Lógica Matemática

Proposicoes

Proposicao é uma sentenca que pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas ao mesmo tempo.

Tipo	Descrição
Simples	Não contem conectivos logicos.
Composta	Formada por proposicoes simples e conectivos.
Tautologia	Sempre verdadeira.
Contradicao	Sempre falsa.
Contingencia	Pode ser verdadeira ou falsa conforme os valores.

Conectivo	Simbolo	Verdadeiro quando...
Negacao	$\negp$	$p$ e falso.
Conjuncao	$p \land q$	$p$ e $q$ sao verdadeiros.
Disjuncao	$p \lor q$	Pelo menos uma das proposicoes e verdadeira.
Condicional	$p \to q$	Só e falso quando $p$ e verdadeiro e $q$ e falso.
Bicondicional	$p \leftrightarrow q$	$p$ e $q$ possuem o mesmo valor logico.

A condicional $p \to q$ pode ser lida como "se p, então q". Ela só falha quando a promessa e quebrada: $p$ verdadeira e $q$ falsa.

Equivalências uteis

Quantificadores indicam se uma propriedade vale para todos os elementos ou para pelo menos um elemento.

Simbolos

Lógica também orienta como provar resultados. A escolha do método depende da forma da frase: implicacao, negacao, existencia ou universalidade.

Método	Quando usar	Estrutura
Direta	provar $p \to q$	assuma $p$ e deduza $q$
Contrapositiva	quando negar a conclusao simplifica	prove $\negq \to \negp$
Contradicao	quando assumir o contrario leva a absurdo	assuma $p$ e $\negq$
Contraexemplo	para derrubar uma frase universal	exiba um caso em que a propriedade falha

Exemplo

Para negar "todo primo e impar", basta um contraexemplo: $2$ e primo e não e impar.

Treino

Negue a frase: "Todo número par e divisivel por 4".