Conjugado
O conjugado mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária. No plano complexo, isso significa refletir o ponto em relação ao eixo real.
Definição
Se z = a + bi, então conjugado(z) = a - bi
Exemplo resolvido
Se z = 3 - 4i, encontre conjugado(z).
1A parte real continua 3.
2A parte imaginária troca de -4 para 4.
conjugado(z)=3+4i.
Propriedades
- Soma conjugado(z+w)=conjugado(z)+conjugado(w)
- Produto conjugado(zw)=conjugado(z)conjugado(w)
- Duplo conjugado conjugado(conjugado(z))=z
Módulo
O módulo de z=a+bi é a distância do ponto (a,b) até a origem. Por isso, a fórmula vem do Teorema de Pitágoras.
Fórmula
|z| = √(a2 + b2)
Exemplo resolvido
Calcule o módulo de z = 3 - 4i.
1a=3 e b=-4.
2|z| = √(a2 + b2).
3|z| = √(32 + (-4)2) = √(9+16) = √25 = 5.
|z|=5.
Produto com o conjugado
z . conjugado(z) = |z|2
Multiplicar um complexo pelo seu conjugado sempre gera um número real.
Produto com o conjugado
Use z=3-4i e conjugado(z)=3+4i.
1z.conjugado(z)=(3-4i)(3+4i).
2(3-4i)(3+4i)=9+16=25.
z.conjugado(z)=|z|2.
Plano complexo
No plano complexo, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária. O complexo a+bi corresponde ao ponto (a,b).
| Elemento | Leitura geométrica |
|---|---|
| Parte real | Coordenada horizontal. |
| Parte imaginária | Coordenada vertical. |
| Módulo | Distância até a origem. |
| Conjugado | Reflexão no eixo real. |
Exemplo resolvido
Localize z = -2 + 3i no plano complexo.
1Parte real: -2, posição no eixo horizontal.
2Parte imaginária: 3, posição no eixo vertical.
z=-2+3i corresponde ao ponto (-2,3).
Distância entre complexos
A distância entre dois complexos é o módulo da diferença entre eles.
Distância
d(z,w) = |z - w|
Exemplo resolvido
Calcule a distância entre z=3+2i e w=1-i.
1z-w=(3+2i)-(1-i)=2+3i.
2d(z,w)=|z-w|=|2+3i|.
3|2+3i|=√(22+32)=√13.
d(z,w)=√13.
Essa leitura será essencial em lugares geométricos, como circunferências e mediatrizes.
Propriedades do módulo
| Propriedade | Condição |
|---|---|
| |zw| = |z||w| | Sempre. |
| |z/w| = |z|/|w| | Para w ≠ 0. |
| |z+w| ≤ |z|+|w| | Desigualdade triangular. |
| |z| = 0 | Somente quando z=0. |
Erros comuns
Atenção
- Conjugado achar que o conjugado troca o sinal da parte real.
- Módulo esquecer que o módulo nunca é negativo.
- Quadrados calcular módulo sem elevar a parte imaginária ao quadrado.
- Soma confundir z+w com distância entre z e w.
- Distância esquecer que distância entre complexos é |z-w|.
Exercício rápido
Treino
Qual é o módulo de z = 3 - 4i?