Adição e subtração
A forma algébrica funciona como um par de componentes reais. Somam-se ou subtraem-se separadamente as partes reais e imaginárias:
A adição é comutativa e associativa, possui elemento neutro 0=0+0i e cada z tem oposto −z. Na subtração, use parênteses: z−(c+di) altera os sinais das duas componentes. A subtração não é comutativa: em geral, z−w≠w−z.
As funções Re e Im respeitam somas e multiplicações por escalares reais: Re(z+w)=Re(z)+Re(w) e Im(z+w)=Im(z)+Im(w). Em contraste, Re(zw) não é, em geral, Re(z)Re(w); o termo −bd da multiplicação interfere na parte real.
Se z+w e z−w são conhecidos, podemos recuperar os números por
Multiplicação
Aplique a distributividade como em um produto algébrico e substitua i² por −1:
O produto é comutativo, associativo e distributivo em relação à soma. Entre os produtos notáveis, destacam-se
(a+bi)(a−bi)=a²+b²
O segundo resultado é real e permite eliminar a parte imaginária de denominadores.
ℂ não possui divisores de zero: se zw=0, então z=0 ou w=0. De fato, 0=|zw|=|z||w| obriga pelo menos um dos módulos a ser zero. Assim, cancelamentos são válidos quando o fator cancelado é explicitamente não nulo.
Para n>0, potências inteiras são definidas por repetição do produto; em particular, 0n=0. Para z≠0, define-se z⁰=1. Neste curso, 0⁰ não é definido. Expoentes negativos exigem z≠0, pois z−n=1/zn.
Divisão e inverso
A divisão z/w só existe quando w≠0. Se w=c+di, multiplicamos numerador e denominador por w̄=c−di:
O denominador c²+d² é positivo para w≠0. Em particular, o inverso multiplicativo de z=a+bi≠0 é
“Racionalizar” aqui não significa tornar o resultado real; significa obter um denominador real e escrever o quociente na forma A+Bi.
Também é possível determinar o quociente q=x+yi impondo (c+di)(x+yi)=a+bi e comparando componentes. Esse método produz o sistema cx−dy=a e dx+cy=b, cujo determinante c²+d² é não nulo exatamente quando o divisor é diferente de zero.
Conjugação e operações
A conjugação preserva somas e produtos e, quando o divisor é não nulo, preserva quocientes:
conj(zw)=z̄w̄
conj(z/w)=z̄/w̄, w≠0
Essas relações permitem simplificar expressões simétricas. Por exemplo, z²+z̄² é real, pois é igual a 2[(Re z)²−(Im z)²]. Já z−z̄ é imaginário puro.
As fórmulas acima extraem as componentes de z. Embora a segunda contenha i no denominador, seu resultado é real, pois z−z̄=2i·Im(z).
Se uma expressão contém z e z̄, escreva z=a+bi para transformar a condição complexa em equações reais.
Equações lineares em ℂ
Uma equação αz=β tem solução única z=β/α quando α≠0. Se α=0, há duas possibilidades: nenhuma solução quando β≠0 ou infinitas soluções quando β=0.
Em equações com z e z̄, escreva z=a+bi e compare componentes. Por exemplo, z+2z̄=(a+bi)+2(a−bi)=3a−bi.
Quando uma fração algébrica contém z, registre antes as exclusões que anulam o denominador. Uma transformação equivalente não pode reintroduzir valores proibidos.
Identidades polinomiais usuais, como diferença de quadrados e fatoração por agrupamento, continuam válidas em ℂ. Portanto, uma equação fatorada uv=0 pode ser separada em u=0 ou v=0; a justificativa é justamente a ausência de divisores de zero.
Pegadinhas e condições
- i²=−1; o termo (bi)(di) vale −bd.
- Ao subtrair um complexo, troque o sinal de toda a segunda parcela.
- Na divisão, conjugue o denominador completo e multiplique também o numerador.
- Não existe divisão por 0; o denominador c²+d² só é não nulo quando c+di≠0.
- Em equações paramétricas, confira se todas as componentes produzem o mesmo valor do parâmetro.
Questões resolvidas
1. Combinação linear
Se z=2−3i e w=−1+4i, calcule 2z−3w.
2z=4−6i e 3w=−3+12i.
Então 2z−3w=(4−6i)−(−3+12i)=7−18i.
Resposta: 7−18i.
2. Produto na forma algébrica
Calcule (2+i)(3−2i).
Distribuindo: 6−4i+3i−2i².
Como i²=−1, −2i²=2.
Resposta: 8−i.
3. Quociente com conjugado
Escreva (3+4i)/(1−2i) na forma algébrica.
Multiplique por (1+2i)/(1+2i).
O numerador é (3+4i)(1+2i)=3+6i+4i+8i²=−5+10i.
O denominador é (1−2i)(1+2i)=1+4=5.
Resposta: −1+2i.
4. Equação linear complexa
Resolva (2−i)z=5+i.
Como 2−i≠0, z=(5+i)/(2−i).
Multiplicando por (2+i)/(2+i), o numerador é (5+i)(2+i)=9+7i e o denominador é 5.
Resposta: z=9/5+(7/5)i.
5. Equação com conjugado
Determine z se z+2z̄=9−3i.
Escreva z=a+bi. Então z+2z̄=(a+bi)+2(a−bi)=3a−bi.
Comparando componentes: 3a=9 e −b=−3.
Logo, a=3 e b=3.
Resposta: z=3+3i.
Exercícios
1. (2+3i)+(1−i) é igual a:
2. (1−i)² é igual a:
3. O produto (2+i)(3−2i) é:
4. O quociente (4+2i)/(1+i) é:
5. A solução de (1+i)z=2 é:
6. Se z+w=4+2i e z−w=2−6i, então z é:
7. Para x real, (x+i)/(1−i) é real quando:
8. A solução de (z−1)/(z+1)=i, com z≠−1, é:
Gabarito comentado:
1-A. Somando as componentes: (2+1)+(3−1)i=3+2i.
2-B. (1−i)²=1−2i+i²=−2i.
3-C. 6−4i+3i−2i²=8−i.
4-D. Multiplicando por 1−i, obtemos (6−2i)/2=3−i.
5-A. z=2/(1+i)=2(1−i)/2=1−i.
6-B. Somando as relações, 2z=6−4i; portanto, z=3−2i.
7-C. (x+i)/(1−i)=[(x−1)+(x+1)i]/2. Para ser real, x+1=0, então x=−1.
8-D. z−1=i(z+1), logo z(1−i)=1+i e z=(1+i)/(1−i)=i, que respeita z≠−1.
Resumo final
- Soma e subtração operam componente a componente.
- No produto, distribua e substitua i² por −1.
- Na divisão por w≠0, multiplique por w̄/w̄ e obtenha denominador |w|².
- Equações αz=β têm solução única quando α≠0.
- Expressões com z e z̄ podem ser reduzidas escrevendo z=a+bi.