Classificação e interpretação geométrica
Sistema possível e determinado — SPD
Possui exatamente uma solução. Em duas incógnitas, representa retas concorrentes. Exemplo: x+y=2 e x−y=0 encontram-se em (1,1).
Sistema possível e indeterminado — SPI
Possui infinitas soluções. Em duas incógnitas, representa retas coincidentes. Exemplo: x+y=2 e 2x+2y=4.
Sistema impossível — SI
Não possui solução. Em duas incógnitas, representa retas paralelas distintas. Exemplo: x+y=2 e 2x+2y=5.
Um sistema linear real tem nenhuma, uma ou infinitas soluções; nunca exatamente duas ou outra quantidade finita maior que uma. Se duas soluções distintas existem, as combinações lineares adequadas entre elas produzem infinitos pontos solução.
Matrizes e definição de posto
Em AX=B, A é a matriz dos coeficientes, X é a coluna das incógnitas, B é a coluna dos termos independentes e [A|B] é a matriz ampliada.
O posto é o número de pivôs de uma forma escalonada, equivalente ao número de linhas não nulas após o escalonamento. Operações elementares de linha preservam o posto.
Na comparação, A não inclui a coluna B; [A|B] inclui. Uma linha que é nula em A, mas tem termo independente não nulo, aumenta o posto da ampliada.
Teorema de Rouché-Capelli
Considere um sistema com n incógnitas:
SI
Os coeficientes e a coluna ampliada geram postos diferentes; há contradição.
SPD
O sistema é compatível e todas as incógnitas têm pivô.
SPI
O sistema é compatível e possui variável livre.
Somente em sistema compatível: número de variáveis livres=n−posto(A).
Leitura da forma escalonada e do determinante
- [0 … 0|c], com c≠0, é contradição e torna o sistema SI.
- [0 … 0|0] é uma equação redundante.
- Num sistema compatível, coluna de incógnita sem pivô gera variável livre e SPI.
- Pivô em todas as n colunas de incógnitas gera SPD.
Para sistema quadrado, det A≠0 garante SPD. Já det A=0 apenas informa singularidade: o sistema pode ser SPI ou SI, e a distinção exige a matriz ampliada.
Discussão completa de parâmetros
- Monte [A|B].
- Escalone sem dividir por expressão paramétrica.
- Identifique valores que anulam pivôs e separe casos.
- Em cada caso, verifique contradições e compare postos.
- Classifique; resolva ou parametrize quando solicitado.
Nunca divida por uma expressão que contém parâmetro antes de analisar o caso em que essa expressão é zero. Em (k−2)y=3, k=2 produz 0=3; só para k≠2 é lícito dividir.
SPD ou SI
x+y=2 e x+ky=3 dão [0 k−1|1]. Se k≠1: SPD. Se k=1: SI.
SPD ou SPI
x+y=2 e x+ky=k+1 dão [0 k−1|k−1]. Se k≠1: SPD, com (1,1). Se k=1: linha nula e SPI.
Dois parâmetros: três casos
x+y=2 e ax+by=3 têm det=b−a. Se b≠a: SPD. Se a=b, a segunda equação exige a(x+y)=3: para a=b=3/2, SPI; para a=b≠3/2, SI.
Sistemas homogêneos
AX=0 sempre possui a solução trivial X=0 e, portanto, nunca é SI.
posto(A)<n ⇒ infinitas soluções, inclusive não triviais
Para sistema quadrado, det A≠0 implica somente a solução trivial; det A=0 implica existência de solução não trivial. Não confunda “possui solução trivial” com “possui somente a solução trivial”.
Roteiro e pegadinhas
- Conte as n incógnitas e monte A e [A|B].
- Escalone; calcule os dois postos.
- Procure contradição e conte pivôs.
- Identifique variáveis livres somente se o sistema for compatível.
- Aplique Rouché-Capelli e separe parâmetros.
- Resolva ou parametrize, se pedido.
- det A=0 não basta para concluir SPI nem SI.
- Número de equações e incógnitas, sozinho, não classifica o sistema.
- Não esqueça [A|B], não conte linha nula como pivô e conte o posto após escalonar.
- Não divida por expressão paramétrica antes do caso zero.
- Sistema homogêneo não é impossível.
- Variáveis livres são n−posto(A), apenas quando os postos são iguais.
- Um sistema linear não tem exatamente duas soluções.
Questões resolvidas
1. SPD
x+y=3; x−y=1.
L₂←L₂−L₁ dá [0 −2|−2].
y=1, x=2: SPD.
2. SPI
x+y=2; 2x+2y=4.
L₂←L₂−2L₁ gera [0 0|0].
Com y=t, x=2−t: SPI.
3. SI
x+y=2; 2x+2y=5.
L₂←L₂−2L₁ gera [0 0|1].
Contradição: SI.
4. Rouché-Capelli
n=3, posto(A)=posto([A|B])=2.
Os postos iguais garantem compatibilidade.
Como 2<3, é SPI e há 3−2=1 variável livre.
5. Parâmetro: SPD/SI
x+y=2; x+ky=3.
Após subtrair: (k−1)y=1.
k≠1: SPD; k=1: SI.
6. Parâmetro: SPD/SPI
x+y=2; x+ky=k+1.
(k−1)y=k−1.
k≠1: (1,1), SPD; k=1: SPI.
7. Homogêneo
x+y=0; 2x+2y=0.
posto(A)=1<2.
y=t, x=−t: infinitas soluções.
8. SPI com duas livres
x+2y−z=3.
posto(A)=1 e n=3: duas livres.
y=s, z=t e x=3−2s+t.
Exercícios
1. SPD significa sistema com:
2. Retas paralelas distintas representam:
3. n=3 e posto(A)=posto([A|B])=2:
4. posto(A)=2 e posto([A|B])=3:
5. Em sistema quadrado, det A≠0 garante:
6. Um homogêneo com n=3 e posto(A)=2 tem:
7. [1 2|3;0 0|0], com duas incógnitas, é:
8. x+y=2 e 2x+2y=4 formam:
9. x+y=2 e x+ky=3 são:
10. Em x+y=2 e ax+by=3, a classificação é:
Gabarito comentado:
1-B: SPD tem exatamente uma solução.
2-C: paralelas distintas não se encontram.
3-D: postos iguais e menores que n; 3−2=1 livre.
4-A: postos diferentes caracterizam SI.
5-C: A invertível produz solução única.
6-B: homogêneo é compatível e 3−2=1 variável livre.
7-D: a linha nula é redundante e sobra uma livre.
8-B: a segunda equação é múltipla da primeira.
9-C: (k−1)y=1; k=1 gera 0=1.
10-D: det=b−a; no caso a=b, compare 2a com 3.
Resumo final
- SPD: uma solução; SPI: infinitas; SI: nenhuma.
- Posto é o número de pivôs após escalonar.
- Postos diferentes: SI; postos iguais a n: SPD; iguais e menores que n: SPI.
- Em sistema compatível, variáveis livres=n−posto(A).
- det A≠0 garante SPD; det A=0 exige discussão adicional.
- Homogêneo sempre tem X=0 e nunca é SI.
- Com parâmetros, analise os zeros antes de dividir.