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As quatro operações

Aprenda a somar, subtrair, multiplicar e dividir desde o início. Entenda as contas armadas, as trocas entre ordens, a tabuada, o quociente e o resto, com exemplos passo a passo.

1Antes da conta: unidades, dezenas e centenas

Nesta aula, começamos com quantidades inteiras não negativas: 0, 1, 2, 3, …, chamadas números naturais. Primeiro vamos aprender a fazer as quatro operações com esses números. Você não precisa conhecer conjuntos, letras algébricas, frações ou números negativos para acompanhar o começo. Cada técnica será construída antes de aparecer em uma conta maior.

Uma unidade é um objeto contado como um. Dez unidades podem ser agrupadas em uma dezena; dez dezenas formam uma centena; dez centenas formam uma unidade de milhar. Podemos trocar um grupo por suas partes sem mudar o total. É essa troca que explica o “vai um” e o reagrupamento das contas armadas.

Exemplo resolvido · Ler cada posição

O que os algarismos de 53 representam?

Resolução

  1. O algarismo da direita indica 3 unidades. O da esquerda indica 5 dezenas, isto é, 50 unidades.
  2. Reunindo as duas partes, temos 50 + 3 = 53. O 5 vale 50 porque está na posição das dezenas.

53=50+353=50+3.

Exemplo resolvido · Trocar sem alterar o total

Escreva 27 unidades em dezenas e unidades. Depois troque uma das dezenas por unidades.

Resolução

  1. 27 unidades formam 2 dezenas e 7 unidades, porque 20 + 7 = 27.
  2. Trocando uma dezena por 10 unidades, ficam 1 dezena e 17 unidades. As duas escritas representam 27. A segunda poderá ajudar numa subtração.

27=20+7=10+1727=20+7=10+17.

10 U=1 D10 D=1 C10 C=1 UM\begin{gathered}10\,\mathrm U=1\,\mathrm D\\10\,\mathrm D=1\,\mathrm C\\10\,\mathrm C=1\,\mathrm{UM}\end{gathered}

U significa unidade, D dezena, C centena e UM unidade de milhar. Cada troca conserva a quantidade total. Na conta armada, alinhe algarismos de mesma ordem; um espaço sem algarismo de uma ordem ausente representa zero.

Na conta armada, U, D, C e UM nomeiam essas ordens. Escreva unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena e assim por diante. Em um número maior, como 2 053, há 2 milhares, 0 centenas, 5 dezenas e 3 unidades: 2000 + 50 + 3. O zero conserva a posição das centenas. Os sinais +, −, × e ÷ indicam, respectivamente, adição, subtração, multiplicação e divisão. O sinal = diz que os dois lados têm o mesmo valor.

2Somar: reunir quantidades e alinhar as ordens

Somar é encontrar o total ao juntar quantidades ou acrescentar uma quantidade a outra. Os números somados são as parcelas; o resultado é a soma. Comecemos por uma conta pequena e depois organizemos uma soma por colunas.

Exemplo resolvido · Acrescentar uma unidade de cada vez

Há 6 lápis e chegam outros 3. Calcule 6+36+3.

Resolução

  1. Partindo de 6, acrescente três unidades: 7, depois 8, depois 9. Cada passo corresponde a um lápis que chegou.
  2. As parcelas são 6 e 3, e a soma é 9. Começar por 3 e acrescentar 6 daria o mesmo total.

6+3=96+3=9 lápis.

Exemplo resolvido · Conta armada sem trocas

Calcule 208+361208+361.

Resolução

  1. Alinhe C, D e U. Nas unidades, 8 + 1 = 9; escreva 9 na coluna U.
  2. Nas dezenas, 0 + 6 = 6. Nas centenas, 2 + 3 = 5. Lendo o resultado da esquerda para a direita, obtemos 569.

208+361=569208+361=569.

Somar zero conserva a quantidade: 8 + 0 = 8. Podemos usar letras apenas para registrar esse padrão: a é uma quantidade, b outra, e s nomeia sua soma. Nenhuma letra acrescenta uma operação diferente.

a+b=sa+0=a\begin{gathered}a+b=s\\a+0=a\end{gathered}

a e b são números naturais (0, 1, 2, …), chamados parcelas, e s é a soma. As letras apenas nomeiam os números de uma conta. Somar zero não altera a quantidade. A soma de naturais é natural.

3Adição com reserva: por que o “vai um” funciona

Se uma coluna totaliza dez ou mais unidades daquela ordem, não escrevemos esse total inteiro em uma única posição. Trocamos cada grupo de dez por uma unidade da ordem seguinte. A quantidade reservada precisa participar da soma da próxima coluna.

Exemplo resolvido · Duas trocas na mesma soma

Calcule 287+156287+156.

Resolução

  1. Unidades: 7 + 6 = 13. Escreva 3 unidades e reserve 1 dezena, pois 13 unidades são 1 dezena e 3 unidades.
  2. Dezenas: 8 + 5 + 1 reservada = 14. Escreva 4 dezenas e reserve 1 centena.
  3. Centenas: 2 + 1 + 1 reservada = 4. O resultado é 443. Conferindo por partes: 200 + 100 + 80 + 50 + 7 + 6 = 443.

287+156=443287+156=443.

CDU11287156443+287 + 156 = 443
Os dois “1” acima das parcelas, destacados em laranja, são as reservas: uma dezena e uma centena transferidas para a coluna seguinte. Eles são somados aos algarismos originais.

Exemplo resolvido · Com três parcelas, a reserva pode ser dois

Calcule 98+157+4698+157+46.

Resolução

  1. Unidades: 8 + 7 + 6 = 21. Escreva 1 e reserve 2 dezenas.
  2. Dezenas: 9 + 5 + 4 + 2 reservadas = 20. Escreva 0 dezenas e reserve 2 centenas.
  3. Centenas: 0 + 1 + 0 + 2 reservadas = 3. Portanto a soma é 301. A reserva depende da quantidade formada; não é sempre 1.

98+157+46=30198+157+46=301.

Leia o resultado e compare com uma estimativa simples. Como 287 é perto de 300 e 156 é perto de 150, a primeira soma deve ficar perto de 450. Isso ajuda a perceber resultados incompatíveis, mas não substitui a conta exata.

4Subtrair: retirar, comparar ou completar

Subtrair pode perguntar quanto sobra, quanto uma quantidade supera outra ou quanto falta para atingir um total. Na escrita 9 − 4 = 5, 9 é o minuendo, 4 é o subtraendo e 5 é a diferença. São apenas os nomes das partes da conta. Aqui fazemos subtrações cujo resultado é natural: a quantidade inicial é maior ou igual à retirada.

Exemplo resolvido · Retirar e conferir

De 9 fichas, retiramos 4. Calcule 9−49-4.

Resolução

  1. Retirando uma ficha de cada vez, passamos por 8, 7, 6 e 5. Restam 5 fichas.
  2. Para conferir, reúna o que restou e o que saiu: 5 + 4 = 9. A adição reconstrói a quantidade inicial.

9−4=59-4=5.

Exemplo resolvido · Comparação sem reagrupamento

Uma caixa tem 75 peças e outra 42. Quantas peças a primeira tem a mais?

Resolução

  1. A pergunta pede a diferença 75 − 42. Nas unidades, 5 − 2 = 3; nas dezenas, 7 − 4 = 3.
  2. A diferença é 33. Conferimos 42 + 33 = 75: são as 33 peças que faltam à segunda caixa para alcançar a primeira.

75−42=3375-42=33 peças.

a−b=d⇕b+d=a\begin{gathered}a-b=d\\\Updownarrow\\b+d=a\end{gathered}

a, b e d são naturais e a ≥ b: a é o minuendo, b é o subtraendo e d é a diferença. A diferença mais o subtraendo reconstrói o minuendo. Se a < b, a diferença não é natural; os números negativos serão estudados na aula seguinte.

Retirar zero conserva o número, e retirar o número inteiro deixa zero: 12 − 0 = 12 e 12 − 12 = 0. Trocar a ordem altera o problema. A conta 4 − 9 não tem resultado natural; ela será retomada com os negativos na aula seguinte.

5Subtração com trocas, inclusive quando há zeros

Se a coluna de cima não possui unidades suficientes para a retirada, troque uma unidade da ordem seguinte por dez da ordem atual. Diminua a coluna que forneceu o grupo e aumente a que recebeu as partes. O número total de cima permanece o mesmo; muda apenas sua organização.

Exemplo resolvido · Uma dezena vira dez unidades

Calcule 53−2853-28.

Resolução

  1. Não podemos retirar 8 unidades de apenas 3 sem reagrupar. Trocamos 1 das 5 dezenas por 10 unidades: 53 passa a ser 4 dezenas e 13 unidades.
  2. Agora 13 − 8 = 5 unidades e 4 − 2 = 2 dezenas. A diferença é 25. Conferindo, 28 + 25 = 53.

53−28=2553-28=25.

Exemplo resolvido · Atravessar duas ordens vazias

Calcule 1 002−4871\,002-487.

Resolução

  1. Faltam unidades para retirar 7, mas as dezenas e centenas são zero. Trocamos 1 milhar por 10 centenas; uma dessas centenas vira 10 dezenas; uma dessas dezenas vira 10 unidades.
  2. A nova organização é 0 milhares, 9 centenas, 9 dezenas e 12 unidades. Ela continua valendo 1002, pois 900 + 90 + 12 = 1002.
  3. Subtraímos por coluna: 12 − 7 = 5; 9 − 8 = 1; 9 − 4 = 5. O resultado é 515. A conferência é 515 + 487 = 1002.

1 002−487=5151\,002-487=515.

1 002 após as trocasUMCDU099120487−05151 002 − 487 = 515
A primeira linha mostra 1002 após as trocas. O 12 na coluna U significa doze unidades; não é um novo algarismo do sistema decimal. Subtrair 487 deixa 515.

A expressão “emprestar” aparece em algumas explicações, mas não há um empréstimo a devolver depois. Há trocas equivalentes entre ordens. Registrar as alterações evita esquecer que uma coluna já forneceu uma dezena ou uma centena.

6Multiplicar: grupos iguais e construção da tabuada

Quando vários grupos têm a mesma quantidade, podemos somar essa quantidade repetidamente. A multiplicação abrevia essa soma. Os números multiplicados são fatores; o resultado é o produto. Usaremos × ou o ponto · para indicar a mesma operação.

Exemplo resolvido · Três grupos de quatro

Há 3 caixas com 4 bolas em cada uma. Calcule 3×43\times4.

Resolução

  1. As quantidades são iguais em cada caixa, então somamos 4 + 4 + 4 = 12.
  2. A escrita 3 × 4 registra três grupos de quatro. O resultado é 12 bolas. Grupos de tamanhos diferentes não podem ser substituídos diretamente por essa multiplicação.

3×4=123\times4=12.

3 grupos de 43 × 4 = 12
Três fileiras com quatro unidades em cada uma totalizam doze. Contar por colunas produz quatro grupos de três e o mesmo total.
b+b+⋯+b⏟a parcelas=a⋅b\underbrace{b+b+\cdots+b}_{a\text{ parcelas}}=a\cdot b

a é natural positivo e b é natural. a conta os grupos; b conta as unidades em cada grupo. Os dois números são fatores e o resultado é o produto. Com zero grupos, o total é zero; a repetição de parcelas acima é escrita somente para a ≥ 1.

a+b=b+aa⋅b=b⋅a\begin{gathered}a+b=b+a\\a\cdot b=b\cdot a\end{gathered}

a e b são naturais. Trocar a ordem preserva a soma e o produto. Subtração e divisão não permitem essa troca em geral. Os casos numéricos ilustram as propriedades; o agrupamento das quantidades e das fileiras explica sua validade.

Exemplo resolvido · Reconstruir um produto conhecido a partir de outros

Encontre 7×67\times6 sabendo que 5×6=305\times6=30 e 2×6=122\times6=12.

Resolução

  1. Sete grupos de seis podem ser separados em cinco grupos e dois grupos, todos com seis unidades.
  2. Reunindo os dois produtos, 7 × 6 = 30 + 12 = 42. A tabuada pode ser construída por somas e decomposições, além de ser memorizada com prática.

7×6=427\times6=42.

a⋅0=0a⋅1=a\begin{gathered}a\cdot0=0\\a\cdot1=a\end{gathered}

a é natural. Grupos com zero unidades não contêm unidade alguma. Um grupo de a unidades ou a grupos de uma unidade totalizam a. Não confundir o neutro da soma, zero, com o neutro do produto, um.

Dobrar é multiplicar por 2; triplicar, por 3. Multiplicar por 10 transforma unidades em dezenas: 34 × 10 = 340. Na escrita de um natural, isso acrescenta um zero à direita. O motivo é a mudança de ordem, e não uma regra para acrescentar zeros em qualquer operação.

7Conta armada da multiplicação por um algarismo

Alinhe as ordens e comece pelas unidades. Multiplique cada algarismo pelo fator de um algarismo, some a reserva que veio da coluna anterior e faça novas trocas se o total alcançar dez. A reserva deve ser somada ao produto seguinte; não multiplicada novamente.

Exemplo resolvido · Produto com reserva

Calcule 36×436\times4.

Resolução

  1. Unidades: 6 × 4 = 24. Escreva 4 unidades e reserve 2 dezenas.
  2. Dezenas: 3 × 4 = 12 dezenas; com as 2 reservadas, são 14 dezenas. Escreva 14 à esquerda do 4 das unidades, obtendo 144.
  3. Conferimos por partes: (30 × 4) + (6 × 4) = 120 + 24 = 144.

36×4=14436\times4=144.

Exemplo resolvido · O zero interno mantém sua posição

Calcule 304×7304\times7.

Resolução

  1. Unidades: 4 × 7 = 28; ficam 8 unidades e reserva de 2 dezenas.
  2. Dezenas: 0 × 7 + 2 reservadas = 2 dezenas. Centenas: 3 × 7 = 21 centenas, ou 2 milhares e 1 centena.
  3. O resultado é 2128. Por decomposição, 300 × 7 + 4 × 7 = 2100 + 28 = 2128.

304×7=2 128304\times7=2\,128.

8Multiplicar por dezenas e reunir produtos parciais

Se o multiplicador tem mais de um algarismo, decomponha-o em unidades, dezenas e outras ordens. Cada algarismo gera um produto parcial. A soma desses produtos fornece o resultado. Antes da escrita geral, observe o que isso significa numa conta concreta.

Exemplo resolvido · O segundo produto é por vinte, não por dois

Calcule 234×26234\times26.

Resolução

  1. Como 26 = 20 + 6, calculamos primeiro 234 × 6. Unidades: 4 × 6 = 24, ficam 4 e reserva 2. Dezenas: 3 × 6 + 2 = 20, ficam 0 e reserva 2. Centenas: 2 × 6 + 2 = 14. Produto parcial 1404.
  2. Depois 234 × 20 = 4680. Multiplicar por 2 dá 468; como são duas dezenas, esse resultado vale dez vezes mais.
  3. Somamos 1404 + 4680 = 6084. Se a linha de dezenas fosse escrita como 468 unidades, perderíamos o fator 10.

234×26=6 084234\times26=6\,084.

234 × 2623426×14044680+6084
As linhas 1404 e 4680 são os produtos por 6 e por 20. O zero em 4680 conserva a posição das unidades antes da soma.
a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

a, b e c são naturais. Multiplicar a soma b + c equivale a multiplicar suas duas partes por a e reunir os produtos. ab significa a·b. A propriedade explica os produtos parciais da conta armada, inclusive a multiplicação por dezenas.

Exemplo resolvido · Multiplicador terminado em zero

Calcule 308×40308\times40.

Resolução

  1. 40 é 4 × 10. Primeiro 308 × 4 = 1232: 8 × 4 = 32, depois 0 × 4 + 3 reservadas = 3, e 3 × 4 = 12.
  2. Multiplicar esse resultado por 10 dá 12320. O zero final representa a passagem de unidades para dezenas.

308×40=12 320308\times40=12\,320.

9Dividir: repartir igualmente ou contar grupos

Uma divisão pode repartir o total entre um número conhecido de grupos ou descobrir quantos grupos de certo tamanho cabem no total. O número dividido é o dividendo; o número pelo qual dividimos é o divisor; o resultado é o quociente. Começaremos com divisões exatas, em que não sobra nada.

Exemplo resolvido · A mesma conta pode responder a duas perguntas

Explique 12÷3=412\div3=4 usando 12 fichas.

Resolução

  1. Se repartirmos 12 fichas igualmente entre 3 pessoas, cada uma recebe 4. Aqui o divisor conta as pessoas e o quociente conta fichas por pessoa.
  2. Se fizermos grupos de 3 fichas, cabem 4 grupos. Aqui o divisor indica fichas por grupo e o quociente conta grupos. Nos dois casos, 3 × 4 = 12 confere a divisão.

12÷3=412\div3=4.

a÷b=q⇕b⋅q=a\begin{gathered}a\div b=q\\\Updownarrow\\b\cdot q=a\end{gathered}

a e q são naturais e b é natural positivo. a é o dividendo, b o divisor e q o quociente. A equivalência descreve a divisão exata em naturais, com resto zero. O divisor não pode ser zero.

Exemplo resolvido · Dividir por um e dividir um número por ele mesmo

Calcule 9÷19\div1, 9÷99\div9 e 0÷50\div5.

Resolução

  1. 9 ÷ 1 = 9, porque 1 × 9 = 9. Já 9 ÷ 9 = 1, porque 9 × 1 = 9.
  2. 0 ÷ 5 = 0: não há unidades para distribuir e 5 × 0 = 0. O zero pode ser dividendo; o divisor precisa ser positivo neste estudo com naturais.

9÷1=99\div1=9, 9÷9=19\div9=1 e 0÷5=00\div5=0.

0÷b=0(b>0)0\div b=0\quad(b>0)

b é natural positivo: zero unidades repartidas em um número positivo de grupos deixam zero por grupo. Dividir por zero não é definido: com dividendo positivo é impossível reconstruí-lo por um produto com zero; com dividendo zero não há quociente único.

Dividir por zero não é definido. Em 9 ÷ 0, nenhum número multiplicado por zero reconstrói 9. Em 0 ÷ 0, todos os números multiplicados por zero dão zero, sem determinar um quociente único. A regra “um número dividido por ele mesmo dá 1” exige que esse número seja diferente de zero.

10Divisão armada por um algarismo, passo a passo

A divisão armada percorre o dividendo da esquerda para a direita. Pegue o menor começo do número que alcance o divisor, escolha quantas vezes o divisor cabe sem ultrapassá-lo, multiplique, subtraia e baixe o algarismo seguinte. O resto de cada etapa precisa ser menor que o divisor. Se todo o dividendo for menor que o divisor, o quociente inteiro é zero e o próprio dividendo fica como resto.

Exemplo resolvido · Dividir, multiplicar, subtrair e baixar

Calcule 864÷4864\div4.

Resolução

  1. Em 8 centenas, o 4 cabe 2 vezes: escreva 2 no quociente, na posição das centenas. Multiplique 2 × 4 = 8 e subtraia, ficando zero nessa etapa.
  2. Baixe o 6 das dezenas. O 4 cabe 1 vez em 6; subtraia 4 e restam 2 dezenas.
  3. Baixe o 4 das unidades: as 2 dezenas restantes e as 4 unidades formam 24. O 4 cabe 6 vezes em 24, sem resto. O quociente é 216, e 216 × 4 = 864 confere.

864÷4=216864\div4=216.

Exemplo resolvido · O zero dentro do quociente não pode desaparecer

Calcule 1 206÷61\,206\div6.

Resolução

  1. O primeiro algarismo, 1, não alcança 6; usamos o começo 12. O 6 cabe 2 vezes em 12, com resto zero. Esse 2 representa centenas no quociente.
  2. Baixamos o 0 das dezenas. Em zero, o 6 cabe zero vezes. Escrevemos 0 na posição das dezenas do quociente; não pulamos essa posição.
  3. Baixamos o 6 das unidades. O 6 cabe 1 vez, com resto zero. O resultado é 201, não 21. A conferência é 201 × 6 = 1206.

1 206÷6=2011\,206\div6=201.

11Divisor com dois algarismos: escolher e conferir

O método não muda quando o divisor tem dois algarismos. A tabuada e uma estimativa ajudam a escolher o algarismo do quociente. Confirme o produto antes de subtrair: ele não pode ultrapassar a parte considerada, e a sobra precisa ser menor que o divisor. Se uma tentativa ficou grande ou pequena demais, ajuste-a.

Exemplo resolvido · Construir cada algarismo do quociente

Calcule 936÷24936\div24.

Resolução

  1. 9 é menor que 24, então começamos por 93. Nesse dividendo, esse começo representa 93 dezenas. Como 24 × 3 = 72 e 24 × 4 = 96 ultrapassa 93, escolhemos 3 dezenas no quociente. A diferença é 93 − 72 = 21 dezenas.
  2. As 21 dezenas restantes valem 210 unidades. Baixando o 6 das unidades, formamos 210 + 6 = 216. Como 24 × 9 = 216, escrevemos 9 unidades no quociente; 216 − 216 = 0 é o resto final.
  3. O quociente é 39. Conferimos 24 × 39 = 24 × 30 + 24 × 9 = 720 + 216 = 936.

936÷24=39936\div24=39.

936243972−216216−0936 = 24 × 39
O traço separa o divisor 24 e o quociente 39 das etapas feitas com o dividendo 936. Depois de 93 − 72 = 21, baixar o 6 forma 216; a última subtração deixa zero.

Exemplo resolvido · Começar pelos três primeiros algarismos

Calcule 1 728÷321\,728\div32.

Resolução

  1. O começo 17 é menor que 32, então usamos 172, que representa 172 dezenas do dividendo. Testamos 32 × 5 = 160 e 32 × 6 = 192. Escolhemos 5 dezenas no quociente; 172 − 160 = 12 dezenas ficam para a próxima etapa.
  2. Essas 12 dezenas valem 120 unidades. Baixando o 8, formamos 120 + 8 = 128. Como 32 × 4 = 128, escrevemos 4 unidades e sobra zero. O resultado é 54.
  3. A conferência é 32 × 54 = 32 × (50 + 4) = 1600 + 128 = 1728. Escolher um algarismo por estimativa e conferir o produto faz parte do método.

1 728÷32=541\,728\div32=54.

12Quando sobra: quociente inteiro e resto

Nem toda quantidade forma grupos completos sem sobra. Na divisão inteira, registramos quantos grupos completos cabem e quanto resta. O resto precisa ser menor que o tamanho de um grupo; se ainda der para formar outro grupo completo, o quociente ainda não está terminado.

Exemplo resolvido · Registrar a sobra sem declarar uma igualdade falsa

Divida 29 em grupos de 5 unidades.

Resolução

  1. Cinco grupos usam 25 unidades; seis grupos exigiriam 30, ultrapassando 29. Portanto cabem 5 grupos completos e sobram 4 unidades.
  2. A conferência é 29 = 5 × 5 + 4, com resto 4 menor que o divisor 5. Não escrevemos 29 ÷ 5 = 5 como igualdade exata: o quociente inteiro é 5, com resto 4.

29=5⋅5+429=5\cdot5+4: quociente inteiro 5 e resto 4.

a=bq+r0≤r<b\begin{gathered}a=bq+r\\0\le r<b\end{gathered}

a, q e r são naturais e b é natural positivo. q é o número de grupos completos; r é o resto. A condição r < b impede deixar no resto uma quantidade suficiente para formar outro grupo completo. Para esses dados, q e r são únicos.

Na fórmula, a nomeia o dividendo, b o divisor, q o quociente inteiro e r o resto. Os sinais 0 ≤ r < b dizem que o resto é zero ou positivo, mas sempre menor que o divisor. Se o resto for zero, a divisão é exata. A divisão com resultado fracionário ou decimal será desenvolvida na aula seguinte.

Exemplo resolvido · O contexto decide o que fazer com a sobra

Há 47 alunos e cada veículo dispõe de 5 vagas para alunos. Qual é o número mínimo de veículos para levar todos?

Resolução

  1. A divisão inteira dá 47 = 5 × 9 + 2. Nove veículos comportam 45 alunos e deixam dois sem vaga.
  2. Precisamos de mais um veículo para esses dois, totalizando 10. Ele não precisa ir cheio. Se a pergunta fosse apenas por veículos completamente cheios, seriam 9.

São necessários 10 veículos: 9⋅5=45<479\cdot5=45<47 e 10⋅5=50≥4710\cdot5=50\ge47.

13Escolher a operação e conferir a resposta

Leia a situação completa antes de escolher uma operação. Reunir quantidades costuma levar à adição; encontrar a diferença, à subtração; grupos iguais, à multiplicação; repartição ou contagem de grupos, à divisão. Uma palavra isolada não decide a conta: descubra quais quantidades estão sendo relacionadas e qual unidade o resultado deve ter.

Exemplo resolvido · Entradas e saídas de um estoque

Uma escola tinha 120 cadernos, recebeu 48 e entregou 75. Quantos cadernos restaram?

Resolução

  1. Reunimos os cadernos iniciais e recebidos: 120 + 48 = 168. Depois retiramos os entregues: 168 − 75 = 93.
  2. A conferência é 93 restantes + 75 entregues = 168, total que estava disponível. O resultado pede cadernos, não caixas ou pessoas.

120+48−75=93120+48-75=93 cadernos.

Exemplo resolvido · Produto seguido de uma retirada

Há 6 pacotes de 24 folhas. Depois de usar 15 folhas, quantas permanecem?

Resolução

  1. Os pacotes têm a mesma quantidade: 6 × 24 = 144 folhas. Retiramos as 15 usadas e obtemos 144 − 15 = 129.
  2. Como o total inicial está perto de 6 × 25 = 150, um resultado perto de 130 faz sentido. A conferência exata é 129 + 15 = 144.

6⋅24−15=1296\cdot24-15=129 folhas.

A adição confere a subtração, e a multiplicação confere a divisão; com resto, acrescente a sobra ao produto. Uma estimativa ajuda a detectar erros de ordem de grandeza, mas a conferência exata verifica as quantidades envolvidas.

14Mais de uma operação e uso de parênteses

Quando uma expressão reúne operações, os parênteses indicam o que deve ser calculado primeiro. Depois dos agrupamentos, fazemos multiplicações e divisões, da esquerda para a direita; por último, adições e subtrações, também da esquerda para a direita. Aqui usamos apenas as operações já ensinadas; potências e raízes entram na aula seguinte.

Exemplo resolvido · O agrupamento muda a conta

Compare 8+3⋅48+3\cdot4 e (8+3)⋅4(8+3)\cdot4.

Resolução

  1. Na primeira, multiplicamos 3 × 4 = 12 antes de somar 8, obtendo 20.
  2. Na segunda, os parênteses pedem 8 + 3 = 11 primeiro. Depois 11 × 4 = 44. As escritas representam cálculos diferentes.

8+3⋅4=208+3\cdot4=20; (8+3)⋅4=44(8+3)\cdot4=44.

Exemplo resolvido · Operações com a mesma prioridade

Calcule 48÷6⋅2−548\div6\cdot2-5 e 20−(8−3)20-(8-3).

Resolução

  1. Na primeira, divisão e multiplicação seguem da esquerda para a direita: 48 ÷ 6 = 8; 8 × 2 = 16; depois 16 − 5 = 11.
  2. Na segunda, calculamos o parêntese: 8 − 3 = 5. Depois 20 − 5 = 15. Sem parênteses, seguiríamos da esquerda para a direita: 20 − 8 − 3 = 12 − 3 = 9.

Os resultados são 1111 e 1515.

15Agora é com você

Comece pelas contas pequenas, depois pratique trocas, produtos parciais, divisão armada e problemas. Nas discursivas, mostre as etapas e confira com a operação inversa ou com a identidade da divisão. O banco acompanha o crescimento da aula.

Questão 1 de 360 conferidas

Fixação · Objetiva

Quanto vale o algarismo 5 em 2 050?

Escolha uma alternativa

16O que levar desta aula

  • Unidades, dezenas, centenas e milhares são ordens do sistema decimal. Trocar um grupo por dez unidades da ordem anterior conserva o total.
  • Somar reúne parcelas. Na conta armada, alinhe ordens e comece pelas unidades; transfira cada grupo de dez para a próxima coluna.
  • A reserva não é sempre um: em uma soma de várias parcelas, podem surgir duas ou mais unidades da próxima ordem.
  • Subtrair pode retirar, comparar ou completar. Nos naturais, o minuendo deve ser maior ou igual ao subtraendo para a diferença ser natural.
  • Reagrupar é trocar entre ordens, atualizando quem forneceu e quem recebeu. Zeros intermediários podem exigir várias trocas.
  • Confira a subtração somando diferença e subtraendo: o total deve reconstruir o minuendo.
  • Multiplicação registra grupos iguais. A tabuada pode ser construída por somas, decomposições e troca da ordem dos fatores.
  • Na multiplicação por um algarismo, some a reserva ao produto seguinte; não a multiplique outra vez.
  • Multiplicar por um número de vários algarismos exige produtos parciais com valor posicional correto. A linha das dezenas representa multiplicação por dezenas.
  • Dividir pode repartir igualmente ou contar grupos. Divisão exata é conferida pelo produto entre divisor e quociente.
  • Na divisão armada, trabalhe da esquerda para a direita: escolha, multiplique, subtraia e baixe o próximo algarismo. Confira cada produto.
  • Um zero no meio do quociente conserva uma ordem e não pode ser omitido.
  • Na divisão inteira, dividendo = divisor × quociente + resto, com resto não negativo e menor que o divisor positivo.
  • Zero dividido por positivo é zero. Nenhuma divisão por zero é definida.
  • O contexto determina o significado do resto: grupos completos e quantidade necessária para atender a todos podem dar respostas diferentes.
  • Parênteses agrupam. Multiplicações e divisões precedem somas e diferenças; operações da mesma prioridade seguem da esquerda para a direita.

A próxima aula é Números e operações. Ela amplia esta base com sinais, conjuntos numéricos, frações, decimais, potências, raízes e estimativas. Depois vem o núcleo de Divisibilidade, com múltiplos, divisores, primos, MMC e MDC.

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