Raízes e Lugares Geométricos

Raízes n-ésimas

As raízes n-ésimas de um número complexo são os complexos que, elevados a $n$ , resultam no número original. No plano complexo, essas raízes ficam igualmente espaçadas em uma circunferência.

Um complexo não nulo possui exatamente $n$ raízes n-ésimas. Elas ficam em uma circunferência centrada na origem e separadas pelo mesmo ângulo.

Fórmula geral

z k = r 1/n [cos((θ + 2kπ)/n) + i sen((θ + 2kπ)/n)]

Para

k=0,1,...,n-1

.

Característica	Leitura
Mesmo módulo	Todas as raízes ficam na mesma circunferência.
Espaçamento angular	O passo entre raízes é $2π/n$ .
Quantidade	Existem exatamente $n$ raízes distintas.

Exemplo simples

Encontre as raízes quadradas de

1

.

1Precisamos resolver

z 2 =1

.

2As soluções são

z=1

e

z=-1

.

No plano complexo, elas ficam na circunferência unitária e separadas por

180°

.

Raízes da unidade

As raízes da unidade são as soluções de $z n =1$ . Elas formam um polígono regular inscrito na circunferência unitária.

Forma

z k = cos(2kπ/n) + i sen(2kπ/n)

Para

k=0,1,...,n-1

.

Propriedade	Consequência
Módulo 1	Todas ficam na circunferência unitária.
Soma das raízes	Para $n>1$ , a soma é zero.
Produto por uma raiz primitiva	Gira o conjunto de raízes.

Raízes cúbicas da unidade

Resolva

z 3 =1

.

1As três raízes cúbicas da unidade são

1

,

cos 120° + i sen 120°

e

cos 240° + i sen 240°

.

Elas formam um triângulo equilátero na circunferência unitária.

Rotações no plano complexo

Multiplicar por um complexo de módulo 1 gira pontos em torno da origem. Multiplicar por $i$ , por exemplo, gira 90 graus no sentido anti-horário.

Multiplicação	Efeito geométrico
$z . i$	rotação de 90 graus
$z . (-1)$	rotação de 180 graus
$z . [cosθ + i senθ]$	rotação de ângulo $θ$
$r z$ , com $r>0$	dilatação ou contração

Conteúdo extra

cosθ + i senθ = e iθ

Também podemos escrever

cosθ + i senθ

como

e iθ

. Essa notação aparece mais em estudos avançados.

Equações em complexos

Algumas equações pedem forma algébrica; outras pedem forma polar. O primeiro passo é reconhecer qual linguagem simplifica o problema.

Tipo	Estratégia
$z n =w$	Use forma polar e raízes n-ésimas.
$z + conjugado(z) = c$	Use $z + conjugado(z)=2Re(z)$ .
$z - conjugado(z) = ci$	Use $z - conjugado(z)=2Im(z)i$ .
$\|z-a\|=r$	Interprete como circunferência.

Identidades úteis

Parte real $Re(z) = (z + conjugado(z))/2$
Parte imaginária $Im(z) = (z - conjugado(z))/(2i)$

Exemplo resolvido

Resolva

z + conjugado(z) = 6

.

1Se

z=a+bi

, então

conjugado(z)=a-bi

.

2

z+conjugado(z)=2a

.

3Logo,

2a=6

, então

a=3

.

A parte real é

3

, mas a parte imaginária pode variar:

z=3+bi

, com

b

real.

Lugares geométricos

Equações com módulo e argumento descrevem conjuntos de pontos no plano complexo.

Condição	Lugar geométrico
$\|z-z 0 \|=r$	Circunferência de centro $z 0$ e raio $r$ .
$\|z-a\|=\|z-b\|$	Mediatriz do segmento que liga $a$ e $b$ .
$arg(z-z 0)=θ$	Semirreta com origem em $z 0$ .
$r 1 <\|z-z 0 \|<r 2$	Coroa circular.

Exemplo 1

|z - 2| = 3

É uma circunferência de centro

2

, isto é, ponto

(2,0)

, e raio

3

.

Exemplo 2

|z - (1+i)| = 2

É uma circunferência de centro

(1,1)

e raio

2

.

Desigualdades com módulo

Trocar igualdade por desigualdade transforma linhas e circunferências em regiões. Essa leitura é muito útil em questões de plano complexo.

$|z-z 0 | < r$ representa o interior da circunferência. $|z-z 0 | > r$ representa o exterior. Se houver $\leq$ ou $\geq$ , a borda também entra.

Condição	Região
$\|z-z 0 \| < r$	interior da circunferência
$\|z-z 0 \| > r$	exterior da circunferência
$\|z-a\| < \|z-b\|$	pontos mais próximos de $a$ do que de $b$
$r 1 \leq \|z-z 0 \| \leq r 2$	coroa circular fechada

Erros comuns

Atenção

Raízes esquecer que raízes n-ésimas ficam igualmente espaçadas.
Quantidade usar só uma raiz quando a questão pede todas.
Centro confundir centro $2$ com ponto $(0,2)$ .
Distância esquecer que $|z-z 0 |$ representa distância.
Região tratar desigualdade com módulo como uma equação comum, sem interpretar região.

Exercício rápido

Treino

Qual é o lugar geométrico de

|z - 2| = 3

?

Raízes e lugares geométricos