Sequência, série e soma infinita
Sequência é a lista de termos; série é a soma. A soma infinita é definida pelo limite das somas parciais:
Somar infinitos termos não significa obter infinito: o resultado depende da convergência desse limite.
Convergência e divergência
Para uma PG não nula, a série converge se, e somente se, |q|<1.
0<q<1: 8+4+2+... converge para 16.
−1<q<0: 6−3+3/2−... oscila com amplitude decrescente e converge para 4.
q=1: somas parciais na₁ divergem se a₁≠0.
q=−1: somas parciais oscilam entre a₁ e 0.
|q|>1: os termos não tendem a zero.
Sequência nula: soma zero, independentemente da razão escolhida na recorrência.
Dedução da fórmula
Para q≠1, a soma finita é:
Quando |q|<1, temos qⁿ→0. Portanto:
A passagem ao limite é o que justifica a fórmula; ela não pode ser usada quando |q|≥1 em uma série não nula.
Resto, aproximação e erro
O que falta após somar os n primeiros termos é:
Rₙ=aₙ₊₁/(1−q)=a₁qⁿ/(1−q)
O módulo |Rₙ| mede o erro da aproximação Sₙ≈S∞. Com razão negativa, o resto também informa de que lado da soma limite está Sₙ.
Problemas inversos
q=1−a₁/S∞, com S∞≠0
Depois de encontrar q, sempre verifique |q|<1. Se S∞=0 no caso real convergente, então a₁=0 e a série é a sequência nula; a fórmula de q por divisão não se aplica.
Dízimas periódicas
Simples: 0,777...=7/10+7/100+...=7/9.
Período de dois algarismos: 0,272727...=27/100+27/10⁴+...=27/99=3/11.
Composta: 0,2333...=0,2+0,0333...=7/30.
Parte inteira: 2,1666...=2+1/6=13/6.
O método algébrico de multiplicar a dízima por uma potência de 10 e subtrair produz a mesma fração; a PG evidencia a estrutura do período.
Rebotes e distâncias finitas
Uma bola cai de altura h e cada rebote alcança a fração r da altura anterior, com 0<r<1. A queda inicial entra uma vez; cada rebote entra na subida e na descida:
Se o problema termina após n rebotes, use uma soma finita; a fórmula infinita representa o processo idealizado sem fim.
Geometria e processos repetitivos
Em figuras autossimilares, identifique a razão da grandeza somada. Se comprimentos são multiplicados por c, perímetros costumam ter razão c e áreas, razão c². Quando surgem várias cópias, multiplique também pela quantidade de peças.
Um quadrado de área 64 gera três cópias com 1/4 da área cada.
A área total adicionada por etapa tem razão 3·1/4=3/4.
O total é 64/(1−3/4)=256.
Pegadinhas
- Confundir o limite dos termos com a soma da série.
- Aplicar S∞ quando |q|≥1.
- Esquecer a sequência nula como caso degenerado.
- Usar q=1−a₁/S∞ quando S∞=0.
- Contar a queda inicial duas vezes.
- Usar razão linear para áreas ou ignorar o número de cópias.
- Confundir Rₙ com o primeiro termo omitido aₙ₊₁.
Questões resolvidas
1. Problema inverso
Uma série geométrica tem a₁=12 e S∞=20. Encontre q.
q=1−a₁/S∞=1−12/20=2/5.
Como |2/5|<1, a série converge.
2. Razão negativa
Calcule 6−3+3/2−3/4+...
a₁=6 e q=−1/2.
S∞=6/[1−(−1/2)]=6/(3/2)=4.
3. Dízima composta
Converta 0,2333... em fração.
0,2333...=0,2+0,03+0,003+...
A cauda vale (3/100)/(1−1/10)=1/30.
1/5+1/30=7/30.
4. Resto após etapas
Na série 10+5+5/2+..., determine o erro após somar 6 termos.
a₁=10 e q=1/2.
R₆=a₁q⁶/(1−q)=10(1/2)⁶/(1/2).
R₆=5/16.
5. Distância de rebotes
Uma bola cai de 10 m e rebate 60% da altura anterior. Calcule a distância total.
A queda inicial entra uma vez.
As subidas e descidas somam 2·10·0,6/(1−0,6)=30.
A distância total é 40 m.
Exercícios
1. Para uma PG não nula, a série infinita converge quando:
2. Quanto vale 8+4+2+...?
3. Quanto vale 12−4+4/3−4/9+...?
4. Qual é a fração geratriz de 0,272727...?
5. Uma série convergente tem a₁=40 e S∞=30. Qual é q?
6. Na série 16+8+4+..., qual é o resto após os quatro primeiros termos?
7. A série (x−1)+(x−1)(x/2)+(x−1)(x/2)²+... converge e soma 6. Qual é x?
8. Um quadrado tem área 64. Em cada etapa são acrescentados três quadrados, cada um com 1/4 da área do quadrado correspondente da etapa anterior. Qual é a área total acrescentada, incluindo o quadrado inicial?
Gabarito comentado:
1-C: Para uma PG não nula, |q|<1 é a condição necessária e suficiente.
2-C: S∞=8/(1−1/2)=16.
3-B: q=−1/3; S∞=12/[1−(−1/3)]=9.
4-D: 0,272727...=27/99=3/11.
5-A: q=1−40/30=−1/3, que satisfaz |q|<1.
6-B: R₄=16(1/2)⁴/(1−1/2)=2.
7-C: (x−1)/(1−x/2)=6 dá 4x=7, então x=7/4; |x/2|=7/8<1.
8-D: A área adicionada por etapa tem razão 3/4; o total é 64/(1−3/4)=256.
Resumo final
- S∞ é o limite das somas parciais.
- Para PG não nula, a série converge exatamente quando |q|<1.
- S∞=a₁/(1−q) vem da soma finita e de qⁿ→0.
- Rₙ=a₁qⁿ/(1−q) mede o erro após n termos.
- Dízimas periódicas são séries geométricas de razão potência de 10.
- Em aplicações, diferencie comprimentos, áreas, número de cópias e etapas finitas.