Polinômios

1. Na segunda expressão, √5 e −1/3 são coeficientes reais fixos e os expoentes de x são inteiros não negativos. As outras têm radical na variável ou expoente negativo.

1. O sinal acompanha o coeficiente: −x significa (−1)·x. O expoente não escrito de x é 1.

1. Os termos cúbicos se cancelam e −2x + 5x = 3x. O resultado é 3x + 1, de grau 1.

1. Uma constante não nula tem grau 0. O sinal do coeficiente não muda o grau.

1. A redução dá o polinômio zero. Nesta aula não se atribui grau ao polinômio nulo; grau zero é o das constantes não nulas.

1. Um polinômio completo de grau 3 tem coeficientes não nulos nos graus 3, 2, 1 e 0. Aqui o coeficiente de x² é zero. Escrever 0x² ajuda a organizar, mas não o torna completo.

1. O coeficiente dominante do primeiro é 1. Nos demais, os coeficientes dominantes são 2, −1 e 3.

1. Somam-se os expoentes das variáveis: 3 + 2 = 5. O coeficiente −4 não entra nessa soma.

1. No segundo, todos os termos têm grau total 2: 2, 1 + 1 e 2. Nos demais, aparecem termos de graus diferentes.

1. O termo cúbico precisa desaparecer: t − 4 = 0. Em t = 4, resta 2x + 1, cujo coeficiente de x é não nulo.

1. Todos os coeficientes precisam zerar. As duas primeiras condições são a − 1 = 0; a constante exige b = 0.

1. P(−2) = 2·(−2)² − 3·(−2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15. O quadrado é positivo e o produto de −3 por −2 também.

1. Em x = 0, todos os termos com potências positivas de x se anulam. Resta o termo constante −6.

1. Substituindo, P(3) = 9 − 21 + 12 = 0. Isso faz de 3 uma raiz, sem transformar P no polinômio nulo.

1. Comparando coeficientes, a − 2 = 3 e b + 1 = −1. Logo a = 5 e b = −2. A constante 4 já coincide.

1. P(2) = 4 e Q(2) = 2. Uma identidade precisa valer em todos os reais, ou ser verificada pela igualdade dos coeficientes, não por dois exemplos isolados.

1. Os coeficientes de x² somam 4 − 1 = 3; os de x somam 1 + 3 = 4; os constantes somam −2 + 5 = 3.

1. Multiplicar cada termo por −1 troca os três sinais. A soma do polinômio com esse oposto é zero.

1. O oposto do segundo agrupamento é x² − x + 2. Somando ao primeiro, obtemos 3x² − 4x + 6.

1. Agrupamos as partes literais iguais. Em x²y, 3 − 1 = 2; em xy², 2 + 5 = 7. As duas partes literais restantes são diferentes.

1. Os coeficientes dão −6. Os expoentes de x somam 2 + 1 = 3 e os de y somam 1 + 3 = 4.

1. Cada termo recebe o fator 2x: os produtos são 2x³, −8x² e 6x.

1. Os quatro produtos são x², 5x, −2x e −10. Os termos de grau 1 se reduzem a 3x.

1. Os fatores são não nulos, então os graus somam 5 + 2 = 7. Os coeficientes dominantes multiplicam: 2·(−1) = −2.

1. Os termos de grau 4 se cancelam e resta 2x + 1, de grau 1. O grau da soma não precisa ser o maior grau dos somandos quando ocorre cancelamento.

1. Dividimos cada termo por 4x², obtendo 2x e −1. O denominador original impede x = 0, mesmo que o polinômio simplificado possa ser avaliado nesse valor.

1. O dividendo já tem grau menor que o divisor. A = B·0 + A satisfaz a identidade e o resto tem grau 1, menor que 2.

1. O quociente tem grau 6 − 3 = 3. O resto não nulo precisa ter grau estritamente menor que 3, podendo ter grau 0, 1 ou 2.

1. Subtrair x(x + 1) deixa 2x + 1. Subtrair 2(x + 1) deixa −1. Conferindo, (x + 1)(x + 2) − 1 = x² + 3x + 1, com resto de grau 0.

1. O primeiro termo do quociente é x, deixando resto parcial 4x + 4. O termo seguinte é 2, deixando resto 2. A expansão (2x + 1)(x + 2) + 2 recupera o dividendo.

1. Dividimos todos os coeficientes por 2. O resto é zero, pois nenhum polinômio não nulo pode ter grau menor que o grau 0 do divisor.

1. O produto (3x + 1)(x + 3) = 3x² + 10x + 3 confere a divisão exata. No domínio x > 0, ambas as dimensões são positivas. Área dividida por comprimento fornece comprimento.

Grau 2 se t ≠ 2; grau 0 se t = 2 e s ≠ 1; nulo se t = 2 e s = 1. Não há caso de grau 1.

1. Se t − 2 ≠ 0, o termo de maior expoente é o quadrático, portanto o grau é 2, qualquer que seja s.
2. Em t = 2, os coeficientes de x² e de x zeram juntos. Resta a constante s − 1, de grau 0 quando s ≠ 1.
3. Se também s = 1, todos os coeficientes são zero e o polinômio é nulo, sem grau definido nesta convenção. Não existe parâmetro que apague apenas x² e preserve x.

A identidade está certa, mas o resto tem grau 1, igual ao divisor. A resposta euclidiana é Q = x − 1 e R = 2.

1. O produto BQ + R = (x + 1)x + 1 − x = x² + 1 realmente recupera A. Só isso não basta.
2. O resto proposto 1 − x tem grau 1, que não é menor que o grau 1 de B. Portanto a condição da divisão euclidiana foi violada.
3. Continue a divisão do resto parcial: subtraia −1 vezes B, obtendo (1 − x) − (−x − 1) = 2. O quociente acumulado é x − 1 e o resto 2 é constante.
4. Conferindo, (x + 1)(x − 1) + 2 = x² + 1 e o resto tem grau 0 < 1. As duas exigências foram satisfeitas.

Q = x² + 2x + 1 e R = −x + 2.

1. O primeiro termo é x². Subtraia $x^2B=x^4+x^2$, ficando $2x^3+x^2+x+3$.
2. O próximo termo é 2x. Subtraia $2xB=2x^3+2x$, ficando $x^2-x+3$.
3. O próximo termo é 1. Subtraia B = x² + 1, ficando −x + 2. O grau 1 é menor que o grau 2 do divisor.
4. O quociente é $x^2+2x+1$. Expandindo $(x^2+1)(x^2+2x+1)+(-x+2)$, recuperamos $x^4+2x^3+2x^2+x+3$.

Q = x² + 2x + 4 e R = 0. A fração coincide com Q apenas para x ≠ 2; a fração original não tem valor em x = 2.

1. Complete A com os termos ausentes: x³ + 0x² + 0x − 8. Subtrair x²(x − 2) deixa 2x² − 8; subtrair 2x(x − 2) deixa 4x − 8; subtrair 4(x − 2) deixa zero. Os termos sucessivos do quociente são x², 2x e 4.
2. A expansão $(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$ confere a identidade polinomial para todos os reais.
3. Como fração, o denominador x − 2 exige x ≠ 2. Em x = 2 há 0/0, não definido. O número 12 é Q(2) = 4 + 4 + 4, não o valor da fração original.