Afixo e coordenadas
O plano de Argand-Gauss identifica o complexo z=a+bi com o ponto P=(a,b). Dizemos que P é o afixo de z. O eixo horizontal representa a parte real e o vertical, a parte imaginária.
Essa correspondência é biunívoca: cada complexo determina um único ponto e cada ponto do plano determina um único complexo. O módulo |z| será a distância OP, assunto aprofundado na próxima aula.
Eixos, quadrantes e sinais
Para z=a+bi com a≠0 e b≠0, os sinais de a e b determinam o quadrante:
- I: a>0 e b>0;
- II: a<0 e b>0;
- III: a<0 e b<0;
- IV: a>0 e b<0.
Se b=0, o afixo está no eixo real; se a=0, no eixo imaginário. Pontos sobre os eixos não pertencem a quadrante. O complexo 0 corresponde à origem.
Interpretação vetorial
O complexo z=a+bi também representa o vetor OP=(a,b). Se z e w têm afixos P e Q, então z+w é a soma vetorial e z−w representa o vetor orientado de Q para P.
A multiplicação de um complexo por um real λ produz uma homotetia de centro na origem: λz tem vetor λ·OP. Para λ<0, há ainda inversão do sentido.
O ponto médio dos afixos de z e w tem afixo (z+w)/2. Mais geralmente, (1−t)z+tw, com 0≤t≤1, percorre o segmento que liga os dois afixos.
Simetrias e transformações básicas
Se z=a+bi, então:
- z̄=a−bi é a reflexão de z no eixo real;
- −z=−a−bi é a simetria central em relação à origem;
- −z̄=−a+bi é a reflexão de z no eixo imaginário;
- iz=−b+ai corresponde a uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem;
- −iz=b−ai corresponde a uma rotação de 90° no sentido horário.
As interpretações de iz e −iz preservam a distância à origem porque apenas reorganizam e trocam sinais das coordenadas.
Distâncias e lugares geométricos
A distância entre os afixos de z e w é o módulo da diferença:
Essa leitura transforma equações e inequações com módulos em lugares geométricos:
- |z−z₀|=r, com r>0: circunferência de centro no afixo de z₀ e raio r;
- |z−z₀|≤r: disco fechado; |z−z₀|<r: disco aberto;
- |z−z₁|=|z−z₂|, com z₁≠z₂: mediatriz do segmento entre os dois afixos;
- Re(z)=c: reta vertical x=c; Im(z)=c: reta horizontal y=c.
Se r=0, |z−z₀|=0 representa apenas z=z₀; se r<0, a equação não tem solução, pois módulos são não negativos.
Pegadinhas e condições
- O afixo de a+bi é (a,b), e não (b,a).
- Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.
- z−w é um complexo orientado; |z−w| é uma distância não negativa.
- |z−z₀|=r é circunferência somente para r>0.
- Na mediatriz |z−z₁|=|z−z₂|, é necessário z₁≠z₂; se z₁=z₂, todo o plano satisfaz a igualdade.
Questões resolvidas
1. Localização e simetria
Localize z=−2+3i e determine o afixo de z̄.
O afixo de z é (−2,3): parte real negativa e imaginária positiva, portanto está no II quadrante.
Como z̄=−2−3i, seu afixo é (−2,−3), a reflexão no eixo real.
Resposta: z no II quadrante e z̄ no ponto (−2,−3).
2. Vetor e ponto médio
Se A tem afixo 1+2i e B tem afixo 5−2i, determine o vetor AB e o ponto médio de AB.
O vetor AB corresponde a zB−zA=(5−2i)−(1+2i)=4−4i.
O ponto médio tem afixo (zA+zB)/2=(6+0i)/2=3.
Resposta: vetor 4−4i e ponto médio (3,0).
3. Circunferência por módulo
Interprete geometricamente |z−(2−i)|=3.
A expressão mede a distância entre o afixo de z e o afixo de 2−i.
O ponto fixo é (2,−1) e a distância é 3.
Resposta: circunferência de centro (2,−1) e raio 3.
4. Mediatriz em forma complexa
Determine o lugar geométrico |z−1|=|z+1|.
Os pontos fixos são 1 e −1, com afixos (1,0) e (−1,0).
O conjunto equidistante deles é a mediatriz do segmento: o eixo imaginário.
Algebricamente, para z=x+yi: (x−1)²+y²=(x+1)²+y², logo x=0.
Resposta: Re(z)=0.
5. Interseção de dois lugares
Resolva simultaneamente |z|=2 e |z−2|=2.
Com z=x+yi, as equações são x²+y²=4 e (x−2)²+y²=4.
Subtraindo a primeira da segunda: −4x+4=0, então x=1.
Substituindo: 1+y²=4, de onde y=±√3.
Resposta: z=1+√3i ou z=1−√3i.
Exercícios
1. O afixo de 3−2i é:
2. O complexo −1+4i está no:
3. O ponto médio dos afixos de 1+i e 5−3i tem afixo:
4. A imagem de z=2−3i pela transformação z↦−z̄ é:
5. A distância entre os afixos de −1+2i e 3−i é:
6. O conjunto |z−(2−i)|=3 é:
7. O lugar |z−1|=|z+1| é descrito por:
8. Os complexos que satisfazem |z−i|=|z+i| e |z−2|=2 são:
Gabarito comentado:
1-C. As coordenadas seguem a ordem (Re(z),Im(z))=(3,−2).
2-B. Parte real negativa e parte imaginária positiva caracterizam o II quadrante.
3-A. (1+i+5−3i)/2=(6−2i)/2=3−i.
4-D. z̄=2+3i e, portanto, −z̄=−2−3i.
5-B. A diferença é (3−i)−(−1+2i)=4−3i; seu módulo é √(16+9)=5.
6-C. |z−z₀|=r representa circunferência de centro no afixo de z₀=2−i e raio r=3.
7-A. O conjunto é a mediatriz de −1 e 1, isto é, o eixo imaginário Re(z)=0.
8-D. A primeira igualdade fornece Im(z)=0. Com z=x real, |x−2|=2 dá x=0 ou x=4.
Resumo final
- a+bi corresponde ao ponto (a,b) e ao vetor de origem em (0,0).
- z−w representa o vetor do afixo de w ao afixo de z; |z−w| mede seu comprimento.
- Conjugado, oposto e oposto do conjugado são reflexões no eixo real, na origem e no eixo imaginário.
- |z−z₀|=r descreve distância fixa quando r≥0.
- Igualdades de distâncias podem representar mediatrizes e interseções de lugares geométricos.