Equações e inequações do primeiro grau

1. Para x = 5, $3\cdot5-4=15-4=11$. Substituir na condição original verifica que o valor é solução.

1. A única solução real é $5/2=2{,}5$, que não pertence a ℤ. Portanto, não há solução inteira. Arredondar para 2 ou 3 não preserva a igualdade.

1. Subtrair o mesmo valor dos dois membros preserva a igualdade. Podemos desfazer o passo somando 4 a ambos.

1. Multiplicar por zero está definido, mas elimina a informação sobre x. A nova igualdade é verdadeira até para x = 1, que não resolve a original.
2. Não há operação inversa de divisão por zero que recupere a condição anterior.

1. Somando 5, temos $7x=35$. Dividir por 7 produz x = 5. Na original, $35-5=30$.

1. Subtraindo 7, $-3x=12$. Dividindo por −3, obtemos x = −4. A verificação é $-3(-4)+7=19$.

1. Subtraímos 2x e somamos 8 dos dois lados: $3x=21$. Assim, x = 7. Os dois membros originais valem 27.

1. Distribuindo: $6x-8=4x+10$. Subtrair 4x e somar 8 dá $2x=18$, então x = 9.
2. Na original, o primeiro membro é 2 · 23 = 46, igual a 4 · 9 + 10.

1. O oposto do grupo é −2x − 3. Logo, $4x-2x-3=9$, então $2x=12$ e x = 6.

1. Multiplicamos todos os termos por 6: $2(x-2)+3(x+1)=24$.
2. Distribuindo: $5x-1=24$, portanto x = 5. A conferência dá $3/3+6/2=1+3=4$.

1. Multiplicando a igualdade inteira por 10, obtemos $3x+12=36$. Depois, $3x=24$, logo x = 8.

1. O primeiro membro reduz-se a $4x-2$, igual ao segundo. Subtraindo essa expressão de ambos, resta 0 = 0. Todo real resolve.

1. A igualdade vira $3x+1=3x+6$. Subtrair 3x exigiria 1 = 6, que é falso. Não há solução.

1. O coeficiente de x precisa ser não nulo: m − 3 ≠ 0. Para esses valores, a raiz é 6/(m − 3).
2. Em m = 3, a condição 0x = 6 é impossível.

1. Substituindo o parâmetro antes de dividir, obtemos 0x = 6, falsa para qualquer real x. A expressão 6/(m − 3) não pode ser usada em m = 3.

1. Em m = 0, o primeiro membro é zero para todo x. Assim, a igualdade é uma identidade e todos os reais resolvem.
2. Dividir por m nessa situação excluiria indevidamente esse caso.

1. Subtraímos t: $C-t=pq$. Como q ≠ 0, dividimos os dois membros por q: $p=(C-t)/q$.

1. Se o primeiro é n, os demais são n + 1 e n + 2. Temos $3n+3=96$, logo $3n=93$ e n = 31.
2. A última alternativa soma 96, mas não contém inteiros consecutivos. Todas as condições do enunciado precisam ser atendidas.

1. Se x é a idade atual, $2(x+4)=3(x-2)$. Distribuindo, $2x+8=3x-6$, portanto x = 14.
2. A conferência usa 18 anos no futuro e 12 no passado: o dobro de 18 e o triplo de 12 valem 36.

1. A equação é $s-s/4-2s/5=420$, pois as duas frações incidem sobre o salário original s.
2. Multiplicando por 20: $20s-5s-8s=8400$. Assim, $7s=8400$ e s = 1200 reais. Conferindo, 1200 − 300 − 480 = 420.

1. O símbolo ≥ significa maior ou igual. Portanto, tanto a igualdade x = 3 quanto os valores superiores satisfazem a condição.

1. Somamos 5 nos dois membros, preservando a relação estrita: x < 7. A igualdade x = 7 não satisfaz a original.

1. A divisão por −2 inverte > para <: $x<-5$. O extremo −5 é excluído porque produziria igualdade, não >.

1. Subtraindo 2, $3x\leq12$. A divisão por 3, positivo, mantém a ordem: $x\leq4$.

1. Distribuímos: $2x-6\geq3x+1$. Subtraindo 3x e somando 6, $-x\geq7$.
2. Dividir por −1 inverte ≥ para ≤: $x\leq-7$.

1. Multiplicamos por 6, positivo: $3(x-1)\leq2(x+2)$.
2. Assim, $3x-3\leq2x+4$, de onde $x\leq7$.

1. Subtraindo 5x, resta −1 ≤ 2, uma afirmação verdadeira. Todo real x é solução. Não há motivo para dividir por um coeficiente zero.

1. Subtraindo 2x, a condição seria 4 < −1, falsa. Nenhum real x a satisfaz.

1. O extremo −2 é incluído por causa do ≤ e recebe colchete. O extremo 4 é excluído pela relação < e recebe parêntese.

1. −3 é excluído e a faixa segue para a direita. O símbolo +∞ indica ausência de limite final e sempre recebe parêntese, pois não é um número real incluído.

1. A palavra “e” exige as duas condições: maior que 1, mas menor ou igual a 4. A resposta é a interseção das faixas.

1. A palavra “ou” inclusivo pede a união: a faixa à esquerda de −2, excluindo −2, e a faixa a partir de 3, incluindo 3.
2. Não acrescentamos os valores entre −2 e 3, pois eles não satisfazem nenhuma das condições.

1. Subtraímos 1 das três partes: $-6<2x\leq6$. Dividimos por 2, positivo: $-3<x\leq3$.

1. Substituímos m: $-2x\leq6$. Dividir por −2 inverte ≤ para ≥, produzindo $x\geq-3$.

1. A condição é $15+8q\leq60$, com q inteiro não negativo. Obtemos $q\leq45/8=5{,}625$.
2. O maior inteiro permitido é 5: cinco unidades custam 55 reais, enquanto seis custam 63 reais e ultrapassam o orçamento.

1. A comparação é $20+3x\leq8+5x$. Subtrair 3x e 8 produz $12\leq2x$, portanto x ≥ 6.
2. O empate em x = 6, com ambos os planos custando 38 reais, está incluído na expressão “no máximo o mesmo”.

A distributiva correta dá 3x − 6 = x + 4. A solução é x = 5, e ambos os membros originais valem 9.

1. O fator 3 precisa multiplicar tanto x quanto −2. Portanto, $3(x-2)=3x-6$, e não 3x − 2.
2. Temos $3x-6=x+4$, depois $2x=10$ e x = 5.
3. Na original: $3(5-2)=9$ e $5+4=9$. Já x = 3 daria 3 no primeiro membro e 7 no segundo, refutando a resposta incorreta.

Se m > 0: x ≤ −2/m. Se m < 0: x ≥ −2/m. Se m = 0: não há solução.

1. Para m > 0, dividimos sem inverter: $x\leq-2/m$.
2. Para m < 0, a divisão inverte a relação: $x\geq-2/m$.
3. Para m = 0, avaliamos 0 ≤ −2, que é falso; logo S = ∅. Não calculamos −2/0.

Nos reais: [−2,4), com −2 incluído e 4 excluído. Nos inteiros: {−2,−1,0,1,2,3}.

1. A primeira condição dá $2x\geq-4$, portanto $x\geq-2$.
2. A segunda dá $-x>-4$. Dividir por −1 inverte > para <, então x < 4.
3. A interseção é [−2,4): ponto preenchido em −2, vazio em 4 e faixa entre eles destacada.
4. No universo ℤ, selecionamos apenas os inteiros do intervalo: −2, −1, 0, 1, 2 e 3.

A não ultrapassa B para t ≥ 6. Com as duas condições, 6 ≤ t ≤ 29/4 horas. As horas inteiras são 6 e 7; o máximo é 7.

1. A comparação $24+4t\leq12+6t$ equivale a $12\leq2t$, portanto t ≥ 6. Em t = 6, os dois custam 48 reais.
2. O orçamento exige $24+4t\leq53$, então $4t\leq29$ e $t\leq29/4=7{,}25$.
3. Fazemos a interseção das condições e do domínio t ≥ 0: $t\in[6,29/4]$.
4. As horas inteiras permitidas são 6 e 7. Em t = 7, A custa 52 reais e B custa 54; em t = 8, A já custaria 56 reais, excedendo o orçamento.