Linguagem e expressões algébricas

1. A parte 4q multiplica o preço unitário pela quantidade. A entrega de 6 reais é somada uma vez.
2. Nesse contexto q é uma contagem, portanto não admite valores fracionários ou negativos.

1. n é a quantidade de ingressos e pode variar entre contagens permitidas. A cada escolha, C fornece o custo correspondente.
2. Se a situação exigir ao menos um ingresso, restringimos n aos inteiros positivos.

1. Tratamos p como fixo ao variar a quantidade q. Outra escolha de p representa outro preço e produz outro modelo.
2. O papel depende de como a situação é apresentada, não do nome da letra.

1. O número é uma razão de inteiros com denominador não nulo, logo pertence a $\mathbb Q$ e, portanto, a $\mathbb R$. Seu valor −1,5 não é inteiro.

1. A soma x + 4 precisa ser formada primeiro. O dobro multiplica todo esse grupo, dando 2(x + 4).
2. Pela distributiva, o resultado também pode ser escrito como 2x + 8.

1. O primeiro termo da subtração é 7, e o termo retirado é x. A ordem fornece 7 − x.
2. Por exemplo, para x = 2, a frase dá 5; x − 7 daria −5.

1. O 6 ocupa a casa das dezenas, valendo 60, e o 2 vale duas unidades. Assim, 10a + b = 62.
2. Na escrita algébrica, ab é o produto de a por b e não a concatenação dos algarismos.

1. A ausência do ponto entre letras indica produto. O expoente 2 indica dois fatores iguais à base.
2. O fator 2 diante dos parênteses multiplica todo o grupo: 2(x + 1) = 2x + 2.

1. Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade. Da esquerda para a direita, $(12/3)\cdot2=4\cdot2=8$.
2. A expressão $12/(3\cdot2)$ seria outra, com resultado 2.

1. Sem parênteses, primeiro calculamos 4² e depois tomamos o oposto: −16.
2. Com parênteses, a base da potência é −4: (−4)(−4) = 16.

1. Substituímos x = −1 e y = 2 em todas as ocorrências: $2(-1)^2-3(-1)\cdot2+2$.
2. Os termos valem 2, 6 e 2. A soma é $2+6+2=10$.

1. O produto é $(3/4)(-2)=-3/2$. Subtraindo $1/2$, temos $-3/2-1/2=-4/2=-2$.

1. Não há quociente real determinado. Se tentássemos definir 0/0 como c, a condição 0 · c = 0 seria satisfeita por qualquer real.
2. A divisão exige denominador não nulo, mesmo quando o numerador também é zero.

1. O denominador precisa ser não nulo: $x-5\ne0$. Portanto, x = 5 é excluído.
2. x = −4 é permitido e faz o numerador zerar. O quociente vale zero, pois o denominador vale −9.

1. O radicando deve ser não negativo: $x-2\geq0$, equivalente a $x\geq2$.
2. A igualdade é permitida: em x = 2 a raiz é zero, e aqui ela não está em um denominador.

1. A raiz exige $x+4\geq0$, mas também não pode zerar no denominador. Assim, $x+4>0$, isto é, $x>-4$.

1. O radical atua sobre o número 2, não sobre x. $\sqrt2$ é um coeficiente real constante. A divisão por 2 também só envolve constantes.
2. Não há variável em radical nem em denominador: a expressão é inteira nessa classificação. O nome da classe não determina se cada valor numérico é racional.

1. O fator numérico, incluindo seu sinal, é −4. Os fatores variáveis formam a parte literal x²y.
2. O expoente 2 acompanha x; não é um fator numérico multiplicando y.

1. Os termos $5x^3$ e $-5x^3$ se anulam. Resta $2x^2y-7$.
2. O termo 2x²y tem grau 2 + 1 = 3. A constante −7 tem grau zero. O maior grau restante é 3.

1. No primeiro par, a ordem dos fatores foi mudada, mas a parte literal continua sendo x¹y² nos dois termos.
2. Para serem semelhantes, todas as variáveis e seus expoentes correspondentes precisam coincidir.

1. Os coeficientes dos quadráticos dão $4-2=2$; os dos termos em x dão $-1+5=4$; as constantes dão $3-8=-5$.
2. Portanto, o resultado é $2x^2+4x-5$.

1. O sinal negativo multiplica todo o grupo: $5x-2x+3$. Juntando os termos em x, obtemos $3x+3$.

1. Distribuindo −2, aparecem $-6x+8+x$. A soma dos coeficientes em x é −6 + 1 = −5.
2. O resultado é $-5x+8$.

1. O produto dos coeficientes é $(-3)\cdot2=-6$. Para x, somamos os expoentes 2 + 1 = 3; para y, 1 + 3 = 4.
2. A expressão final é $-6x^3y^4$.

1. Dividimos os coeficientes: $15/5=3$. Cancelar dois fatores x deixa $x^2$.
2. O denominador original exige $x\ne0$. A simplificação correta é $3x^2$ nesse domínio.

1. Podemos dividir cada parcela pelo mesmo denominador: $x/x+3/x=1+3/x$.
2. O x não é fator de todo o numerador na escrita x + 3. Cancelar apenas a parcela x seria inválido.

1. A distributiva justifica 3(x − 2) = 3x − 6 para todo x real.
2. As duas primeiras igualdades selecionam apenas alguns valores; a última não tem solução real.

1. Substituindo x = 4, temos $3\cdot4-2=12-2=10$.
2. Uma solução precisa pertencer ao universo de trabalho e tornar os dois membros iguais.

1. A construção usa $4+3(n-1)=3n+1$ palitos. Com n = 7, o resultado é $3\cdot7+1=22$.
2. Contar quatro por quadrado duplicaria os lados compartilhados.

C = 8 + 2,50d, com d real e d ≥ 0, em quilômetros. Para d = 6, o custo é 23 reais.

1. A parcela variável é $2{,}50d$ e a taxa fixa acrescenta 8 reais. Assim, $C=8+2{,}50d$.
2. Nesse modelo idealizado, d é uma distância real não negativa em quilômetros. Se a corrida exigir distância positiva, restringimos para d > 0.
3. Para d = 6, $C=8+2{,}50\cdot6=8+15=23$ reais.

$E(x)=x+3$ para $x\ne1$. E(1) não existe; a expressão x + 3 sozinha está definida em 1 e vale 4.

1. O denominador exclui x = 1. Para $x\ne1$, o fator x − 1 é não nulo e pode ser cancelado, deixando x + 3.
2. O cancelamento preserva a igualdade apenas no domínio original. Não autoriza atribuir um valor a E(1).
3. A escrita x + 3 com domínio real completo descreve uma expressão com um valor adicional em x = 1. Para representar E, devemos manter a restrição.

Escreva os inteiros como n, n + 1 e n + 2, com n inteiro. A soma é 3n + 3 = 3(n + 1), um múltiplo de 3. Dois exemplos não justificam todos os casos.

1. Qualquer trio de inteiros consecutivos pode ser escrito como n, n + 1 e n + 2, com $n\in\mathbb Z$.
2. A soma é $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$.
3. Como n + 1 é inteiro, o resultado é 3 vezes um inteiro, portanto divisível por 3. A justificativa também cobre inteiros negativos e zero.
4. Os exemplos conferem casos particulares; a representação geral e a distributiva justificam a afirmação para todo trio permitido.