Termo geral e direção dos índices
aₙ=aₚqⁿ⁻ᵖ
Se n≥p, o expoente conta multiplicações para avançar. Se n<p, o expoente é negativo e exige q≠0: voltar na sequência representa divisões sucessivas por q.
a₅=162 e q=3: a₂=162·3⁻³=6.
Com q=0, não é possível reconstruir termos anteriores a partir de um termo zero.
Quociente entre dois termos
A expressão exige aₚ≠0. Para descobrir q, também é necessário n≠p. Se n<p, exige-se q≠0, pois surge expoente negativo.
O intervalo entre posições é |n−p|; não confunda número de intervalos com número de termos.
Razões reais, sinais e paridade
Em qᵈ=aₙ/aₚ, a paridade de d=|n−p| controla as soluções reais:
- d ímpar: uma razão real;
- d par e quociente positivo: duas razões opostas;
- d par e quociente negativo: nenhuma razão real.
Outro termo ou uma condição de sinais pode selecionar uma das razões.
Posição e logaritmos
A fórmula logarítmica real exige a₁≠0, q>0, q≠1 e aₙ/a₁>0:
O resultado final deve ser inteiro positivo. Para q<0, use potências inteiras e analise sinal e paridade; log(q) não é real.
Casos especiais
- q=1: aₙ=a₁ em todas as posições.
- q=0 e a₁≠0: a₁ aparece apenas em n=1; zero aparece em todo n≥2.
- a₁=0: a sequência inteira é nula, qualquer que seja q.
- Valor repetido: numa PG não constante e não nula, sinais e módulos normalmente restringem as posições.
Pertencimento e repetição de valores
- Isole qⁿ⁻¹=aₙ/a₁ quando a₁≠0.
- Verifique se a potência tem expoente inteiro n−1≥0.
- Com q<0, confira também o sinal esperado para a paridade.
- Nos casos q=0, q=1 ou a₁=0, use a definição diretamente.
Exemplo: 50 não pertence à PG 3, 6, 12, ... porque 50/3 não é potência inteira de 2.
Interpolação geométrica
Inserir k meios entre A e B cria k+2 termos e k+1 intervalos:
Se B=0 e A≠0, a única possibilidade é q=0; então todos os meios e B são zero. Razão negativa exige analisar a paridade de k+1 e os sinais dos extremos. Para meios positivos, use q>0 e extremos positivos.
Entre 2 e 486, com q=3: 3ᵏ⁺¹=243=3⁵, logo k=4.
Parâmetros, posições e sinais
Problemas completos podem combinar aₙ=a₁qⁿ⁻¹ com uma equação em parâmetros. Resolva a equação, teste todas as razões reais e depois confirme posição, sinal e domínio.
Quando uma potência par produz q=±c, não descarte uma opção antes de usar as demais condições.
Pegadinhas
- Usar n em vez de n−1 no expoente.
- Dividir por aₚ=0.
- Voltar posições com q=0.
- Extrair somente a raiz positiva de uma potência par.
- Usar logaritmos reais com q negativo ou q=1.
- Aceitar posição fracionária, nula ou negativa.
- Confundir k meios com k intervalos; existem k+1 intervalos.
Questões resolvidas
1. Razão negativa
Na PG a₁=4 e q=−2, calcule a₆.
a₆=4(−2)⁵.
Como o expoente é ímpar, a₆=−128.
2. Volta na sequência
Se a₅=162 e q=3, determine a₂.
a₂=a₅q²⁻⁵=162·3⁻³.
Voltar três intervalos equivale a dividir por 3³.
a₂=6.
3. Posição
Na PG 3, 6, 12, ..., em que posição aparece 384?
384=3·2ⁿ⁻¹, então 2ⁿ⁻¹=128=2⁷.
Logo n=8, inteiro positivo.
4. Razão zero
Na PG 5, 0, 0, ..., em quais posições aparecem 5 e 0?
q=0 e a₁=5.
O valor 5 aparece apenas em n=1.
O zero aparece em todas as posições n≥2.
5. Interpolação com razão negativa
Insira dois meios geométricos entre 4 e −108.
Há k+1=3 intervalos: q³=−108/4=−27.
A única razão real é q=−3.
A PG é 4, −12, 36, −108.
Exercícios
1. Na PG a₁=5 e q=2, quanto vale a₄?
2. A igualdade aₙ/aₚ=qⁿ⁻ᵖ exige:
3. Na PG 7, 0, 0, ..., o valor zero aparece:
4. Na PG 3, −6, 12, ..., em que posição aparece −384?
5. Inserem-se dois meios geométricos entre 4 e −108. Qual é o segundo meio?
6. Se a₂=−4 e a₆=−324, quais são os valores reais possíveis de a₁?
7. Numa PG, a₁=x−1, q=2 e a₄=56. Quanto vale x+a₆?
8. Na PG a₁=5 e q=3, qual é a primeira posição cujo termo ultrapassa 10.000?
Gabarito comentado:
1-B: a₄=5·2³=40.
2-A: A divisão pelo termo aₚ só existe quando aₚ≠0.
3-C: Com q=0 e a₁≠0, todo termo a partir de a₂ é zero.
4-D: 3(−2)ⁿ⁻¹=−384 dá (−2)ⁿ⁻¹=−128=(−2)⁷, logo n=8.
5-C: q³=−27 dá q=−3; a PG é 4, −12, 36, −108.
6-A: a₆/a₂=q⁴=81, então q=±3 e a₁=a₂/q vale −4/3 ou 4/3.
7-B: 8(x−1)=56 dá x=8; a₆=7·2⁵=224, então x+a₆=232.
8-D: 5·3ⁿ⁻¹>10.000 exige 3ⁿ⁻¹>2000; 3⁶<2000<3⁷, logo n=8.
Resumo final
- aₙ=a₁qⁿ⁻¹ e aₙ=aₚqⁿ⁻ᵖ; expoente negativo exige q≠0.
- aₙ/aₚ exige aₚ≠0; para descobrir q, n≠p.
- Logaritmos exigem a₁≠0, q>0, q≠1 e quociente positivo.
- q=1, q=0 e a₁=0 devem ser tratados diretamente.
- k meios criam k+2 termos e k+1 intervalos.
- Razões negativas e potências pares exigem análise de sinais e paridade.