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Relações fundamentais

Identidades que conectam as razões

Use identidades para determinar razões desconhecidas e simplificar expressões.

Identidade versus equação

Uma identidade trigonométrica é verdadeira para todo x do domínio comum das expressões. Uma equação trigonométrica é verdadeira apenas para determinados valores de x, que devem ser encontrados.

Identidade fundamental

Identidade fundamental no ciclo unitárioPonto P de coordenadas cosseno de x e seno de x forma triângulo retângulo de hipotenusa um, justificando seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado igual a um.P=(cosx,senx)cosxsenx1Por Pitágoras: cos²x+sen²x=1
sen²x+cos²x=1

Razões quocientes e domínios

tgx=senx/cosx, cosx≠0
cotgx=cosx/senx, senx≠0

Relações recíprocas

secx=1/cosx, cosx≠0
cossecx=1/senx, senx≠0
tgx·cotgx=1, senx≠0 e cosx≠0

Identidades derivadas

1+tg²x=sec²x, cosx≠0
1+cotg²x=cossec²x, senx≠0
sec²x−tg²x=1
cossec²x−cotg²x=1

As duas primeiras vêm da identidade fundamental dividida, respectivamente, por cos²x e sen²x.

Preservação do domínio

(1−sen²x)/cosx=cos²x/cosx=cosx, somente se cosx≠0

A forma simplificada não permite acrescentar os pontos excluídos da expressão original.

Sinais e determinação das razões

Recupere o módulo pela identidade fundamental e escolha o sinal pelo quadrante. Depois use quocientes e recíprocas, registrando denominadores não nulos.

Demonstração e aplicações

  1. Trabalhe preferencialmente um lado.
  2. Converta razões para seno e cosseno.
  3. Fatore.
  4. Aplique a identidade pitagórica.
  5. Registre restrições.
  6. Não divida por expressão que pode ser zero.

O método serve a sinais, cálculo de razões, simplificações, identidades, parâmetros e expressões racionais.

Questões resolvidas

1. Todas as razões

cosx=−3/5 e x está no II quadrante.

senx=4/5 pelo sinal e pela identidade.

tgx=−4/3, secx=−5/3, cossecx=5/4 e cotgx=−3/4.

2. Identidade derivada

Deduza 1+tg²x=sec²x.

Divida sen²x+cos²x=1 por cos²x.

Obtém-se tg²x+1=sec²x, somente com cosx≠0.

3. Domínio preservado

Simplifique (1−sen²x)/cosx.

O numerador é cos²x.

A expressão vale cosx, mas apenas onde cosx≠0.

4. Expressão racional

Simplifique (secx−cosx)/tgx.

secx−cosx=sen²x/cosx; dividir por senx/cosx produz senx.

Resultado senx, mantendo senx≠0 e cosx≠0.

5. Parâmetro de identidade

Para qual k, (1+k tg²x)/sec²x=1 em todo o domínio?

A igualdade equivale a 1+k tg²x=1+tg²x.

k=1; domínio cosx≠0.

Exercícios

Fácil

1. A identidade fundamental é:

A) senx+cosx=1B) sen²x+cos²x=1C) tg²x+cos²x=1D) sen²x−cos²x=1
Fácil

2. tgx=senx/cosx exige:

A) senx≠0B) cosx≠0C) tgx≠0D) x≠kπ
Médio

3. senx=3/5 e x está no I quadrante. secx vale:

A) 4/5B) 5/3C) 5/4D) 3/4
Médio

4. sec²x−tg²x é igual a:

A) 0B) 1C) sen²xD) cos²x
Médio

5. O domínio original de (1−sen²x)/cosx exige:

A) senx≠0B) cosx≠0C) senx=cosxD) todo real
Difícil

6. Se a+a tg²x=3sec²x para todo x do domínio, então a vale:

A) 1B) 2C) 3D) 9
Difícil

7. Para que (1−sen²x)/(k cosx)=2cosx em todo o domínio original, k vale:

A) 1/4B) 1/2C) 1D) 2
Difícil

8. Uma direção unitária tem cosx=−12/13 e está no III quadrante. O valor de tgx+secx é:

A) −3/2B) −2/3C) 2/3D) 3/2

Gabarito comentado:

1-B: É Pitágoras aplicado ao ciclo unitário.

2-B: O denominador não pode zerar.

3-C: cosx=4/5 e secx=5/4.

4-B: Reorganize 1+tg²x=sec²x.

5-B: Simplificar não recupera pontos com cosx=0.

6-C: a(1+tg²x)=a sec²x, então a=3.

7-B: A esquerda simplifica para cosx/k; logo 1/k=2.

8-B: No III, senx=−5/13; tgx=5/12 e secx=−13/12, soma −2/3.

Resumo final

Identidades só valem no domínio comum. Simplifique com seno e cosseno, mas nunca apague as restrições da expressão original.