Fórmulas da soma finita
Para n inteiro positivo e q≠1:
Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)
Como aₙ₊₁=a₁qⁿ, também para q≠1:
Dedução por cancelamento
Sₙ=a₁+a₁q+...+a₁qⁿ⁻¹
qSₙ=a₁q+a₁q²+...+a₁qⁿ
Subtraindo, os termos intermediários se cancelam.
A divisão final por q−1 explica por que essa forma exige q≠1.
Soma de um trecho
Para 1≤p≤m e q≠1:
Adotando S₀=0, também:
A quantidade de termos é m−p+1. Não use q simultaneamente como razão e índice.
Casos especiais
- q=1: Sₙ=na₁.
- q=0: se a₁≠0, Sₙ=a₁ para todo n≥1.
- q=−1: Sₙ=0 para n par e Sₙ=a₁ para n ímpar.
- Razão negativa: a fórmula continua válida e os sinais alternam.
- Termos negativos: preserve os parênteses ao substituir.
Somas alternadas
Em razões negativas, o sinal de qⁿ depende da paridade de n. Para 8, −4, 2, −1, com q=−1/2:
Com q=−1, o cancelamento é completo em quantidades pares e sobra a₁ em quantidades ímpares.
Problemas inversos
a₁: S₄=30 e q=2 dão 30=a₁(2⁴−1), logo a₁=2.
q: a₁=2, n=3 e S₃=14 dão q=2 ou q=−3.
n: na PG 3, 6, ..., Sₙ=93 dá 3(2ⁿ−1)=93, então n=5.
Último termo: a₁=2, q=2 e n=5 dão a₅=32.
Parâmetro: se aₙ=x·2ⁿ⁻¹ e a₃+...+a₅=84, então 28x=84 e x=3.
Aplicações
Árvores e campanhas
Níveis ou dias com multiplicação constante formam 1, q, q², ...; some apenas as etapas pedidas.
Subdivisões e figuras
Se cada peça gera 4 novas, as quantidades 1, 4, 16, 64 somam 85.
Depósitos e população
Valores sucessivos 100, 200, 400, 800 totalizam 1.500. Em população, diferencie o total em um instante da soma de observações.
Padrões de algarismos
9+90+900+9000=9999 é uma soma geométrica de razão 10.
Contagem de etapas
Do instante 0 ao fim do quarto ciclo há cinco observações. Do primeiro ao quinto nível há cinco termos. Defina explicitamente o primeiro índice antes de usar n.
Se o último termo for conhecido, determine n por aₙ=a₁qⁿ⁻¹ e só então calcule a soma.
Pegadinhas
- Usar denominadores 1−q ou q−1 quando q=1.
- Confundir qⁿ com qⁿ⁻¹.
- Usar m−p em vez de m−p+1 na soma de trecho.
- Subtrair Sₚ em vez de Sₚ₋₁.
- Ignorar uma segunda razão real em problemas inversos.
- Contar o instante inicial duas vezes.
Questões resolvidas
1. Razão negativa
Some 6, −3, 3/2, −3/4, 3/8.
a₁=6, q=−1/2 e n=5.
S₅=6[1−(−1/2)⁵]/[1+1/2]=33/8.
2. Descobrir n
Na PG 2, 6, 18, ..., some até o termo 486.
486=2·3ⁿ⁻¹, então n=6.
S₆=2(3⁶−1)/(3−1)=728.
3. Soma de trecho
Na PG 2, 6, 18, ..., some de a₃ até a₆.
a₃=18 e há 4 termos.
A soma é 18(3⁴−1)/(3−1)=720.
Também vale S₆−S₂=728−8=720.
4. Duas razões possíveis
Uma PG tem a₁=2, n=3 e S₃=14. Determine q.
2(1+q+q²)=14.
q²+q−6=0.
As razões q=2 e q=−3 satisfazem a soma.
5. Árvore de possibilidades
Uma árvore começa com 2 ramos e cada ramo gera 3 no nível seguinte. Quantos ramos aparecem nos cinco primeiros níveis?
Os níveis têm 2, 6, 18, 54 e 162 ramos.
S₅=2(3⁵−1)/(3−1)=242.
Exercícios
1. Para q=1, a soma dos n termos é:
2. Quanto vale 3+6+12+24?
3. Quanto vale 8−8+8−8+8?
4. Na PG a₁=2 e q=3, qual é a soma de a₃ até a₅?
5. Se a₁=−7 e q=0, quanto vale S₂₀?
6. Uma PG tem a₁=2, três termos e soma 14. Quais razões reais são possíveis?
7. Na PG aₙ=x·2ⁿ⁻¹, a soma de a₃ até a₅ é 84. Quanto vale x+a₆?
8. Uma árvore começa com 2 ramos e cada ramo gera 3 no nível seguinte. Qual é o total nos cinco primeiros níveis e quantos estão no último?
Gabarito comentado:
1-B: Todos os n termos são iguais a a₁.
2-B: A soma direta é 45.
3-C: Com q=−1, os quatro primeiros termos cancelam e sobra 8.
4-D: a₃=18; 18+54+162=234.
5-A: Com q=0, somente a₁ é não nulo, então toda soma parcial vale −7.
6-C: 2(1+q+q²)=14 produz q²+q−6=0, logo q=2 ou q=−3.
7-B: a₃+a₄+a₅=(4+8+16)x=28x=84, então x=3; a₆=96 e a soma pedida é 99.
8-D: Os níveis são 2, 6, 18, 54 e 162; o total é 242.
Resumo final
- As fórmulas fracionárias da soma exigem q≠1.
- Para q=1, Sₙ=na₁; q=0 e q=−1 têm comportamentos próprios.
- De aₚ a aₘ há m−p+1 termos.
- Um trecho pode ser somado diretamente ou por Sₘ−Sₚ₋₁, com S₀=0.
- Problemas inversos podem ter mais de uma razão real.
- Conte instantes, níveis e períodos antes de substituir.