Equações polinomiais

1. Ao levar tudo a um membro, os termos x⁴ se cancelam e resta 2x² − 7 = 0. O coeficiente quadrático é não nulo, então o grau é 2.

1. A equação é x² = −4, com as duas soluções ±2i. Em ℝ o conjunto seria vazio; o universo declarado é ℂ.

1. O polinômio nulo tem valor zero para todo x. Constante não nula não tem raiz. O limite de raízes pelo grau se aplica a polinômios não nulos.

1. O resto é P(2) = 8 + 4 − 5 = 7. Não precisamos calcular todo o quociente.

1. A raiz de x + 1 é −1. Substituímos: (−1)⁴ − 3(−1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5.

1. O teorema do fator garante x − (−3) = x + 3. O sinal vem da raiz do divisor.

1. Exigimos P(2) = 8 − 4 + k = 0. Assim k = −4.

1. A lista segue os graus 4, 3, 2, 1 e 0. Como faltam x³ e x², seus coeficientes são zero.

1. Com base 1 e coeficientes 1, −2, −1, 2, a linha final é 1, −1, −2, 0. A identidade é P = (x − 1)(x² − x − 2).

1. O último número é o resto. Os três anteriores são coeficientes do quociente nos graus 2, 1 e 0.

1. Como 2x − 4 = 2(x − 2), o quociente é dividido por 2 e o resto permanece 5. A identidade é P = (2x − 4)(2x² + x − 3) + 5.

1. O resto é P(i) = i³ + i + 2 = −i + i + 2 = 2. O teorema também vale para uma base complexa.

1. Fatoramos x(x² − x − 6) = x(x − 3)(x + 2). O produto nulo dá 0, 3 e −2. Dividir por x sem separar o caso zero perderia uma raiz.

1. Antes de usar uma raiz anunciada, confira: P(1) = 1 − 4 + 1 + 6 = 4 ≠ 0. Portanto o dado de que 1 é raiz é inconsistente; as listas com essa raiz não podem ser corretas. Essa verificação evita executar uma divisão como se fosse exata.

1. Os expoentes dos fatores são as multiplicidades exatas, pois o outro fator não zera no ponto considerado. O fator constante 3 não altera raízes.

1. As raízes distintas são 1 e −3. A primeira tem multiplicidade 5 e a segunda, 1: o total com multiplicidade é 6.

1. Se S(r) ainda fosse zero, o teorema do fator permitiria retirar outro x − r e a multiplicidade seria maior. A condição S(r) ≠ 0 encerra a repetição.

1. Cada raiz distinta retira um fator linear. Cinco raízes distintas exigiriam grau pelo menos 5. A contagem vale em ℂ, independentemente de os coeficientes serem reais.

1. A diferença P − Q tem grau no máximo 3, se não for nula. Quatro raízes distintas forçariam essa diferença a ser identicamente zero.

1. O TFA garante existência de uma raiz complexa; aplicado repetidamente com o teorema do fator, fornece cinco raízes contando multiplicidades. Elas podem repetir e não precisam ser reais ou racionais.

1. O fator x² + 4 = (x − 2i)(x + 2i) fornece duas raízes não reais simples. O fator (x − 3)² fornece 3 dupla. O total é quatro contando multiplicidades.

1. Com coeficientes reais, o conjugado de uma raiz também é raiz. O conjugado de −1 + 2i é −1 − 2i.

1. O par produz (x − 2)² + 3² = x² − 4x + 4 + 9 = x² − 4x + 13.

1. A contagem de sete raízes inclui multiplicidades. As não reais vêm em pares conjugados de multiplicidades iguais, somando uma quantidade par. Resta ao menos uma raiz real.

1. O numerador divide o termo constante 2, e o denominador positivo divide o dominante 2. Reduzindo e retirando repetições, ficam ±1, ±2 e ±1/2. São candidatos, ainda não raízes confirmadas.

1. O teorema de divisibilidade se aplica a coeficientes inteiros, com termo constante não nulo para a lista finita. Frações reduzidas e denominador positivo evitam conclusões incorretas; coeficientes racionais podem ser convertidos em inteiros.

1. O teste abrange racionais, não todos os reais. As soluções x = ±√5 são reais e irracionais.

1. Aplicando Girard: s₁ = −(−6)/3 = 2; s₂ = 9/3 = 3; s₃ = −(−12)/3 = 4. As raízes são contadas com multiplicidade.

1. No grau quatro, s₃ é o oposto do coeficiente linear dividido pelo dominante. Logo s₃ = −8/2 = −4.

1. Os três pares de posições produzem 1 · 1, 1 · 2 e 1 · 2. A soma é 1 + 2 + 2 = 5. A repetição de valores não elimina posições da contagem.

1. Pela expansão da soma ao quadrado, a resposta é s₁² − 2s₂ = 16 − 6 = 10. A identidade também vale para raízes complexas.

1. O termo constante é −4 ≠ 0, portanto nenhuma raiz é zero. A soma dos recíprocos é −a₁/a₀ = −7/(−4) = 7/4.

1. A forma é (x − 2)²(x + 1). Expandindo (x² − 4x + 4)(x + 1), obtemos x³ − 3x² + 4.

1. P = A(x − 1)(x − 3). Em zero, 3A = 6, então A = 2. As raízes sozinhas não fixariam essa constante.

1. Calculamos y³P(1/y) = 1 − 2y + 3y² − 4y³. O termo constante original é não nulo, então as raízes de P são não nulas; a nova expressão tem constante 1, sem acrescentar y = 0.

1. A primeira condição é 1 + a + b = 0. O quociente por x − 1 é x² + x + a + 1, que também deve zerar em 1: a + 3 = 0. Logo a = −3 e b = 2; o fator restante é x + 2 e não zera em 1.

1. O coeficiente dominante se anula quando t + 2 = 0. Em t = −2, resta x² − 1 = 0, de grau 2.

1. Com t = x² ≥ 0, temos t² + t − 6 = (t − 2)(t + 3). Somente t = 2 retorna a x real, dando ±√2. O ramo t = −3 só retorna em ℂ.

1. O resto é ux + v. Em 1, P = 4, então u + v = 4; em −1, P = −2, então −u + v = −2. Logo u = 3 e v = 1.

1. A identidade permite R(x) = ux + v. Em x = 2, obtemos apenas 2u + v = P(2). Repetir essa avaliação não cria outra condição; é preciso usar divisão ou expansão em x − 2.

1. A lista de sinais +, −, +, − tem três mudanças. O número de raízes positivas é três ou um, diferindo do total de mudanças por um inteiro par não negativo.

1. Ignoramos os coeficientes zero. A lista de sinais não nulos é +, −, +, com duas mudanças. Zero não é um sinal intermediário.

1. Valores de sinais opostos garantem existência de pelo menos uma raiz entre os extremos. Isso usa a continuidade do polinômio e, sem informação adicional, não garante unicidade nem racionalidade.

1. Cada passo divide o comprimento por 2. Após quatro passos, 8/2⁴ = 8/16 = 1/2. O erro do ponto médio como aproximação de uma raiz desse intervalo é no máximo 1/4.

$\mathcal S=\{-1,1/2,3\}$.

1. P(3) = 54 − 45 − 12 + 3 = 0, então x − 3 é fator. Ruffini com coeficientes 2, −5, −4, 3 e base 3 dá 2, 1, −1, 0.
2. O quociente é 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1). Portanto P = (x − 3)(2x − 1)(x + 1).
3. O produto nulo fornece 3, 1/2 e −1. A expansão reconstrói o polinômio e mostra que as três raízes são simples, completando o grau em ℂ.

a = −3, b = 0; P = (x − 2)²(x + 1), e 2 é raiz dupla.

1. A condição P(2) = 0 dá 8 + 4a + 2b + 4 = 0, ou 2a + b = −6.
2. Ruffini com base 2 fornece o quociente x² + (a + 2)x + b + 2a + 4, sob a condição de resto zero. Para uma segunda divisão exata, seu valor em 2 deve zerar: 4 + 2a + 4 + b + 2a + 4 = 4a + b + 12 = 0.
3. O sistema 2a + b = −6 e 4a + b = −12 dá a = −3 e b = 0. O quociente final é x + 1, cujo valor em 2 é 3 ≠ 0; portanto a multiplicidade é exatamente 2.

Soma = 4; soma dos quadrados = 6; soma dos recíprocos = 5.

1. Por Girard, s₁ = 4, s₂ = 5 e s₃ = 1. As raízes são contadas com multiplicidade.
2. A soma dos quadrados é s₁² − 2s₂ = 16 − 10 = 6.
3. Como o produto das raízes é 1, nenhuma é zero. A soma dos recíprocos é s₂/s₃ = 5/1 = 5. Não foi necessário encontrar as raízes nem supor que sejam racionais.

Largura 2 cm, comprimento 4 cm e altura 4 cm.

1. As medidas exigem x > 0. O volume fornece x(x + 2)(2x) = 32, equivalente a x³ + 2x² − 16 = 0 após dividir por 2.
2. O valor x = 2 resolve, pois 8 + 8 − 16 = 0. A divisão por x − 2 dá x² + 4x + 8. Seu discriminante é 16 − 32 = −16, então não há outras raízes reais.
3. A única raiz real 2 é positiva. As dimensões são 2, 4 e 4 cm, cujo produto é 32 cm³. As duas outras raízes complexas −2 ± 2i não representam medidas reais de uma caixa.