Capital, juros, taxa e prazo
C é capital, J juros, M montante, i taxa decimal e t quantidade de períodos. Taxa percentual deve ser dividida por 100; valores monetários mantêm unidade.
Fórmulas e inversas
M=C(1+it)
C=J/(it)
i=J/(Ct)
t=J/(Ci)
As inversas exigem denominadores não nulos.
Compatibilidade temporal
Taxa e prazo devem usar a mesma unidade. Em juros simples, taxas equivalentes são proporcionais: mês/ano, dia/mês. Use ano comercial de 360 dias, mês de 30 dias ou ano civil de 365/366 conforme o enunciado.
Montantes formam uma PA
M₁=C+Ci
M₂=C+2Ci
A razão é Ci; o gráfico do montante pelo tempo é linear.
Propostas, tarifas e igualdade
Compare custos na mesma data. Tarifas separadas não são juros e devem ser adicionadas depois. Igualdade de montantes pode produzir prazo fracionário.
Capital dividido e taxa média
Se partes C₁,C₂ recebem taxas i₁,i₂ pelo mesmo prazo, J=t(C₁i₁+C₂i₂). A taxa média simples é ponderada pelos capitais, não uma média automática.
Gráfico linear e interpretação
A inclinação do gráfico M(t) é Ci; o intercepto é C. Períodos fracionários são permitidos quando o contexto adota proporcionalidade contínua simples.
Condições de validade
Para capitais e montantes positivos, M=C(1+it) exige 1+it>0. Também verifique C, i ou t não nulos antes de usar fórmulas inversas.
Pegadinhas
- Usar taxa percentual sem converter.
- Misturar meses e anos.
- Incluir tarifa dentro da taxa sem autorização.
- Usar média aritmética não ponderada em capital dividido.
Questões resolvidas
1. Cálculo direto
C=R$1.000, i=2% a.m. e t=5 meses.
J=1000·0,02·5=R$100.
M=R$1.100.
2. Prazo
J=300, C=2000 e i=3% a.m.
t=J/(Ci)=300/(2000·0,03)=5 meses.
3. Unidades
C=1000, i=2% a.m. e prazo 1,5 ano.
1,5 ano=18 meses.
J=1000·0,02·18=360.
4. Capital dividido
R$10.000 são divididos entre 2% e 3% a.m. por 4 meses; juros totais R$1.000.
0,08x+0,12(10000−x)=1000.
x=5000 em cada aplicação.
5. Propostas
R$2.000 por 8 meses: A cobra 2% a.m.; B cobra 1,5% a.m. mais tarifa de R$50.
A: juros R$320. B: juros R$240 + tarifa R$50.
B custa R$30 menos.
Exercícios
1. C=1000, i=2% e t=5. Qual é J?
2. No caso anterior, M vale:
3. J=300, C=2000 e i=3% a.m. Qual é t?
4. C=1000 a 2% a.m. durante 1,5 ano gera juros de:
5. Os montantes simples M₀,M₁,M₂,... formam PA de razão:
6. R$10.000 divididos a 2% e 3% a.m. por 4 meses geram R$1.000. Quanto foi aplicado a 2%?
7. Em R$2.000 por 8 meses, A cobra 2% a.m.; B, 1,5% a.m. mais tarifa R$50. Qual é melhor?
8. M₁=5000(1+0,02t) e M₂=4500(1+0,03t). Quando são iguais?
Gabarito comentado:
1-B: J=Cit=100.
2-C: M=C+J=1100.
3-B: t=300/60=5.
4-D: Converta 1,5 ano para 18 meses: J=360.
5-B: Cada período acrescenta Ci.
6-A: A equação ponderada fornece x=5000.
7-C: A custa 320; B custa 290, diferença 30.
8-D: 5000+100t=4500+135t dá t=100/7.
Resumo final
- J=Cit e M=C(1+it).
- Taxas simples equivalentes são proporcionais ao tempo.
- Montantes formam PA de razão Ci.
- Comparações exigem mesma data, unidades compatíveis e tarifas separadas.