Forma algébrica | EstudaMath

Unidade imaginária e o conjunto ℂ

A equação x²+1=0 não possui solução real. Para ampliar ℝ, define-se a unidade imaginária i pela relação i²=−1. O conjunto dos números complexos é

ℂ={a+bi | a,b\inℝ e i²=-1}

A escrita a+bi é chamada forma algébrica. Todo número real é complexo, pois a=a+0i; portanto, ℝ⊂ℂ. A representação é única: uma vez fixados a e b reais, existe um único complexo a+bi.

Como espaço vetorial sobre ℝ, ℂ tem base {1,i}: as coordenadas de z nessa base são justamente a e b. Entretanto, não se estende a ordem usual dos reais para uma ordem compatível com todas as operações em ℂ; por isso, expressões como z>0 não têm significado geral para complexos não reais.

As potências de i repetem-se em ciclos de período 4:

i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1

Para n inteiro não negativo, basta dividir n por 4 e usar o resto. Para expoentes inteiros negativos, use i⁻ⁿ=1/iⁿ; por exemplo, i⁻¹=−i.

Partes real e imaginária

Em z=a+bi, com a,b∈ℝ, definimos Re(z)=a e Im(z)=b. Atenção: a parte imaginária é o número real b, e não o termo bi.

z é real se, e somente se, Im(z)=0;
z é imaginário puro não nulo se Re(z)=0 e Im(z)≠0;
z=0 se, e somente se, Re(z)=Im(z)=0.

Se uma expressão complexa deve ser real, imponha que seu coeficiente de i seja zero. Se deve ser imaginária pura, imponha parte real zero e confirme, quando exigido, que a parte imaginária não é nula.

Igualdade de complexos

Dois complexos em forma algébrica são iguais exatamente quando suas componentes correspondentes são iguais:

a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c e b=d

Em problemas com parâmetros, essa comparação gera um sistema real. As equações obtidas precisam ser simultaneamente satisfeitas. Se produzirem valores incompatíveis para o mesmo parâmetro, a equação complexa não tem solução no conjunto indicado.

Também vale o princípio da identidade: se (a−c)+(b−d)i=0, então a−c=0 e b−d=0.

Conjugado e propriedades

O conjugado de z=a+bi é z̄=a−bi. Ele mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária.

z+z̄=2Re(z), z-z̄=2i\cdotIm(z), z\cdotz̄=a²+b²

Consequentemente, z·z̄ é real e não negativo, sendo zero apenas para z=0. Além disso:

z̄̄=z;
z+w conjugado é z̄+w̄;
zw conjugado é z̄w̄;
z é real se, e somente se, z=z̄;
z é imaginário puro se, e somente se, z=−z̄.

Essas equivalências são úteis, mas a última inclui z=0; se o enunciado exigir imaginário puro não nulo, verifique z≠0.

Potências de i, raízes e equações

Para k>0 real, as soluções de z²=−k são z=±i√k. A notação √(−k)=i√k costuma indicar a raiz quadrada principal, mas a equação z²=−k possui duas soluções.

Em equações quadráticas com coeficientes reais, a fórmula de Bhaskara continua válida em ℂ. Se Δ<0, escreva √Δ=i√(−Δ) e obtenha um par de raízes conjugadas.

az²+bz+c=0, a\neq0 \Rightarrow z=(-b\pm\sqrtΔ)/(2a), Δ=b²-4ac

Polinômios com coeficientes reais têm raízes não reais aos pares conjugados: se α é raiz, então ᾱ também é. Essa afirmação depende de os coeficientes serem reais.

Pegadinhas e condições

Im(a+bi)=b, e não bi.
Não use √a·√b=√(ab) indiscriminadamente com radicandos negativos: √(−1)√(−1)=i²=−1, enquanto √1=1.
√(−k)=i√k representa uma raiz escolhida; z²=−k tem as duas soluções ±i√k.
Na redução de iⁿ, use o resto da divisão do expoente por 4, não o quociente.
Comparar apenas as partes reais ou apenas as imaginárias não garante igualdade de complexos.

Questões resolvidas

1. Potência elevada de i

Calcule i²⁰²⁷.

Dividindo 2027 por 4, obtemos 2027=4·506+3.

Assim, i²⁰²⁷=(i⁴)⁵⁰⁶·i³=1⁵⁰⁶·(−i).

Resposta: −i.

2. Igualdade que produz sistema

Determine x e y reais se (2x−y)+(x+y)i=7+i.

Comparando as partes reais: 2x−y=7.

Comparando as partes imaginárias: x+y=1.

Somando as equações, 3x=8, logo x=8/3. Então y=1−8/3=−5/3.

Resposta: (x,y)=(8/3,−5/3).

3. Recuperação pelo conjugado

Encontre z sabendo que z+z̄=6 e z−z̄=−8i.

Escreva z=a+bi. Então z+z̄=2a=6, de onde a=3.

Também z−z̄=2bi=−8i, portanto b=−4.

Resposta: z=3−4i.

4. Equação quadrática em ℂ

Resolva z²+4z+13=0.

Δ=4²−4·1·13=16−52=−36.

Como √(−36)=6i, temos z=(−4±6i)/2.

Resposta: z=−2+3i ou z=−2−3i.

5. Soma cíclica

Calcule S=i+i²+i³+⋯+i²⁰²⁶.

Cada bloco i+i²+i³+i⁴=i−1−i+1=0.

Como 2026=4·506+2, há 506 blocos completos e restam i²⁰²⁵+i²⁰²⁶=i+i².

Resposta: S=i−1.

Exercícios

Fácil

1. Em z=5−7i, Im(z) é:

A) 5B) −7C) −7iD) 7

Fácil

2. O valor de i³⁷ é:

A) −1B) −iC) iD) 1

Médio

3. Se (x−1)+(2y+3)i=4−5i, então x+y vale:

A) 1B) −1C) 5D) 9

Médio

4. Para z=−2+3i, o número z+2z̄ é:

A) −6+9iB) 2−3iC) −4−6iD) −6−3i

Médio

5. As raízes de z²−6z+13=0 são:

A) −3±2iB) 3±2iC) 3±4iD) −3±4i

Difícil

6. A soma i+i²+i³+⋯+i²⁰²⁵ é:

A) 0B) −1C) iD) −i

Difícil

7. Para x real, a equação (x+1)+(2x−1)i=4+7i:

A) tem solução x=3B) tem solução x=4C) tem duas soluçõesD) não tem solução

Difícil

8. Se z+z̄=4 e z·z̄=13, os valores possíveis de Im(z) são:

A) −3 e 3B) −2 e 2C) apenas 3D) −√13 e √13

Gabarito comentado:

1-B. A parte imaginária é o coeficiente real de i; portanto, Im(z)=−7.

2-C. Como 37=4·9+1, i³⁷=(i⁴)⁹i=i.

3-A. x−1=4 fornece x=5; 2y+3=−5 fornece y=−4. Logo, x+y=1.

4-D. z̄=−2−3i; assim, z+2z̄=(−2+3i)+2(−2−3i)=−6−3i.

5-B. Δ=36−52=−16; então z=(6±4i)/2=3±2i.

6-C. Os primeiros 2024 termos formam 506 blocos de soma zero; resta i²⁰²⁵=i.

7-D. A parte real exigiria x=3, mas a imaginária exigiria 2x−1=7, isto é, x=4. As condições são incompatíveis.

8-A. De z+z̄=4 vem Re(z)=2. Como z·z̄=|z|²=4+[Im(z)]²=13, temos [Im(z)]²=9.

Resumo final

Todo complexo admite uma única escrita z=a+bi, com a,b reais e i²=−1.
Re(z)=a e Im(z)=b; os complexos são iguais quando as duas componentes coincidem.
z̄=a−bi, z+z̄=2Re(z), z−z̄=2i·Im(z) e z·z̄=a²+b².
As potências de i têm período 4.
Equações quadráticas com coeficientes reais e Δ<0 têm duas raízes complexas conjugadas.