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Funções trigonométricas e gráficos

Período, amplitude e transformações

Leia e transforme gráficos periódicos para modelar oscilações e variações cíclicas.

Função seno

Gráfico de y igual a seno de xSeno entre menos dois pi e dois pi, com zeros, máximos, mínimos, eixo médio e indicação de um período.−2π−3π/2−π−π/20π/2π3π/22πmáximo 1mínimo −1eixo médio y=0período 2π
Domínio ℝ; imagem [−1,1]; período fundamental 2π; função ímpar
zeros: x=kπ; máximos: π/2+2kπ; mínimos: 3π/2+2kπ

Cresce em [−π/2+2kπ,π/2+2kπ] e decresce em [π/2+2kπ,3π/2+2kπ], com k∈ℤ.

Função cosseno

Gráfico de y igual a cosseno de xCosseno entre menos dois pi e dois pi, com zeros, máximos, mínimos, eixo médio e período.−2π−3π/2−π−π/20π/2π3π/22πmáximo 1mínimo −1eixo médioperíodo 2π
Domínio ℝ; imagem [−1,1]; período fundamental 2π; função par
zeros: π/2+kπ; máximos: 2kπ; mínimos: π+2kπ

Decresce em [2kπ,π+2kπ] e cresce em [π+2kπ,2π+2kπ].

Função tangente

Gráfico de y igual a tangente de xTrês ramos crescentes da tangente, zeros em múltiplos de pi e assíntotas verticais nos pontos fora do domínio.−π−π/20π/2assíntotaramo crescenteperíodo π
Domínio ℝ∖{π/2+kπ}; imagem ℝ; período fundamental π; função ímpar
zeros: kπ; assíntotas: π/2+kπ

É estritamente crescente em cada ramo (−π/2+kπ,π/2+kπ), sem atravessar uma assíntota.

Transformações de seno e cosseno

Gráfico transformadoGráfico de y igual a dois senos de x menos pi sobre dois mais um, com eixo médio um, máximo três, mínimo menos um e deslocamento horizontal.eixo médio y=1máximo 3mínimo −1π/2: início deslocadodeslocamento π/2
y=A sen(Bx+C)+D ou y=A cos(Bx+C)+D, A≠0 e B≠0
amplitude=|A|; T=2π/|B|; deslocamento=−C/B; eixo médio y=D
imagem=[D−|A|,D+|A|]; máximo D+|A|; mínimo D−|A|

A<0 reflete verticalmente; |A| muda a amplitude; |B| comprime ou dilata horizontalmente; C desloca horizontalmente e D verticalmente.

Casos especiais

Se B=0, o argumento é constante. Se A=0, a função é constante igual a D. Nesses casos, não use automaticamente a fórmula do período fundamental: uma constante admite qualquer período positivo e não possui período fundamental.

Tangente transformada

y=A tg(Bx+C)+D, A≠0 e B≠0
T=π/|B|; assíntotas: Bx+C=π/2+kπ
x=(π/2+kπ−C)/B

A tangente não possui amplitude. O sinal de AB determina o sentido de variação de cada ramo.

Leitura inversa do gráfico

|A|=(máximo−mínimo)/2
D=(máximo+mínimo)/2
|B|=2π/T

Depois, use a posição de um máximo, mínimo ou passagem pelo eixo médio e o valor inicial para decidir o sinal de A e o deslocamento −C/B. Representações equivalentes podem diferir por um período.

Modelagem periódica

Roda-gigante, maré, temperatura, horas de luz e oscilações verticais pedem: identificar máximo e mínimo, calcular eixo médio e amplitude, medir o período, escolher uma fase compatível com o instante inicial e conferir unidades.

Estratégia: modele somente após definir a variável independente, o intervalo físico e a unidade do argumento.

Questões resolvidas

1. Transformação completa

Analise f(x)=2sen(3x−π)+1.

Amplitude 2; período 2π/3; deslocamento π/3; eixo y=1.

Imagem [−1,3], máximo 3 e mínimo −1.

2. Leitura inversa

Um gráfico tem máximo 7, mínimo 1, período π e máximo em x=π/4.

|A|=3, D=4 e |B|=2.

Uma representação é y=3cos(2(x−π/4))+4.

3. Tangente transformada

Para y=2tg(2x−π/2)+3, determine período e assíntotas.

T=π/2. Resolva 2x−π/2=π/2+kπ.

x=π/2+kπ/2; não existe amplitude.

4. Roda-gigante

A altura varia de 2 m a 18 m em 40 s e começa no ponto mais baixo.

Eixo médio 10, amplitude 8 e B=2π/40=π/20.

h(t)=10−8cos(πt/20); h(10)=10 m.

5. Caso constante

Analise g(x)=4sen(0x+π/3)−1.

Como B=0, o argumento é constante.

g(x)=2√3−1; não se aplica automaticamente T=2π/|B|.

Exercícios

Fácil

1. Qual função básica é par?

A) sen xB) cos xC) tg xD) sen x+tg x
Fácil

2. O domínio de tg x exclui:

A) kπB) 2kπC) π/4+kπD) π/2+kπ
Médio

3. Para y=−3sen(2x)+1, amplitude, período e imagem são:

A) 3, 2π, [−2,4]B) −3, π, [−2,4]C) 3, π, [−2,4]D) 3, π, [−3,3]
Médio

4. Se B=0 em A cos(Bx+C)+D, então a função:

A) tem período 2πB) é constanteC) tem amplitude infinitaD) é tangente
Médio

5. Máximo 9 e mínimo 1 fornecem |A| e D iguais a:

A) 5 e 4B) 4 e 5C) 8 e 1D) 4 e 4
Difícil

6. Uma senoide tem máximo 5, mínimo −1 e período π. Quanto vale |A|+D+|B|?

A) 5B) 6C) 8D) 7
Difícil

7. Uma roda-gigante varia de 2 m a 18 m em 40 s, começando embaixo. A altura após 10 s é:

A) 2 mB) 8 mC) 10 mD) 18 m
Difícil

8. y=A tg(Bx)+D tem assíntotas consecutivas em −π/4 e π/4, passa por (0,3) e vale 5 em x=π/8, com B>0. A+|B|+D é:

A) 5B) 6C) 8D) 7

Gabarito comentado:

1-B: Cosseno satisfaz cos(−x)=cosx.

2-D: A tangente exige cosx≠0.

3-C: |A|=3, T=π e imagem [−2,4].

4-B: O argumento fica constante.

5-B: Semiamplitude 4 e eixo médio 5.

6-D: 3+2+2=7.

7-C: Um quarto do período leva ao eixo médio: 10 m.

8-D: T=π/2 dá B=2; D=3 e 5=A·1+3 dá A=2.

Resumo final

Separe propriedades básicas, transformações, casos constantes e leitura inversa. Em tangentes, declare o domínio e nunca fale em amplitude.