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Regra de Cramer

Determinantes e solução única

Aplique Cramer quando o sistema quadrado tem determinante não nulo.

Hipótese

O sistema deve ser quadrado e D=det A≠0.

Fórmula

xᵢ=Dᵢ/D

Determinantes auxiliares

Dᵢ substitui a coluna i de A pelo vetor B.

Limitações

Se D=0, Cramer não classifica sozinho; use escalonamento.

Escolha

Cramer é prático em sistemas pequenos; Gauss escala melhor para ordens maiores.

Pegadinhas e condições

  • D=0 não significa automaticamente sistema impossível.
  • Substitua a coluna correta, não a linha.

Questões resolvidas

1. Sistema 2×2

Resolva x+y=5; x−y=1 por Cramer.

D=−2; Dₓ=−6 e Dᵧ=−4.

x=3 e y=2.

2. Condição

O que fazer se D=0?

Não dividir por zero.

Classifique pelo escalonamento.

Exercícios

Fácil

1. Cramer exige:

A) D=0B) D≠0C) matriz retangularD) sistema não linear
Fácil

2. Dᵢ é obtido substituindo:

A) linha i por BB) coluna i por BC) diagonal por zeroD) A por I
Médio

3. Se D=2 e Dₓ=8, x=

A) 2B) 4C) 8D) 16
Médio

4. Se D=0:

A) não há solução sempreB) há infinitas sempreC) Cramer não decide sozinhoD) x=0
Difícil

5. Para sistemas grandes, normalmente é mais eficiente:

A) CramerB) GaussC) tentativaD) gráfico manual

Gabarito comentado:

1-B: Garante solução única.

2-B: Coluna da variável.

3-B: 8/2=4.

4-C: Pode ser impossível ou indeterminado.

5-B: Evita muitos determinantes.

Resumo final

  • Cramer vale para D≠0.
  • Dᵢ troca coluna por B.
  • xᵢ=Dᵢ/D.
  • D=0 exige outro método.