Equações do segundo grau

1. Desenvolver e reunir os termos dá 2x² − 6x − x − 5 = 0. Portanto a = 2, b = −7 e c = −5.

1. O coeficiente quadrático é t − 2. Ele deve ser não nulo, o que equivale a t ≠ 2. Em t = 2, a equação é linear.

1. Os termos x² se cancelam: 4x = 8, então x = 2. O grau é identificado depois da redução.

1. Colocando 2x em evidência, 2x(x + 3) = 0. Logo x = 0 ou x = −3. Dividir por x perderia a solução zero.

1. A equação equivale a x² = 8. Os dois valores são ±√8 = ±2√2; os dois quadrados valem 8.

1. Isolar o quadrado dá x² = −4. Nenhum real tem quadrado negativo.

1. A equação equivale a x² = 0, cujo único valor real é zero. A multiplicidade da raiz não aumenta o número de elementos do conjunto solução.

1. Primeiro reduza a x² − x − 6 = 0, isto é, (x − 3)(x + 2) = 0. As soluções são 3 e −2. Igualar os fatores originais a zero daria produto 0, não 4.

1. Temos x + 3 = 2 ou x + 3 = −2. Subtraindo 3, obtemos −1 e −5.

1. O símbolo √ indica a raiz não negativa. Já a equação procura todos os números cujo quadrado é 25, e tanto 5 quanto −5 atendem a isso.

1. A metade de −10 é −5. Seu quadrado é 25, e x² − 10x + 25 = (x − 5)². Em uma equação, a mesma constante deve ser somada aos dois membros.

1. Dividir por 2 e somar 4 aos dois membros dá x² + 4x + 4 = −1/2 + 4 = 7/2. O primeiro membro é (x + 2)². Logo x + 2 = ±√(7/2). Como 7/2 = 14/4, temos √(7/2) = √14/2; subtrair 2 dá x = −2 ± √14/2.

1. Com a = 2, b = −3 e c = −5, temos Δ = (−3)² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49.

1. Com a = 3, b = 2 e c = −1, Δ = 2² − 4·3·(−1) = 4 + 12 = 16. Substituímos na fórmula: x = (−2 ± √16)/(2·3) = (−2 ± 4)/6. As duas contas dão (−2 + 4)/6 = 1/3 e (−2 − 4)/6 = −1.

1. Multiplicar por −1 fornece x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) = 0. As raízes são 4 e −2. A fórmula geral na escrita original daria os mesmos valores.

1. A expressão é (2x + 3)². Seu único zero é −3/2. A raiz é dupla, mas aparece uma vez no conjunto solução.

1. Δ = 4 − 20 = −16. Também podemos escrever (x + 1)² + 4 = 0, impossível nos reais.

1. O discriminante é 4 + 8 = 12. Assim x = (2 ± √12)/2 = 1 ± √3. Não há necessidade de aproximação decimal.

1. Com b = 2k e k = −4, k² − ac = 16 + 4 = 20. Portanto x = (4 ± √20)/4 = 1 ± √5/2.

1. Multiplicar todos os termos por 6 dá 2x² − 3x − 1 = 0. O discriminante é 9 + 8 = 17, e as raízes são (3 ± √17)/4.

1. Δ = 64 − 24 = 40 > 0 garante raízes reais. S = −b/a = 8/3 e P = c/a = 2/3.

1. A equação é (x − 2)² = 0. Nas relações de soma e produto, consideramos r₁ = r₂ = 2, portanto a soma é 4, embora o conjunto solução seja {2}.

1. A soma é −2 e o produto é −8. Logo a equação mônica é x² − (−2)x − 8 = 0, ou x² + 2x − 8 = 0.

1. As raízes são −1 e 3, e o coeficiente principal é 2. Portanto a forma fatorada é 2(x + 1)(x − 3). O fator 2 é necessário para reconstruir o polinômio.

1. Δ = 25 − 12 = 13 > 0. A soma é 5 e o produto 3; logo r₁² + r₂² = S² − 2P = 25 − 6 = 19.

1. As raízes são reais, S = 5 e P = 3 ≠ 0. Portanto ambas são não nulas e a soma dos recíprocos é S/P = 5/3.

1. Δ = 36 − 4·(−3)·9 = 144. A distância é √Δ/|a| = 12/3 = 4. As raízes −1 e 3 confirmam esse valor.

1. Δ = 49 − 40 = 9 > 0 garante duas raízes reais distintas. Como P = 10 > 0, têm mesmo sinal; como S = 7 > 0, ambas são positivas.

1. O discriminante positivo assegura dois valores reais distintos. Por exemplo, x² − 9 = 0 tem sinais opostos, enquanto x² − 5x + 6 = 0 tem ambas positivas; nos dois casos Δ > 0.

1. Em m = 1 o termo quadrático desaparece. A equação é 2x − 1 = 0, de primeiro grau, cuja solução é 1/2.

1. Em m = 0 a equação é linear e tem solução 1/2. Para m ≠ 0, Δ = 4 − 4m é negativo exatamente quando m > 1. Em m = 1 há raiz dupla.

1. Substituindo x = 3, temos 9 − 3k + 12 = 0, então k = 7. Como o produto é 12, a outra raiz é 12/3 = 4.

1. O coeficiente principal é 1 para todo t. A condição Δ = 4t² − 64 = 0 equivale a t² = 16, portanto t = ±4.

1. O domínio exclui 2. Multiplicar por x − 2 dá x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) = 0. O candidato 2 é proibido; em 4, a original vale (16 − 20 + 6)/2 = 1.

1. Com t = x² ≥ 0, t² − 10t + 9 = (t − 1)(t − 9) = 0. Para t = 1, x = ±1; para t = 9, x = ±3.

1. Com t = x² ≥ 0, temos (t + 2)(t − 1) = 0. Descartamos t = −2, que não é quadrado real. Para t = 1, x = ±1.

1. A fatoração x²(x − 3)(x + 3) = 0 dá −3, 0 e 3. O valor zero não deve ser contado duas vezes como elemento do conjunto.

1. Faça t = x + 2. A equação (t − 4)(t + 1) = 0 dá t = 4 ou −1. Retornando, x = 2 ou −3.

1. Para largura x > 0, x(x + 3) = 70. A fatoração (x + 10)(x − 7) = 0 dá −10 e 7, mas só 7 é medida positiva. As dimensões 7 e 10 produzem 70 cm².

1. A equação é t² − 8t + 12 = (t − 2)(t − 6) = 0. Ambos os valores pertencem ao intervalo e produzem altura 12: −4 + 16 = 12 e −36 + 48 = 12.

Se m = 1, $\mathcal S=\{1\}$. Se m ≠ 1, $\mathcal S=\{1,(m+1)/(m-1)\}$, com dois elementos distintos.

1. Se m = 1, a equação se reduz a −2x + 2 = 0, de primeiro grau, com solução 1.
2. Se m ≠ 1, a = m − 1 é não nulo. Δ = (−2m)² − 4(m − 1)(m + 1) = 4m² − 4(m² − 1) = 4 > 0.
3. As duas contas da fórmula dão (2m + 2)/[2(m − 1)] = (m + 1)/(m − 1) e (2m − 2)/[2(m − 1)] = 1. Igualar o primeiro valor a 1 exigiria m + 1 = m − 1, impossível, então são distintos.
4. A identidade [(m − 1)x − (m + 1)](x − 1) reconstrói a expressão original e confere as soluções em todos os casos considerados.

$y^2-10y+13=0$.

1. Δ = 16 − 4 = 12 > 0 confirma raízes reais. A soma original é S = 4 e o produto é P = 1.
2. A nova soma é (2r₁ + 1) + (2r₂ + 1) = 2S + 2 = 10.
3. O novo produto é 4r₁r₂ + 2(r₁ + r₂) + 1 = 4P + 2S + 1 = 13.
4. A equação mônica pedida é y² − (nova soma)y + (novo produto) = 0, isto é, y² − 10y + 13 = 0. Seu discriminante 100 − 52 = 48 > 0 também confirma duas raízes reais distintas.

$\mathcal S=\{(3-\sqrt5)/2,(3+\sqrt5)/2\}$.

1. O domínio original é x ≠ 0. Com t = x + 1/x, temos x² + 1/x² = t² − 2. A equação se reduz a t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) = 0.
2. Para t = 1, o retorno é x² − x + 1 = 0, de Δ = −3, sem solução real. Portanto não basta aceitar t = 1 como se fosse uma solução em x.
3. Para t = 3, o retorno é x² − 3x + 1 = 0, com raízes (3 ± √5)/2. Ambas são não nulas, pois seu produto é 1.
4. Para as duas raízes, x + 1/x = 3 e x² + 1/x² = 3² − 2 = 7. A equação original fica 7 − 4·3 + 5 = 0, confirmando as soluções.

x = 2 cm.

1. A largura x deve ser positiva. As dimensões externas são 10 + 2x e 6 + 2x, pois há moldura nos dois lados de cada dimensão.
2. A placa tem área 60 cm². Portanto (10 + 2x)(6 + 2x) − 60 = 80. Expandir dá 4x² + 32x − 80 = 0, ou x² + 8x − 20 = 0.
3. A fatoração (x + 10)(x − 2) = 0 dá os candidatos −10 e 2. O negativo não representa uma largura; aceitamos 2.
4. Conferindo, as dimensões externas são 14 cm por 10 cm, com área 140 cm². Retirar os 60 cm² da placa deixa exatamente 80 cm² de moldura.