Potências e radicais

1. O expoente 3 indica três fatores iguais a 4: 4·4·4 = 64. Multiplicar a base pelo expoente daria outra operação.

1. Cinco fatores negativos produzem resultado negativo, pois o expoente é ímpar. O módulo é 2⁵ = 32, então o valor é −32.

1. A potência é calculada antes do sinal externo: −(5²) = −25. A escrita (−5)², com outra base, valeria 25.

1. A base −7 é não nula. Toda potência de expoente zero e base não nula vale 1.

1. O expoente negativo indica recíproco: 3⁻² = 1/3² = 1/9. Ele não troca o sinal do valor da potência.

1. Invertemos a fração inteira e elevamos ao cubo: (3/2)³ = 27/8. A base é positiva, então o resultado também é positivo.

1. As bases são iguais e não nulas. Somamos os expoentes: 4 + (−1) = 3. O produto vale 2³ = 8.

1. No quociente de potências de mesma base, subtraímos os expoentes: 7 − 3 = 4. A base 5 é mantida.

1. Há quatro grupos de dois fatores 3. Multiplicamos os expoentes: 2·4 = 8. Isso é diferente de 3 elevado a 2⁴.

1. O expoente inteiro positivo atua em cada fator: 2³ = 8, x³ e (y²)³ = y⁶. Zeros são permitidos porque o expoente é positivo e não há divisão.

1. O expoente final é −2 − (−5) = 3. A expressão original contém potências negativas e exige a ≠ 0, mesmo que a³ isolado esteja definido em zero.

1. Na primeira, calculamos a soma antes do quadrado: 6² = 36. Na segunda, somamos os quadrados: 4 + 16 = 20. A potência não se distribui sobre a soma.

1. Deslocar a vírgula seis casas à direita produz 5,6; compensamos com 10⁻⁶. As alternativas com 56 e 0,56 representam o mesmo número, mas não estão normalizadas.

1. O produto é 12·10³. Para deixar o coeficiente entre 1 e 10, escrevemos 1,2·10⁴. A troca divide o coeficiente por 10 e multiplica a potência por 10.

1. Escrevemos 3·10⁵ = 0,3·10⁶. A soma é (8 + 0,3)·10⁶ = 8,3·10⁶. Expoentes não são somados em uma adição.

1. O radical representa a raiz principal não negativa. Como 13² = 169, o valor é 13. A equação x² = 169 teria duas soluções, mas não é o que foi perguntado.

1. O índice ímpar permite radicando negativo. Como (−4)³ = −64, a raiz cúbica é −4.

1. Uma quarta potência real é não negativa. Nenhum real elevado à quarta potência produz −81.

1. O quadrado é 81 e a raiz principal é 9. Em geral, √(x²) = |x|; portanto aqui obtemos |−9| = 9.

1. A raiz do quadrado de uma expressão real é seu módulo. Para x = −2, por exemplo, o valor original é 1, enquanto x + 1 seria −1.

1. 2⁶ = 64 e (−2)⁶ = 64. Como o índice é par e o termo independente é positivo, são os dois valores opostos; o radical de índice 6, sozinho, selecionaria apenas 2.

1. Como 3² = 9 < 11 < 16 = 4², a raiz principal está estritamente entre 3 e 4.

1. 75 = 25·3 e 25 = 5². Portanto √75 = √25·√3 = 5√3, usando fatores não negativos.

1. −686 = (−7)³·2, pois (−7)³ = −343. O índice ímpar permite extrair −7 com seu sinal.

1. Escrevemos 32x² = 16·x²·2. As raízes dos fatores são 4, |x| e √2. Sem hipótese de x ≥ 0, não podemos substituir o módulo por x.

1. Os radicandos são não negativos, então √8·√18 = √144 = 12. Também poderíamos simplificar para 2√2 e 3√2 e multiplicar.

1. O produto sob o radical é 36 e a raiz principal é 6. Porém cada raiz quadrada dos fatores negativos não existe nos reais, por isso a separação seria inválida.

1. A raiz quadrada de 81 é 9. A raiz quarta de 9 é √3, pois (√3)⁴ = 9. Também podemos usar o índice composto 8: a raiz oitava de 81 = 3⁴ é √3.

1. √12 = 2√3 e √27 = 3√3. Pela distributiva, a soma é (2 + 3)√3 = 5√3.

1. Os fatores são conjugados. O produto é (√11)² − 3² = 11 − 9 = 2.

1. Multiplicamos a fração por √5/√5. O denominador fica 5 e o numerador 2√5. O fator é não nulo porque √5 > 0.

1. O conjugado é √6 + √2, que é positivo. Multiplicar por ele dá denominador 6 − 2 = 4. O numerador é o próprio conjugado.

1. A raiz quarta de 81 é 3. Depois elevamos ao cubo: 3³ = 27. A base é positiva, como exige a fórmula geral.

1. A raiz quinta de 32 é 2 e seu quadrado é 4. O expoente negativo pede o recíproco: 1/4.

1. Ambos são positivos. Elevando à sexta potência, obtemos 4² = 16 e 2³ = 8. Como 16 > 8 e elevar positivos à sexta preserva a ordem, a primeira raiz é maior.

1. O lado é positivo e seu quadrado vale 72. Portanto l = √72 = 6√2 cm. A raiz negativa da equação não representa um comprimento da figura.

O domínio é x ≠ 2. A expressão vale 1 se x > 2 e −1 se x < 2.

1. O radicando é um quadrado e aceita todo x real. O denominador exige x − 2 ≠ 0, portanto x ≠ 2.
2. A raiz principal é $|x-2|$, logo a fração é $|x-2|/(x-2)$. Se x > 2, o numerador é x − 2 e a razão vale 1.
3. Se x < 2, o numerador é −(x − 2) e a razão vale −1. Em x = 1, a original é 1/(−1) = −1, contraexemplo à simplificação constante 1.

O domínio é x ≥ 0. Para x ≠ 9, a forma é (√x−3)/(x−9). Em x = 9, a expressão original vale 1/6.

1. A raiz exige x ≥ 0. O denominador √x + 3 é pelo menos 3, então não zera no domínio.
2. O conjugado √x − 3 só zera em x = 9. Para x ≠ 9, multiplicamos por ele e obtemos $(\sqrt{x}-3)/(x-9)$.
3. Em x = 9, não podemos multiplicar por uma fração 0/0. Voltamos à expressão original: 1/(3+3) = 1/6. A descrição completa preserva esse caso.

O fator é 3⁵ = 243 e a quantidade é 1,944·10⁶ unidades.

1. Cada um dos cinco ciclos acrescenta um fator 3. Logo o fator total é 3⁵ = 243, não 3·5.
2. A quantidade é $8\cdot243\cdot10^3=1944\cdot10^3$. Para normalizar, escrevemos $1944=1{,}944\cdot10^3$.
3. O resultado é $1{,}944\cdot10^6$, isto é, 1 944 000 unidades. A conclusão pressupõe a triplicação exata em todos os ciclos.

Em x = −8, os lados valem 2 e −2. A identidade correta é a raiz sexta de x² igual à raiz cúbica de |x|.

1. Com x = −8, a primeira raiz é $\sqrt[6]{64}=2$, enquanto $\sqrt[3]{-8}=-2$. A hipótese de base não negativa foi ignorada.
2. Se $r=\sqrt[6]{x^2}$, então r ≥ 0 e r⁶ = x². Portanto o número não negativo r³ tem quadrado x² e só pode ser |x|.
3. Assim r³ = |x| e $r=\sqrt[3]{|x|}$. Essa fórmula vale para todo x real; quando x ≥ 0, ela coincide com a redução proposta.