Números complexos

1. A unidade imaginária satisfaz i² = −1 e não é real. Seu oposto −i também tem quadrado −1, mas i e −i são números distintos.

1. Na forma a + bi, a parte imaginária é o coeficiente real b. Aqui b = √3; o termo imaginário completo é √3 i.

1. A parte imaginária deve ser zero: 3t − 6 = 0, logo t = 2. Nesse valor, z = 2 + 0i = 2.

1. Usamos a convenção a = 0 e b ≠ 0. Em −4i, a = 0 e b = −4. Zero é real e foi excluído dessa classificação; 2 + i tem parte real não nula.

1. A igualdade das partes reais dá x − 1 = 2, então x = 3. A das partes imaginárias dá y + 2 = −3, então y = −5. As duas condições são simultâneas.

1. O primeiro número é a parte real e o segundo é o coeficiente de i. Portanto o afixo (−2, 3) corresponde a −2 + 3i.

1. Como 2031 = 4 · 507 + 3, a potência vale i³ = −i.

1. Escrevemos −10 = 4 · (−3) + 2, então i⁻¹⁰ = i² = −1. Também i¹⁰ = −1 e seu inverso é −1.

1. Substituindo i² = −1 e i³ = −i, a soma é 1 + i − 1 − i = 0.

1. O radical principal indicado vale i√45 = 3√5 i. O símbolo ± seria usado para listar as duas soluções da equação z² = −45, não para atribuir dois valores ao radical principal.

1. Os dois valores ±3i têm quadrado 9i² = −9. A fatoração z² + 9 = (z − 3i)(z + 3i) não admite outras raízes.

1. O primeiro é i² = −1; o segundo é √1 = 1. A propriedade do produto de raízes reais não negativas não vale para quaisquer radicandos complexos.

1. Somamos as componentes: 2 + (−3) = −1 e −5 + 2 = −3. Logo a soma é −1 − 3i.

1. O sinal de subtração troca os sinais do segundo número: −1 + 4i − 3 + 2i = −4 + 6i.

1. A expansão é 6 − 4i + 3i − 2i². Como −2i² = 2, o resultado é 8 − i.

1. O quadrado é 1 − 4i + 4i² = 1 − 4 − 4i = −3 − 4i. O termo misto não pode ser omitido.

1. A parte real −3 permanece e a parte imaginária 4 troca de sinal. Portanto o conjugado é −3 − 4i.

1. O oposto troca os sinais das duas componentes: −z = −2 + i. O conjugado troca somente a componente imaginária: 2 + i.

1. O produto é a² + b² = (−2)² + 5² = 4 + 25 = 29, real positivo.

1. A diferença z − conjugado de z é 2bi. Dividir por 2i produz b, um número real. Dividir apenas por 2 produziria o termo bi.

1. Multiplicamos por 1 + i em cima e embaixo. O numerador é 4 + 6i + 2i² = 2 + 6i; o denominador é 2. O quociente é 1 + 3i.

1. O divisor i é não nulo. Usando 1/i = −i, obtemos (3 + i)(−i) = −3i − i² = 1 − 3i.

1. O denominador deve ser não nulo. Ele zera quando z + 2 − i = 0, ou seja, z = −2 + i. Só esse ponto é excluído.

1. Como (1 + i)² = 2i, a sexta potência é (2i)³ = 8i³ = −8i.

1. O inverso é (1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (1 − i)/2. O produto desse valor por 1 + i é 1.

1. O módulo é √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13, uma distância real não negativa.

1. Temos |z| = √2 e |w| = 5. Pela propriedade multiplicativa, |zw| = |z||w| = 5√2.

1. O módulo é √(a² + b²), sempre real não negativo. Como os quadrados reais são não negativos, a soma só zera se a = b = 0.

1. A diferença é z − w = 3 + 4i. A distância é seu módulo: √(9 + 16) = 5.

1. A expressão é |z − (−1 + 2i)| = 2. Ela fixa a distância 2 ao centro de afixo (−1, 2), descrevendo a circunferência, sem o interior.

1. Temos i(3 − 2i) = 3i − 2i² = 2 + 3i. As coordenadas (3, −2) passam a (2, 3), giro anti-horário de 90°.

1. Como 2 − i ≠ 0, z = 5/(2 − i) = 5(2 + i)/5 = 2 + i. O produto (2 − i)(2 + i) é 5.

1. Escrevendo z = a + bi, o primeiro membro é 3a − bi. Igualar as componentes dá 3a = 9 e −b = 2, então a = 3 e b = −2.

1. O primeiro membro é real, pois z + conjugado de z = 2Re(z). Sua parte imaginária é zero e não pode ser igual a 1.

1. O discriminante é 16 − 32 = −16. A fórmula dá z = (4 ± 4i)/2 = 2 ± 2i. Também (z − 2)² = −4.

1. O quadrado de 3 + 2i é 9 + 12i − 4 = 5 + 12i. Seu oposto tem o mesmo quadrado. O conjugado 3 − 2i teria quadrado 5 − 12i e não serve.

1. A fatoração é (z − 2)(z − i): ao expandir, z² − (2 + i)z + 2i. Portanto as raízes são 2 e i, que não precisam ser conjugadas porque os coeficientes não são todos reais.

1. O denominador tem parte real 2 e nunca zera. Multiplicando pelo conjugado, o numerador é 4t + (4 − t²)i e o denominador é 4 + t². A parte imaginária zera se 4 − t² = 0, dando t = ±2.

1. O módulo |1 + i| = √2 é real e maior que 1. As outras comparações tratam complexos não reais como se houvesse uma ordem compatível com as regras de um corpo ordenado.

1. Com z = a + bi, a igualdade das distâncias equivale a (a + 1)² + b² = (a − 3)² + b². Cancelando e expandindo, 8a = 8 e a = 1. A componente b fica livre: é uma reta vertical inteira.

$-1+2i$.

1. O divisor 1 − 2i é não nulo, pois suas componentes não são ambas zero. O numerador é (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i.
2. Multiplicando pelo conjugado 1 + 2i, o numerador passa a (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 10i + 8i² = −5 + 10i. O denominador é 5, dando −1 + 2i.
3. A conferência é (−1 + 2i)(1 − 2i) = −1 + 4i − 4i² = 3 + 4i, igual ao numerador original.

w = 3 − i ou w = −3 + i.

1. Escreva w = u + vi. As componentes fornecem u² − v² = 8 e 2uv = −6. Temos ainda (u² + v²)² = 8² + (−6)² = 100, logo u² + v² = 10.
2. Somando e subtraindo: u² = 9 e v² = 1. Como uv = −3, os sinais são opostos: (u, v) = (3, −1) ou (−3, 1).
3. O quadrado de 3 − i é 9 − 6i + i² = 8 − 6i, e o quadrado de seu oposto é o mesmo. Se t fosse outra raiz, (t − w)(t + w) = 0 obrigaria t = w ou t = −w.

𝒮 = {2, 1 + i}.

1. Pela fatoração, (z − 2)(z − 1 − i) = z² − (3 + i)z + 2 + 2i. As raízes são 2 e 1 + i.
2. Pela fórmula, Δ = (−3 − i)² − 4(2 + 2i) = (8 + 6i) − (8 + 8i) = −2i. Uma raiz quadrada é w = 1 − i.
3. Assim z = (3 + i ± (1 − i))/2: o sinal + dá 2, e o sinal − dá 1 + i. Sua soma é 3 + i = −B/A e seu produto é 2 + 2i = C/A.
4. As duas raízes não são conjugadas. Isso é compatível com os coeficientes não todos reais da equação.

z = 1 + bi, com −1 ≤ b ≤ 3.

1. Faça z = a + bi. A condição Re(z) = 1 fixa a = 1. Portanto z − (1 + i) = (b − 1)i.
2. O módulo dessa diferença é |b − 1|, agora um valor absoluto real. A inequação |b − 1| ≤ 2 equivale a −2 ≤ b − 1 ≤ 2, dando −1 ≤ b ≤ 3.
3. A resposta é o segmento vertical entre 1 − i e 1 + 3i. Em ambos os extremos, a distância ao centro 1 + i vale 2, então são incluídos pelo sinal ≤.