Equações com radicais e módulo

1. A raiz exige x − 2 ≥ 0, ou x ≥ 2; o denominador exige x ≠ 5. O numerador pode ser zero em x = 2. A interseção é [2, 5) ∪ (5, +∞).

1. A raiz precisa existir e não pode ser zero: 8 − 2x > 0. Assim −2x > −8 e, dividindo por −2, x < 4.

1. O índice 3 é ímpar. A raiz existe para qualquer radicando real e preserva seu sinal. Para x < −6, x + 6 é negativo e a raiz cúbica também.

1. A raiz principal não é negativa. Se A = B² e B ≥ 0, então √A = √(B²) = |B| = B. Sem a condição, B negativo poderia produzir um candidato inválido.

1. O domínio é x ≥ −6, e a igualdade exige x ≥ 0. Elevando ao quadrado: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) = 0. O candidato −2 dá 2 = −2 na original e sai; 3 dá 3 = 3.

1. O domínio é x ≥ −3/2 e o segundo membro exige x ≥ −1. O quadrado dá 2x + 3 = x² + 2x + 1, logo x² = 2. Somente √2 é pelo menos −1; −√2 produz segundo membro negativo e não serve.

1. No domínio x ≥ −2/5, a raiz é não negativa, então o primeiro membro é pelo menos 3. Isolando a raiz, obteríamos √(5x + 2) = −2, impossível.

1. Usando (a + b)² = a² + 2ab + b², com a = √A e b = √B, obtemos A + 2√A√B + B. As condições A, B ≥ 0 permitem escrever o produto das raízes como √(AB).

1. O domínio é x ≥ 0. Isolando √(x + 9) = 3 + √x, os dois membros são não negativos. O quadrado dá x + 9 = 9 + 6√x + x, logo √x = 0 e x = 0. Na original, 3 − 0 = 3.

1. Elevar ao cubo é reversível nos reais: 3x + 2 = −8. Assim 3x = −10 e x = −10/3. O radicando −8 tem raiz cúbica −2.

1. Uma raiz de índice par é a principal e tem resultado não negativo. O alvo −2 é impossível. Elevar à quarta potência sem esse controle criaria x = 15, cuja raiz original vale 2, não −2.

1. O domínio é x ≥ 0. Com t = √x ≥ 0, temos t² + t − 6 = (t + 3)(t − 2) = 0. O candidato t = −3 é proibido; t = 2 dá x = 4. Na original, 4 + 2 − 6 = 0.

1. A raiz interna exige x ≥ 1 e então a externa existe. Defina t = √(x − 1) ≥ 0, com x = t² + 1. O quadrado da igualdade dá (t + 1)² = 16. Temos t = 3 ou −5; apenas 3 serve, produzindo x = 10. A conferência é √(10 + 2√9) = √16 = 4.

1. As raízes exigem simultaneamente x ≥ 1 e x ≤ 7. Dentro desse domínio, igualar os radicandos é equivalente: x − 1 = 7 − x, então x = 4. Os dois radicandos valem 3.

1. O domínio é x ≥ −1. Como 2 é positivo, a comparação equivale a x + 1 < 4, então x < 3. O ponto −1 entra e 3 sai.

1. Precisamos de x ≥ −6 para o domínio e x ≥ 0 para o limite superior. O quadrado dá x + 6 ≤ x², ou (x − 3)(x + 2) ≥ 0. Intersectando x ≤ −2 ou x ≥ 3 com x ≥ 0, resta [3, +∞).

1. No domínio x ≥ −6, todos os x negativos servem. Para x ≥ 0, o quadrado é equivalente: x + 6 > x², isto é, −2 < x < 3; nesse caso, ficamos com [0, 3). A união é [−6, 3).

1. A expressão é pelo menos 2, pois x² + 4 ≥ 4. Se m < 2, não há solução. Em m = 2, x² = 0 fornece apenas x = 0; para m > 2, x = ±√(m² − 4) são dois valores distintos.

1. Se x < 4, o conteúdo x − 4 é negativo. Pela definição, seu módulo é o oposto: −(x − 4) = 4 − x, que é positivo nessa região.

1. Temos u² = 49, e a raiz quadrada principal de 49 é 7. Em geral, √(u²) = |u|, não u para qualquer sinal.

1. O módulo do quociente é o quociente dos módulos, com denominador não nulo. As igualdades de soma e diferença falham em geral; por exemplo, u = 1 e v = −1 refutam a primeira. A identidade |u| = −u exige u ≤ 0.

1. A desigualdade triangular é não estrita: |u + v| ≤ |u| + |v|. Pode ocorrer igualdade, como u = 2 e v = 3; por isso não se usa < em todos os casos.

1. A condição |x + 2| = 4 dá x + 2 = 4 ou x + 2 = −4. Assim x = 2 ou x = −6. Ambos estão quatro unidades afastados de −2.

1. O ramo 3x − 2 = 7 dá x = 3. O ramo 3x − 2 = −7 dá 3x = −5 e x = −5/3. Os conteúdos valem 7 e −7, respectivamente.

1. Módulo zero exige conteúdo zero: x − 8 = 0, então x = 8. Um módulo não pode valer −3, e a segunda equação não tem solução.

1. O segundo membro exige x ≥ −1. O ramo x − 2 = 2x + 2 dá x = −4, descartado. O ramo x − 2 = −2x − 2 dá x = 0, que confirma 2 = 2.

1. Os ramos são 2x − 3 = x + 3, dando x = 6, e 2x − 3 = −x − 3, dando x = 0. Na original, os módulos valem 9 em 6 e 3 em 0.

1. Para x < 0, a soma é 4 − 2x e vale 6 em x = −1. Para 0 ≤ x ≤ 4, vale 4, sem solução. Para x > 4, vale 2x − 4 e produz x = 5. As duas respostas pertencem às respectivas regiões.

1. A distância entre 2 e 8 é 6. Em todo o intervalo entre eles, |x − 2| + |x − 8| = (x − 2) + (8 − x) = 6. Fora dele, a soma é maior. Os extremos também entram.

1. O primeiro ramo é x² − 9 = 7, dando x² = 16 e x = ±4. O segundo é x² − 9 = −7, dando x² = 2 e x = ±√2. Todos os quatro valores são reais e distintos.

1. O domínio exige x ≠ −1. No ramo positivo, x − 1 = 3(x + 1), então x = −2. No negativo, x − 1 = −3(x + 1), então x = −1/2. Nenhum é excluído; os quocientes são 3 e −3.

1. A cadeia −2 ≤ x + 3 ≤ 2, ao subtrair 3, vira −5 ≤ x ≤ −1. A igualdade é permitida nos dois extremos.

1. Os ramos são 2x − 1 > 3, dando x > 2, ou 2x − 1 < −3, dando x < −1. Usamos união e extremos abertos, porque a comparação é estrita.

1. Todo módulo é não negativo. Ele nunca é menor que −2 e sempre é maior que −2. Como o conteúdo x − 1 existe em todo ℝ, a segunda resposta é ℝ.

1. A cadeia é −x ≤ x − 4 ≤ x. A primeira condição dá x ≥ 2, e a segunda equivale a −4 ≤ 0, sempre verdadeira. A interseção é [2, +∞).

1. A união é x − 4 > x ou x − 4 < −x. O primeiro ramo é impossível; o segundo dá x < 2. O ponto 2 dá igualdade e fica excluído; todos os negativos são aceitos.

1. Os dois lados são não negativos. Comparando os quadrados: x² − 6x + 9 ≤ x² + 2x + 1. Logo −8x ≤ −8 e x ≥ 1.

1. A raiz é |x + 2| para todo x real. Logo x + 2 = 5 ou x + 2 = −5, dando x = 3 ou x = −7. Substituir a raiz diretamente por x + 2 perderia a segunda solução.

1. O módulo externo fornece |x| − 3 = 3 ou |x| − 3 = −3. Assim |x| = 6 ou |x| = 0. O primeiro ramo dá −6 e 6; o segundo dá apenas 0.

1. A condição é |L − 8| ≤ 0,15, equivalente a −0,15 ≤ L − 8 ≤ 0,15. Logo 7,85 ≤ L ≤ 8,15 cm. Os dois extremos são aceitos porque o desvio máximo permite igualdade.

$\mathcal S=\{89/25\}$.

1. As raízes exigem x ≥ 1. Isolamos √(x + 8) = 5 − √(x − 1), cujo segundo membro precisa ser não negativo; isso exige x ≤ 26.
2. O quadrado dá x + 8 = 25 − 10√(x − 1) + x − 1. Cancelando x, obtemos 10√(x − 1) = 16, ou √(x − 1) = 8/5.
3. Logo x − 1 = 64/25 e x = 89/25, dentro de [1, 26]. Na original, as raízes são √(289/25) = 17/5 e √(64/25) = 8/5. A soma é 25/5 = 5.

𝒮 = [−12, 4).

1. O domínio é x ≥ −12. No caso −12 ≤ x < 0, a raiz é não negativa e supera automaticamente x negativo. Toda essa região serve.
2. Para x ≥ 0, elevar ao quadrado preserva a comparação: x + 12 > x². Temos x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3) < 0, de onde −3 < x < 4. Dentro desse caso, resta [0, 4).
3. A união [−12, 0) ∪ [0, 4) é [−12, 4). No extremo −12, a comparação 0 > −12 é verdadeira; em 4, ocorre 4 > 4, falsa.

m < 0: ∅; m = 0: {−1, 1}; 0 < m < 1: {−(1 + m), −(1 − m), 1 − m, 1 + m}; m = 1: {−2, 0, 2}; m > 1: {−(1 + m), 1 + m}.

1. Se m < 0, a equação é impossível. Para m ≥ 0, os ramos são |x| = 1 + m ou |x| = 1 − m, e cada alvo interno precisa ser não negativo.
2. Em m = 0, os ramos coincidem e há duas soluções, −1 e 1. Em 0 < m < 1, os dois alvos são positivos e diferentes, dando quatro soluções distintas.
3. Em m = 1, os alvos são 2 e 0, dando três soluções distintas: −2, 0 e 2. Em m > 1, 1 − m é negativo e não serve, restando duas soluções: ±(1 + m).

Atendimento: x ∈ [2, 8] km. Distância exatamente 3 km: x = 2 km ou x = 8 km.

1. A distância é |x − 5| em quilômetros. Precisamos de |x − 5| ≤ 3 e x ≥ 0. A cadeia −3 ≤ x − 5 ≤ 3 dá 2 ≤ x ≤ 8, já compatível com a restrição de posição.
2. Os extremos x = 2 e x = 8 produzem distância 3 e são incluídos, pois o máximo é permitido. Fora do intervalo, a distância supera 3.
3. Para a última pergunta, |x − 5| = 3 dá x − 5 = 3 ou x − 5 = −3. Logo as posições são 8 km e 2 km. A inequação admite todo o trecho; a igualdade admite só as duas fronteiras.