Inequações e estudo de sinais

1. O extremo −3 é excluído pela relação estrita; 2 é incluído por ≤. Portanto usamos parêntese à esquerda e colchete à direita.

1. Subtraindo 8, −2x ≥ −8. Dividir por −2 inverte a relação: x ≤ 4. O extremo é aceito.

1. Temos 3x − 9 = 3(x − 3). Como 3 é positivo, o sinal negativo ocorre exatamente quando x − 3 < 0. Em x = 3 a expressão vale zero e não satisfaz < 0.

1. A expressão é a constante −5 e a comparação −5 < 0 é verdadeira para qualquer real x. Não se divide por um coeficiente de x igual a zero.

1. Antes de −2, os fatores são ambos negativos; depois de 5, ambos positivos. Entre as raízes têm sinais opostos. A relação estrita exclui os zeros.

1. O produto é negativo entre −2 e 5 e vale zero nas duas raízes. A relação ≤ inclui os dois extremos, que pertencem ao domínio.

1. Multiplicar por −1 inverte a relação: (x − 1)(x + 3) ≤ 0. O produto é negativo entre −3 e 1 e zero nos extremos.

1. Uma potência ímpar tem o sinal da base. O cubo é positivo exatamente quando x − 2 > 0.

1. O quadrado de um real nunca é negativo. Em −4 ele é zero, o que também não satisfaz a relação estrita.

1. Como um quadrado é não negativo, só pode ser ≤ 0 quando é zero. Isso acontece em x = −4.

1. A potência par é positiva fora de seu zero −4. Aceitamos os dois lados da reta e excluímos somente o zero.

1. Fora de 3, o quadrado é positivo e o produto tem o sinal de x + 1, sendo negativo antes de −1. Os zeros −1 e 3 são aceitos por ≤, e 3 aparece isolado porque seus vizinhos têm produto positivo.

1. Os zeros são −4, 1 e 3, todos simples. Na ordem dos quatro intervalos, os produtos têm sinais −, +, − e +. Escolhemos os positivos e excluímos os zeros.

1. A fatoração é (x + 2)(x − 5). Com coeficiente principal positivo, a expressão é negativa entre as raízes. A relação é estrita.

1. Multiplicar por −1 dá x² − 3x − 10 ≤ 0. A expressão (x + 2)(x − 5) é não positiva entre as raízes, incluindo −2 e 5.

1. A fatoração é 2(x − 1)(x − 3). O sinal é positivo fora das raízes e zero nelas. A relação ≥ inclui os extremos.

1. A fatoração é (x − 1)(x − 5). O produto é negativo entre 1 e 5, e os dois zeros são permitidos por ≤.

1. O quadrado é não negativo. Multiplicar por −2 dá um valor não positivo; nunca estritamente positivo.

1. O produto de −2 por um quadrado é sempre não positivo, inclusive no zero x = 4. Assim todos os reais servem.

1. A expressão é (x + 2)² + 4 e é estritamente positiva em toda a reta. Não há zeros a excluir.

1. A expressão (x + 2)² + 4 é sempre pelo menos 4, então nunca é ≤ 0.

1. A expressão é −[(x − 1)² + 4], estritamente negativa em todos os reais.

1. O domínio exclui −2. O quociente é positivo antes de −2 e depois de 3, e vale zero em 3. Incluímos 3 e nunca −2.

1. O quociente é negativo quando o numerador é negativo e o denominador positivo, isto é, −2 < x < 3. O ponto −2 é proibido e 3 dá zero, que não satisfaz <.

1. Em x = 3, o numerador é zero e o denominador vale 5, então a fração é zero. Em −2 ela não existe, e em 0 vale −3/2, sem igualdade.

1. O domínio exige x ≠ 0. Como o numerador é positivo, a fração é negativa exatamente quando o denominador x é negativo. Multiplicar por x sem separar sinais não preserva automaticamente a orientação.

1. Com x ≠ 1, subtraímos 2 escrevendo a diferença no mesmo denominador: [(3x + 1) − 2(x − 1)]/(x − 1) ≥ 0. O numerador é 3x + 1 − 2x + 2 = x + 3. O quociente é não negativo antes de −3, incluindo −3, e depois de 1, excluindo 1.

1. O domínio exclui ±2. A diferença é 4/(x² − 4), positiva exatamente quando o denominador é positivo: x < −2 ou x > 2.

1. No domínio x ≠ −2, multiplicar por (x + 2)², estritamente positivo, dá (x − 3)(x + 2) ≥ 0. A restrição original não desaparece.

1. O domínio exclui 2. Cancelando x − 2 onde é não nulo, resta x + 2 > 0, ou x > −2. Retiramos o ponto 2 e não incluímos −2 porque a relação é estrita.

1. O denominador é positivo fora de 2, que é proibido. Assim precisamos de x + 1 ≥ 0 e x ≠ 2. O zero −1 é permitido e incluído.

1. A escrita original exclui 1. Nesse domínio o produto é x − 1, e a condição ≤ 0 dá x ≤ 1. Retirar o ponto proibido deixa x < 1. O produto 0·(1/0) não está definido.

1. O fator x² + 4 é sempre positivo. Dividir por ele preserva >, restando x² − 9 > 0, que vale fora das raízes −3 e 3, sem incluir os zeros.

1. Os pontos ordenados são −3, −2, 2 e 3. Na ordem dos cinco intervalos, os sinais são +, −, +, − e +. Incluímos os zeros do numerador ±2 e excluímos os do denominador ±3.

1. A primeira dá [−2, 2]. A segunda tem solução (−∞, 0) ∪ (1, +∞), pois o quociente exige mesmo sinal e exclui 1. A interseção é [−2, 0) ∪ (1, 2].

1. O domínio exclui 1. A condição ≥ 0 admite (−∞, −1] ∪ (1, +∞). Subtrair 2 na condição ≤ 2 dá (3 − x)/(x − 1) ≤ 0, cuja solução é (−∞, 1) ∪ [3, +∞). A interseção é a indicada, com os dois zeros de fronteira aceitos.

1. A primeira condição dá (−2, 2) e a segunda [4, +∞). O conectivo “ou” pede a união, sem preencher a lacuna entre as faixas.

1. Dividir por m negativo inverte ≥: x² − 4 ≤ 0. O produto (x − 2)(x + 2) é não positivo entre as raízes, incluindo os extremos.

1. A inequação se torna (x − 1)² ≤ 0. Um quadrado só é não positivo quando é zero, então apenas x = 1 serve.

1. A expressão é (x − 3)² + t − 9. Para ser estritamente positiva inclusive em x = 3, precisamos de t − 9 > 0. Essa condição também é suficiente para todos os demais reais.

$\mathcal S=(-\infty,-2)\cup[3,+\infty)$.

1. O domínio original exclui −2 e 1. Cancelar uma cópia de x + 2 dá (x + 2)(x − 3)/(x − 1)², mantendo as duas exclusões.
2. Fora de 1, o denominador ao quadrado é positivo. O sinal é o de (x + 2)(x − 3), positivo antes de −2 e depois de 3, negativo entre eles e zero nas duas raízes.
3. O ponto −2 continua proibido pelo denominador original. O ponto 1 também é proibido, embora esteja em uma faixa que já não seria selecionada. O ponto 3 pertence ao domínio e zera o numerador, sendo aceito por ≥.
4. A solução final é (−∞, −2) ∪ [3, +∞). Por exemplo, em −3 a fração é positiva; em 0 é negativa; em 3 é zero.

Se m < 2: $(-\infty,m)\cup(m,2]$. Se m = 2: $(-\infty,2)$. Se m > 2: $(-\infty,2]$.

1. O domínio original exige x ≠ m. Nesse domínio, cancelar x − m transforma a inequação em x − 2 ≤ 0, ou x ≤ 2.
2. Se m < 2, o ponto proibido está dentro da semirreta selecionada. Retirá-lo divide a solução em (−∞, m) ∪ (m, 2].
3. Se m = 2, o próprio extremo de igualdade é proibido, então a solução é (−∞, 2).
4. Se m > 2, o ponto proibido já está fora da semirreta x ≤ 2. A solução permanece (−∞, 2]. Todos os casos preservam a exclusão original, sem depender apenas da forma simplificada.

$\mathcal S=[5/2,+\infty)$.

1. O domínio exclui 1. Na condição (x + 2)/(x − 1) > 1, subtrair 1 produz o numerador (x + 2) − (x − 1) = 3 sobre x − 1. Assim 3/(x − 1) > 0, cuja solução é x > 1.
2. Na condição (x + 2)/(x − 1) ≤ 3, subtrair 3 produz o numerador (x + 2) − 3(x − 1) = x + 2 − 3x + 3 = 5 − 2x. A inequação é (5 − 2x)/(x − 1) ≤ 0. Seu quadro tem pontos 1 e 5/2 e admite (−∞, 1) ∪ [5/2, +∞).
3. A interseção com (1, +∞) é [5/2, +∞). Em x = 5/2, a fração vale 3, aceito pela segunda comparação e maior que 1.
4. Para x > 5/2, a escrita 1 + 3/(x − 1) mostra um valor maior que 1 e menor que 3. O símbolo +∞ não é um ponto incluído; ele recebe parêntese.

n ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11}.

1. O domínio é n inteiro, 1 ≤ n ≤ 15. A condição de lucro positivo é −n² + 15n − 36 > 0, equivalente a (n − 3)(n − 12) < 0. Nos reais, isso exige 3 < n < 12.
2. Como n > 0, a condição (36 + 3n)/n ≤ 9 pode ser multiplicada por n sem inverter o símbolo. Obtemos 36 + 3n ≤ 9n, portanto n ≥ 6.
3. A interseção das duas condições reais é [6, 12). Aplicar o universo inteiro do modelo dá 6, 7, 8, 9, 10 e 11.
4. Em n = 6, o lucro é 18 reais e o custo médio é 54/6 = 9 reais. Em n = 12, o lucro seria zero e não atende à condição estrita; em n = 5, o custo médio seria 51/5 > 9. Isso confere os limites escolhidos.