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Triângulos

Existência, elementos e teoremas angulares

Organize propriedades essenciais dos triângulos e verifique sempre a existência da figura.

Existência e desigualdade triangular

Para comprimentos positivos a,b,c formarem triângulo não degenerado, as três desigualdades devem ser estritas:

a<b+c, b<a+c, c<a+b

Para determinar a: |b−c|<a<b+c. A igualdade produz figura degenerada.

Classificações e ordem

Quanto aos lados: escaleno, isósceles e equilátero. Quanto aos ângulos: acutângulo, retângulo e obtusângulo. Maior lado fica oposto ao maior ângulo, e reciprocamente. Equilátero é também equiângulo, com 60°.

Mediana, altura e bissetriz Três painéis distinguem uma mediana que chega ao ponto médio, uma altura perpendicular ao lado oposto e uma bissetriz que divide o ângulo do vértice em duas partes iguais. medianaM alturaH bissetrizD αα
Figuras esquemáticas, sem escala: as marcas registram ponto médio, perpendicularidade e igualdade angular.
Classificação pelos lados e ângulo externo As marcas distinguem os três lados de um escaleno, os dois lados iguais de um isósceles e os três lados iguais de um equilátero. Abaixo, o ângulo externo e é igual à soma dos ângulos internos remotos alfa e beta. escalenoisóscelesequilátero ACB αβe e = α + β
Figuras esquemáticas, sem escala: traços iguais indicam lados iguais, e o arco amarelo identifica o ângulo externo.
Construção dos quatro centros do triângulo Quatro painéis mostram três medianas concorrentes em G, três alturas concorrentes em H, três bissetrizes concorrentes em I e três mediatrizes concorrentes em O. medianas → Galturas → H bissetrizes → Imediatrizes → O GHIO
Figuras esquemáticas, sem escala: cada centro aparece na interseção de três retas da família correspondente.

Ângulos internos e externo

A+B+C=180°
ângulo externo=soma dos dois internos não adjacentes

No isósceles, ângulos da base são congruentes; reciprocamente, dois ângulos congruentes implicam lados opostos congruentes.

Cevianas e centros

  • medianas → baricentro, que divide cada mediana em 2:1 desde o vértice;
  • alturas → ortocentro;
  • bissetrizes internas → incentro;
  • mediatrizes → circuncentro.

Posições dos centros

Ortocentro e circuncentro ficam internos no acutângulo; no retângulo, o ortocentro é o vértice reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa; no obtusângulo, ambos ficam externos. Baricentro e incentro são internos em todo triângulo não degenerado.

Teorema da bissetriz interna

Em △ABC, se D∈BC e AD é bissetriz interna de Â:

BD/DC=AB/AC

Cada segmento da base corresponde ao lado adjacente ao mesmo vértice B ou C.

Pegadinhas

  • Aceitar igualdade na desigualdade triangular.
  • Classificar antes de verificar a existência.
  • Confundir altura, mediana e mediatriz.
  • Inverter a correspondência no teorema da bissetriz.
  • Colocar circuncentro sempre dentro do triângulo.

Questões resolvidas

1. Existência

Determine os inteiros x para lados 7,11,x.

|11−7|<x<18.

4<x<18; x=5,6,...,17.

2. Ângulo externo

Externo de 132° e um interno remoto de 57°.

Outro remoto=132°−57°=75°.

Interno adjacente=48°.

3. Bissetriz

AB=8, AC=12, BC=15 e AD é bissetriz, D∈BC.

BD/DC=8/12=2/3.

Cinco partes valem 15; BD=6 e DC=9.

Exercícios

Fácil

1. Lados 3,4,7 formam:

A) triângulo escalenoB) triângulo degenerado, não válidoC) triângulo retânguloD) triângulo isósceles
Médio

2. Num isósceles, o ângulo do vértice mede 36°. Cada ângulo da base mede:

A) 36°B) 54°C) 72°D) 144°
Médio

3. No diagrama, a altura partindo de A deve:

A) dividir BC ao meio sempreB) ser perpendicular a BCC) dividir  ao meio sempreD) passar pelo circuncentro sempre
Difícil

4. Num triângulo retângulo, o circuncentro está:

A) no vértice retoB) no ponto médio da hipotenusaC) no baricentroD) fora do triângulo
Difícil

5. AD é bissetriz interna, AB=10, AC=15 e BC=20. BD mede:

A) 6B) 8C) 10D) 12

Gabarito comentado:

1-B: 3+4=7; a desigualdade precisa ser estrita.

2-C: (180°−36°)/2=72°.

3-B: Perpendicularidade define altura.

4-B: A hipotenusa é diâmetro da circunferência circunscrita.

5-B: BD:DC=2:3 e BD+DC=20; BD=8.

Resumo final

  • Os lados são positivos e satisfazem desigualdades estritas.
  • Maior lado e maior ângulo são opostos.
  • Centros vêm de famílias distintas de retas notáveis.
  • Baricentro divide medianas em 2:1.
  • Bissetriz interna divide o lado oposto proporcionalmente aos lados adjacentes.