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Ciclo trigonométrico

Coordenadas, quadrantes e sinais

Amplie a trigonometria para qualquer ângulo usando o círculo unitário.

Ciclo trigonométrico e coordenadas

Ciclo trigonométrico unitárioCírculo de raio um, eixos, quadrantes, sentido positivo, ponto P e projeções de seno e cosseno.xyOIIIIIIIVP=(cosθ,senθ)cosθsenθθπ/6π/4π/30,2ππ/2π3π/2

No ciclo de raio 1, P=(cosθ,senθ); pontos são transportados pelos sinais dos quadrantes.

Domínio e imagem

−1≤senθ≤1
−1≤cosθ≤1
tgθ=senθ/cosθ, cosθ≠0
θ≠π/2+kπ

Tabela de arcos notáveis

θ: 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2
sen: 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1
cos: 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0
tg: 0 | √3/3 | 1 | √3 | indef.

Use o ângulo de referência e aplique os sinais do quadrante.

Quadrantes e sinais

I: todos positivos; II: somente seno; III: somente tangente; IV: somente cosseno.

Reduções ao primeiro quadrante

sen(π−α)=senα; cos(π−α)=−cosα; tg(π−α)=−tgα
sen(π+α)=−senα; cos(π+α)=−cosα; tg(π+α)=tgα
sen(2π−α)=−senα; cos(2π−α)=cosα; tg(2π−α)=−tgα

Paridade

sen(−x)=−senx
cos(−x)=cosx
tg(−x)=−tgx

Arcos côngruos

θ+2kπ ou θ+360°k, k∈ℤ

Some ou subtraia voltas para obter representantes em [0,2π) ou [0°,360°), inclusive para arcos negativos. Por exemplo, 29π/6−4π=5π/6 e −13π/3+6π=5π/3.

Pontos, coordenadas e parâmetros

Use cos²θ+sen²θ=1, mas escolha o sinal da coordenada pelo quadrante. Em parâmetros, confira também o intervalo [−1,1] e o domínio da tangente.

Questões resolvidas

1. Ponto do ciclo

P está no II quadrante e cosθ=−3/5.

senθ>0 e sen²θ=1−9/25=16/25.

P=(−3/5,4/5).

2. Arco negativo

Reduza −13π/3 a [0,2π).

Somando 6π=18π/3, resulta 5π/3.

Está no IV quadrante.

3. Redução

Calcule sen(π+α), com senα=2/3.

No III quadrante o seno troca de sinal.

sen(π+α)=−2/3.

4. Domínio

Quando tgθ não existe?

tgθ=senθ/cosθ exige cosθ≠0.

θ≠π/2+kπ.

5. Parâmetro

P=(m,3/5) está no II quadrante.

m²+9/25=1 e m<0.

m=−4/5.

Exercícios

Fácil

1. sen(π/6)=

A) √3/2B) 1/2C) √2/2D) 0
Fácil

2. tg(π/2) é:

A) 0B) 1C) −1D) indefinida
Médio

3. Em 7π/6, os sinais de sen, cos e tg são:

A) +,+,+B) −,+,−C) −,−,+D) +,−,−
Médio

4. O principal de −13π/3 é:

A) π/3B) 2π/3C) 4π/3D) 5π/3
Médio

5. P está no II quadrante e cosθ=−3/5. senθ=

A) −4/5B) 4/5C) 3/5D) −3/5
Difícil

6. senα=3/5 e cosα=4/5. sen(π−α)+cos(2π−α)=

A) 1/5B) 1C) 7/5D) −1/5
Difícil

7. P=(m,3/5) está no II quadrante. m=

A) −4/5B) 4/5C) −3/5D) 3/5
Difícil

8. Quantos x∈[0,2π) tornam tg(2x) indefinida?

A) 1B) 2C) 3D) 4

Gabarito comentado:

1-B: Valor notável.

2-D: cos(π/2)=0.

3-C: No III quadrante seno e cosseno são negativos.

4-D: −13π/3+6π=5π/3.

5-B: No II quadrante o seno é positivo.

6-C: senα+cosα=7/5.

7-A: A coordenada x é negativa.

8-D: cos2x=0 dá quatro valores no intervalo.

Resumo final

Coordenadas, sinais, reduções, periodicidade e domínio devem ser analisados em conjunto.