Conceito e determinantes de ordens 1 e 2
Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Uma matriz m×n com m≠n não possui determinante. A ordem é o número comum de linhas e colunas, e o resultado pode ser positivo, negativo ou zero.
Ordem 1
Ordem 2
Produto da diagonal principal menos produto da secundária.
No cálculo algébrico, preserve o sinal. O valor absoluto aparece apenas quando a aplicação pede uma medida, como área ou volume.
Ordem 3: Regra de Sarrus
Para A=[a b c; d e f; g h i], repita as duas primeiras colunas, some os três produtos descendentes e subtraia os três ascendentes:
aei+bfg+cdh
−ceg−bdi−afh
Em [1 2 0; 3 1 1; 2 0 1], os produtos positivos somam 1+4+0=5 e os negativos somam 0+6+0=6; logo det A=−1.
Condição: a Regra de Sarrus vale somente para matrizes 3×3. Não se aplica a matrizes 4×4 ou de outra ordem.
Menores, cofatores e expansão de Laplace
O menor complementar Mᵢⱼ é o determinante obtido ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator é:
[ + − + ; − + − ; + − + ]
Por uma linha i, det A=aᵢ₁Cᵢ₁+aᵢ₂Cᵢ₂+…+aᵢₙCᵢₙ. Pode-se expandir por qualquer coluna de modo análogo; o resultado é o mesmo. Escolha uma linha ou coluna com muitos zeros.
Em [2 0 1; 0 3 0; 4 0 5], expandir pela segunda linha deixa 3C₂₂. Como C₂₂=det[2 1;4 5]=6, det A=18.
Triangulares, diagonais e operações de linha
Para matriz triangular superior, triangular inferior ou diagonal de ordem n:
det Iₙ=1
Troca de linhas
Trocar duas linhas muda o sinal.
Multiplicação
Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
Soma de múltiplo
Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.
A página seguinte aprofunda essas propriedades. Aqui, aplique uma operação por vez.
Singularidade, inversa, parâmetros e sistemas
det A=0 ⇔ A é singular
Determinante zero ocorre, por exemplo, com linha ou coluna nula, duas linhas iguais ou proporcionais, ou uma linha que seja combinação das outras.
Parâmetro
Para A=[k 1; 2 3], det A=3k−2. A matriz é singular exatamente quando k=2/3.
Sistema quadrado AX=B
Se det A≠0, o sistema possui solução única, isto é, é SPD. Se det A=0, o determinante sozinho não decide entre SPI e SI; é preciso discutir o sistema.
Aplicações geométricas
Paralelogramo
Para vetores (a,b) e (c,d), a área é |det[a b; c d]|.
Triângulo
[x₁ y₁ 1;
x₂ y₂ 1;
x₃ y₃ 1]|
Três pontos são colineares exatamente quando esse determinante vale zero. Área usa módulo porque não pode ser negativa; o determinante algébrico conserva o sinal.
Pegadinhas e condições
- Matriz não quadrada não tem determinante.
- Na ordem 2, use ad−bc, não ac−bd.
- Não aplique módulo no cálculo algébrico.
- Sarrus é exclusiva de 3×3.
- Em cofatores, elimine linha e coluna corretas e respeite os sinais.
- det A=0 não significa automaticamente SI nem SPI.
- Em triangular, multiplique a diagonal principal.
- Em geral, det(A+B)≠det A+det B.
- Em ordem n, det(kA)=kⁿdet A, pois as n linhas são multiplicadas.
- Uma troca de linhas muda o sinal.
Questões resolvidas
1. Ordem 2
det[2 3;1 4].
2·4−3·1=8−3.
Determinante: 5.
2. Sarrus
det[1 2 0;3 1 1;2 0 1].
Positivos: 5. Negativos: 6.
det A=5−6=−1.
3. Laplace
det[2 0 1;0 3 0;4 0 5].
Expanda pela segunda linha: 3C₂₂.
C₂₂=10−4=6; det=18.
4. Triangular
Diagonal 2, −1 e 3.
Multiplique a diagonal.
2·(−1)·3=−6.
5. Singularidade
Quando [k 1;2 3] é singular?
det=3k−2.
k=2/3.
6. Sistema
x+y=3; 2x+3y=8.
det[1 1;2 3]=1≠0: SPD.
y=2 e x=1.
7. Área
(0,0), (4,0), (1,3).
O módulo do determinante é 12.
Área=12/2=6.
8. Colinearidade
(1,1), (2,2), (3,3).
O determinante associado vale zero.
Os pontos são colineares.
Exercícios
1. det[−7] é:
2. det[1 2;3 4] é:
3. det[1 2 0;3 1 1;2 0 1] é:
4. Triangular com diagonal 3, −2 e 4:
5. Em [1 2 3;0 4 5;1 0 6], C₁₂ é:
6. Se det A=6, trocar duas linhas produz:
7. [k 1;2 3] é singular quando:
8. Área de (0,0), (4,0), (1,3):
9. [k 1 0;1 k 1;0 1 k] é singular para:
10. det[1 0 2 0;0 3 0 0;4 0 5 0;0 0 0 2] é:
Gabarito comentado:
1-B: ordem 1 conserva o elemento.
2-A: 4−6=−2.
3-B: Sarrus dá 5−6=−1.
4-D: 3·(−2)·4=−24.
5-B: M₁₂=−5 e C₁₂=5.
6-C: uma troca muda o sinal.
7-A: 3k−2=0.
8-D: metade de |12|.
9-C: det=k³−2k=k(k²−2).
10-D: 2·3·(5−8)=−18.
Resumo final
- Somente matrizes quadradas possuem determinante.
- Ordem 2: ad−bc; Sarrus apenas em 3×3.
- Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ e Laplace pode usar qualquer linha ou coluna.
- Em triangular ou diagonal, multiplique a diagonal.
- det A≠0 equivale a A invertível; det A=0 exige discussão adicional.
- Áreas usam valor absoluto.