Unidade imaginária
A unidade imaginária foi criada para permitir resolver equações como x2 = -1, que não têm solução nos números reais. Por definição, i2 = -1.
A partir disso, as potências de i se repetem em ciclos de quatro.
| Potência | Valor | Observação |
|---|---|---|
| i0 | 1 | Todo número não nulo elevado a zero vale 1. |
| i1 | i | A própria unidade imaginária. |
| i2 | -1 | Definição central. |
| i3 | -i | Multiplique i2 por i. |
| i4 | 1 | O ciclo recomeça. |
Exemplo resolvido
Calcule i27.
1Divida 27 por 4. O resto é 3.
2Então i27 = i3.
3i3 = -i.
Resultado: -i.
Atalho: para calcular in, divida n por 4 e use o resto.
Forma algébrica
Todo número complexo pode ser escrito como z = a + bi, em que a é a parte real e b é a parte imaginária. Mesmo números reais podem ser vistos como complexos, pois 5 = 5 + 0i.
Número complexo
z = a + bi
a é a parte real; b é a parte imaginária.
| Tipo | Condição |
|---|---|
| Real puro | b = 0 |
| Imaginário puro | a = 0 e b ≠ 0 |
| Complexo não real | b ≠ 0 |
Igualdade de complexos
Dois complexos são iguais quando suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais.
Critério
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Exemplo resolvido
Se 2x + 3i = 8 + yi, encontre x e y.
1Compare as partes reais: 2x = 8, então x = 4.
2Compare as partes imaginárias: 3 = y, então y = 3.
x=4 e y=3.
Operações
| Operação | Regra |
|---|---|
| Soma | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i |
| Subtração | (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i |
| Produto | (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i |
Soma
Calcule (3+2i)+(1-5i).
(3+2i)+(1-5i)=4-3i.
Subtração
Calcule (3+2i)-(1-5i).
(3+2i)-(1-5i)=2+7i.
Produto
Calcule (2+i)(3-4i).
1Distribua os termos: (2+i)(3-4i)=6-8i+3i-4i2.
2Junte a parte imaginária: 6-5i-4i2.
3Como i2 = -1, temos -4i2=4.
(2+i)(3-4i)=10-5i.
Divisão
Para dividir por um complexo, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso elimina a parte imaginária do denominador.
O conjugado de a+bi é a-bi. Quando multiplicamos um complexo pelo seu conjugado, o resultado é real.
Produto pelo conjugado
(a+bi)(a-bi)=a2+b2
Exemplo guiado
Calcule (3+2i)/(1-i).
1Multiplique por (1+i)/(1+i).
2No numerador: (3+2i)(1+i)=1+5i.
3No denominador: (1-i)(1+i)=2.
Resultado: 1/2 + (5/2)i.
Erros comuns
Atenção
- Potências esquecer que i2 = -1.
- Produto errar o sinal ao multiplicar complexos.
- Partes confundir parte real com parte imaginária.
- Divisão dividir complexos sem usar o conjugado.
- Reais esquecer que números reais também são complexos quando b=0.
Exercício rápido
Treino
Qual é o valor de i2026?