiro fator é (x − 2)(x + 2); o segundo é positivo para todo real e não tem raiz real.

1. Os números −3 e −5 têm soma −8 e produto 15. O produto dos binômios correspondentes recupera o trinômio.

1. Os números −5 e 3 somam −2 e multiplicam −15. O produto é (x − 5)(x + 3).

1. O produto AC é 12. Os números 3 e 4 têm soma 7. Separar 7x em 3x + 4x permite agrupar 3x(2x + 1) + 2(2x + 1).

1. AC = −12. Os números −4 e 3 somam −1. Agrupar 6x² − 4x + 3x − 2 dá 2x(3x − 2) + 1(3x − 2).

1. Temos (3x)³ + 2³. A soma de cubos usa o fator 3x + 2 e o trinômio (3x)² − (3x)·2 + 2².

1. É (4x)³ − 1³. A diferença de cubos usa 4x − 1 e o trinômio 16x² + 4x + 1, com sinais de adição entre as parcelas; o valor da parcela 4x depende do sinal de x.

1. O padrão do cubo de x + 4 produz x³, 3·x²·4 = 12x², 3·x·16 = 48x e 64. As quatro parcelas conferem.

1. Com u = x², o trinômio é u² − 10u + 9 = (u − 1)(u − 9). Voltando a x, fatoramos as duas diferenças de quadrados.

1. Metade de 8 é 4. O quadrado (x + 4)² inclui o termo constante 16. Para recuperar 7, subtraímos 9.

1. Escrevemos x⁴ + 64 = (x² + 8)² − (4x)², pois o termo misto 16x² é acrescentado e subtraído. A diferença de quadrados fornece o produto indicado.

1. x² + 9 ≥ 9 > 0. Um fator linear real teria um zero real, que seria zero do produto. Isso impossibilita uma fatoração em dois lineares reais.

1. Um dos fatores deve zerar: x = 0 ou x − 7 = 0. Dividir por x sem analisar zero perderia uma solução.

1. Numerador = (x − 4)(x + 4); denominador = x(x − 4). A fração original exige x ≠ 0 e x ≠ 4. O cancelamento do fator x − 4 mantém ambas as exclusões.

1. a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29. Os dados são compatíveis, por exemplo, com os números 2 e 5.

1. O lado externo é x + 2. A diferença de áreas é (x + 2)² − x² = 4x + 4 m². A faixa acrescenta 1 metro em cada um dos dois lados de cada dimensão.

A expressão vale |x − 3|: x − 3 se x ≥ 3 e 3 − x se x < 3.

1. O trinômio é (x − 3)², pois o termo central é −2·x·3 e o último termo é 3². O radicando é não negativo para todo x real.
2. A raiz quadrada principal de um quadrado real é o módulo. Portanto o resultado é |x − 3|, conforme a propriedade estudada em Potências e radicais.
3. Se x ≥ 3, o módulo vale x − 3. Se x < 3, vale −(x − 3) = 3 − x. Em x = 1, a raiz original é 2 e x − 3 seria −2, mostrando o erro da resposta sem condição.

A fatoração é (x + t)(x + 2). As soluções são −t e −2; coincidem exatamente quando t = 2.

1. Os números t e 2 têm soma t + 2 e produto 2t. Pela identidade do trinômio mônico, o polinômio é (x + t)(x + 2) para qualquer t real.
2. Pelo produto nulo, x + t = 0 ou x + 2 = 0. Logo x = −t ou x = −2. Não dividimos por t nem por uma expressão em x.
3. As soluções são iguais se e somente se −t = −2, isto é, t = 2. Nesse caso há apenas o valor −2 no conjunto solução e a expressão é (x + 2)². Em t = 0, as soluções 0 e −2 também são preservadas.

3(x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4).

1. Evidencie 3, obtendo 3(x⁴ − 20x² + 64). Faça u = x² para reconhecer u² − 20u + 64.
2. Os números −4 e −16 têm soma −20 e produto 64, então o resultado parcial é 3(u − 4)(u − 16).
3. Voltando a x, temos 3(x² − 4)(x² − 16). Fatore as duas diferenças de quadrados: 3(x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4).
4. Para conferir, junte os pares conjugados: (x² − 4)(x² − 16) = x⁴ − 20x² + 64. Multiplicar por 3 recupera todos os coeficientes originais. Não foi imposta restrição sobre x.

A forma é (x − 2)/(x + 2), mantendo x ≠ −2 e x ≠ 2. A fração original não está definida em x = 2.

1. O numerador é (x − 2)² e o denominador é (x − 2)(x + 2). O denominador original exige x ≠ 2 e x ≠ −2.
2. Nesse domínio, o fator x − 2 é não nulo e pode ser cancelado, deixando (x − 2)/(x + 2). As duas exclusões permanecem.
3. Em x = 2, a forma simplificada isolada valeria 0/4 = 0, mas a original seria 0/0 e não existe. Substituir a original por uma expressão com domínio maior não autoriza reincluir o ponto excluído.