Capitalização composta
J=C[(1+i)ᵗ−1]
Exige C>0, M>0, t>0 e 1+i>0 nas fórmulas usuais reais.
Capital, taxa e prazo
i=(M/C)¹ᐟᵗ−1
t=log(M/C)/log(1+i)
Para prazo, i≠0 e logaritmos definidos.
Taxa zero e taxas negativas
Se i=0 e M=C, qualquer prazo mantém o montante; se M≠C, não há solução. Para −1<i<0 há perda parcial. Em i=−1 ocorre perda total; saldo zero não é recuperado por multiplicações posteriores.
Taxas variáveis
Multiplique fatores, não some taxas.
Taxa equivalente média
Ela é a média geométrica dos fatores de capitalização.
Períodos fracionários e convenções
Alguns enunciados capitalizam apenas períodos completos; outros permitem expoente fracionário. Siga explicitamente a convenção indicada.
Juros simples versus compostos
Com taxa positiva e mais de um período, compostos crescem exponencialmente e simples linearmente. Compare sempre mesma taxa efetiva, prazo e data.
Aplicações, valor presente e inflação
Incluem taxas variáveis, valorização/desvalorização, prazo mínimo, capital presente e rendimento real básico: fator real=(1+i)/(1+inflação).
Pegadinhas
- Somar taxas variáveis.
- Aceitar 1+i≤0 em raízes e logaritmos usuais.
- Arredondar prazo mínimo para baixo.
- Subtrair inflação diretamente quando a questão exige fator real.
Questões resolvidas
1. Montante e juros
C=1000, i=10% e t=2.
M=1000(1,1)²=1210.
J=210.
2. Prazo mínimo
C=1000 a 10% por período deve atingir 1500.
t≥log(1,5)/log(1,1)≈4,25.
O prazo inteiro mínimo é 5.
3. Taxas variáveis
Um capital valoriza 10% e depois perde 10%.
Fator total 1,1·0,9=0,99.
Há perda de 1%.
4. Taxa equivalente
Fatores 1,44 e 1 em dois períodos.
1+i_eq=√1,44=1,2.
i_eq=20% por período.
5. Rendimento real
Investimento rende 21% com inflação de 10%.
Fator real=1,21/1,10=1,10.
Rendimento real de 10%.
Exercícios
1. C=1000, i=10% e t=2. M vale:
2. No caso anterior, J vale:
3. Se i=0 e M=C:
4. Valorizar 10% e depois perder 10% resulta em:
5. A taxa média equivalente de fatores 1,44 e 1 é:
6. A 10% por período, prazo inteiro mínimo para 1000 atingir 1500:
7. Rendimento de 21% com inflação de 10% produz rendimento real de:
8. C=2000 e dois períodos à taxa x resultam em M=2880. x vale:
Gabarito comentado:
1-B: 1000·1,1²=1210.
2-C: J=M−C=210.
3-B: Com fator 1, qualquer prazo mantém o capital.
4-C: 1,1·0,9=0,99.
5-B: A média geométrica dos fatores é 1,2.
6-C: O prazo real é cerca de 4,25; inteiro mínimo 5.
7-B: 1,21/1,10−1=10%.
8-D: (1+x)²=1,44 e 1+x>0, logo x=20%.
Resumo final
- Montante é produto de fatores de capitalização.
- Taxas variáveis usam produto; taxa média usa média geométrica.
- Taxa zero e taxa −1 exigem tratamento separado.
- Convenções controlam períodos fracionários.