Retas perpendiculares
No contexto da geometria euclidiana plana, duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam um ângulo reto em seu ponto de interseção. Escrevemos r ⟂ s.
r e s precisam possuir exatamente um ponto comum, que pode ser indicado por O.
A medida de 90° deve ser dada, demonstrada ou indicada pelo pequeno quadrado; a aparência não basta.
Se um mede 90°, o adjacente mede 180°−90°=90° e os OPV possuem as mesmas medidas.
r e s são retas; uma marca quadrada registra a medida angular, não um comprimento.
Existência e unicidade da perpendicular
A perpendicular passa pelo ponto P da própria reta; P é o ponto de interseção.
A perpendicular por P encontra r em um único ponto H, chamado pé da perpendicular.
A unicidade é uma propriedade da geometria euclidiana, não uma conclusão visual. Ela permite que a projeção ortogonal e a distância de um ponto a uma reta sejam bem definidas.
Perpendicularidade e paralelismo
As interseções com t produzem um par de ângulos correspondentes de 90°. Como o par é congruente, aplica-se a recíproca do teorema dos correspondentes e conclui-se r ∥ s. “Distintas” evita r=s; “coplanares” exclui configurações espaciais. No EstudaMath, retas paralelas são distintas.
O ângulo de 90° formado por t e r é correspondente a um ângulo formado por t e s. Como correspondentes em paralelas são congruentes, o segundo também mede 90°.
Projeção ortogonal de um ponto
Dada uma reta r e um ponto P, seja H o encontro de r com a perpendicular por P. H é o pé da perpendicular e a projeção ortogonal de P sobre r.
H é um ponto de r.
PH é o segmento perpendicular que liga P a H.
PH representa o comprimento desse segmento.
A reta que contém P e H prolonga-se nos dois sentidos.
Se P∈r, sua projeção é o próprio P: H=P e d(P,r)=0.
Teorema da menor distância
Para Q≠H, o segmento PQ é oblíquo e PQ>PH. Assim, o comprimento PH do segmento perpendicular fornece a distância de P a r.
A palavra “menor” não basta como justificativa: é preciso identificar H como pé da perpendicular e verificar que Q pertence à mesma reta r.
Distância entre retas paralelas
Considere r e s distintas e paralelas. Se A∈r, B∈s e AB ⟂ r, então esse segmento também é perpendicular a s e:
- Qualquer perpendicular comum às duas paralelas possui o mesmo comprimento.
- A distância entre as paralelas é constante.
- Um segmento oblíquo com um extremo em cada paralela é maior que a distância.
- Se P∈r, então d(P,s)=d(r,s).
- Retas coincidentes teriam distância zero, mas não são chamadas de paralelas nesta convenção.
Mediatriz: definição, teorema e recíproca
Considere o segmento AB, com A≠B. Se M∈AB e AM=MB, então M é o ponto médio. A mediatriz de AB é a reta m perpendicular à reta AB que passa por M.
Parte limitada entre A e B.
Reta ilimitada que contém A e B.
Número positivo que mede o segmento.
Reta perpendicular a AB pelo ponto médio M.
Uma perpendicular que não passa por M não é mediatriz; uma reta por M que não é perpendicular também não é mediatriz.
Teorema direto
PA e PB representam comprimentos, isto é, distâncias de P aos extremos. A demonstração por congruência dos triângulos PMA e PMB será retomada na aula de Congruência, que vem depois; aqui o resultado é usado como teorema.
Recíproca
A ida começa com P na mediatriz; a volta começa com PA=PB. Juntas, formam a equivalência:
Conceitos parecidos
| Objeto | Tipo | Como é definido |
|---|---|---|
| Mediatriz | reta | perpendicular a um segmento pelo ponto médio |
| Bissetriz | geralmente semirreta | parte do vértice e divide um ângulo em dois congruentes |
| Mediana de triângulo | segmento | liga um vértice ao ponto médio do lado oposto |
| Altura de triângulo | segmento perpendicular | liga um vértice à reta que contém o lado oposto |
Mediana e altura aparecem aqui apenas para comparação; serão desenvolvidas na próxima aula.
Mediatriz como lugar geométrico
Um lugar geométrico é um conjunto de pontos caracterizado por uma propriedade. A mediatriz de um segmento é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de seus extremos.
Se P∈m, então PA=PB: teorema direto.
Se PA=PB, com A≠B e coplanaridade, então P∈m: recíproca.
- M pertence à mediatriz e satisfaz MA=MB.
- Se PA=PB, então P pertence à mediatriz.
- A não pertence à mediatriz de AB quando A≠B, pois AA=0 e AB>0.
Construções com régua e compasso
Mediatriz de um segmento
Considere AB com AB>0 e escolha a abertura R do compasso com R>AB/2.
- Com centro A, trace arcos acima e abaixo de AB.
- Sem mudar R, repita com centro B.
- Nomeie as interseções C e D.
- Trace a reta CD.
- Marque M=CD∩AB.
- Conclua que CD é a mediatriz.
CA=CB=R, logo C é equidistante e pertence à mediatriz pela recíproca. Do mesmo modo, DA=DB=R e D pertence à mediatriz. Como C≠D, a reta determinada por C e D é a própria mediatriz.
A abertura precisa permanecer exatamente a mesma nos dois centros.
Perpendicular por um ponto
Escolha A,B∈r com PA=PB. P é o ponto médio de AB; sua mediatriz passa por P e é perpendicular a r.
Uma circunferência de centro P corta r em A e B, então PA=PB. Pela recíproca, P pertence à mediatriz de AB, que é perpendicular a r.
Método para resolver questões
- Identifique o objeto
Reta, segmento, ponto ou comprimento.
- Busque a hipótese
Marca quadrada, medida de 90° ou enunciado formal.
- Localize o pé
Identifique H na projeção perpendicular.
- Separe segmento e medida
PH é segmento; PH é comprimento.
- Classifique o problema
Projeção, menor distância, paralelas ou mediatriz.
- Escolha o sentido
Teorema direto ou recíproca.
- Registre hipóteses
Inclua distinção, coplanaridade e A≠B quando exigidas.
- Monte a equação
Iguale a 90°, use PA=PB ou uma medida dada.
- Resolva
Encontre a incógnita com todas as etapas.
- Responda ao pedido
x pode não ser o comprimento solicitado.
- Verifique
Teste positividade e compatibilidade geométrica.
- Ignore a aparência
Use somente marcas, medidas e teoremas.
Pegadinhas e contraexemplos
- Aparência
Retas que parecem formar 90° não são perpendiculares sem marca, medida ou prova.
- Reta × segmento
Uma reta perpendicular é ilimitada; um segmento perpendicular possui extremos.
- P × H
P é o ponto exterior; H é o pé pertencente à reta.
- Distância oblíqua
Um segmento oblíquo não representa d(P,r).
- Menor sem motivo
A comparação exige que PH seja perpendicular e Q pertença a r.
- Projeção inclinada
Projeção ortogonal exige direção perpendicular.
- Hipóteses omitidas
Perpendicularidade comum exige retas distintas e coplanares para concluir paralelismo.
- Coincidência
Sem distinção, r e s podem representar a mesma reta.
- Ponto médio apenas
Uma reta por M sem ser perpendicular não é mediatriz.
- Perpendicular apenas
Uma perpendicular a AB fora de M não é mediatriz.
- Nomes parecidos
Mediatriz não é bissetriz, mediana nem altura.
- PA=PB
A igualdade compara comprimentos; a recíproca exige A≠B e coplanaridade.
- Direto × recíproca
P∈m⇒PA=PB é a ida; PA=PB⇒P∈m é a volta.
- Compasso
Não altere R e não espere duas interseções quando R≤AB/2.
- Pitágoras precoce
Não aplique um teorema futuro sem triângulo retângulo e pré-requisitos.
Questões resolvidas passo a passo
1. Ângulo reto com expressão
Duas retas são perpendiculares e um dos ângulos mede 5x−20°.
Hipótese: o ângulo é reto porque as retas são perpendiculares.
Definição: sua medida é 90°.
Equação: 5x−20=90 ⇒ 5x=110 ⇒ x=22.
Resposta: x=22.
Verificação: 5·22−20=90°.
2. Os quatro ângulos
r ⟂ s em O. Determine as quatro medidas.
Hipótese: um dos ângulos formados é reto.
Propriedades: o adjacente é suplemento de 90°; os OPV são congruentes.
Cálculo: 180°−90°=90°.
Resposta: 90°, 90°, 90° e 90°.
Verificação: a soma em torno de O é 360°.
3. Paralelismo por perpendicularidade comum
No mesmo plano, r e s são distintas, r ⟂ t e s ⟂ t.
Hipóteses: distinção, coplanaridade e perpendicularidade comum.
Propriedade: t forma correspondentes de 90° com r e s.
Comparação: 90°=90°.
Conclusão: pela recíproca dos correspondentes, r ∥ s.
Verificação: as hipóteses afastam coincidência e situação espacial.
4. Transferência entre paralelas
r ∥ s e t ⟂ r. Mostre que t ⟂ s.
Hipóteses: r e s paralelas e t forma 90° com r.
Teorema direto: correspondentes em paralelas são congruentes.
Cálculo: o correspondente em s mede 90°.
Conclusão: t ⟂ s.
Verificação: a conclusão vem da relação angular, não do desenho.
5. Projeção ortogonal
P∉r e a perpendicular por P encontra r em H.
Hipóteses: H∈r e PH ⟂ r.
Definição: H é a projeção ortogonal e o pé da perpendicular.
Equação: d(P,r)=PH.
Conclusão: o comprimento PH, não o ponto H, é o valor da distância.
Verificação: se P estivesse em r, H=P e a distância seria zero.
6. Menor distância
H é a projeção de P sobre r, PH=8 e Q∈r com Q≠H.
Hipóteses: PH é perpendicular e PQ é oblíquo.
Teorema: para Q≠H, PQ>PH.
Substituição: PQ>8.
Conclusão: não é possível determinar PQ exatamente, apenas compará-lo.
Verificação: igualdade ocorreria somente em Q=H, excluído.
7. Distância entre paralelas
r e s são distintas e paralelas; um segmento perpendicular comum mede 7 cm.
Hipóteses: os extremos pertencem a r e s e o segmento é perpendicular a ambas.
Definição: d(r,s) é o comprimento da perpendicular comum.
Cálculo: d(r,s)=7 cm.
Conclusão: qualquer perpendicular comum mede 7 cm; qualquer ligação oblíqua mede mais de 7 cm.
Verificação: a comparação vale para segmentos com um extremo em cada paralela.
8. Teorema direto da mediatriz
P pertence à mediatriz de AB; PA=4x−3 e PB=2x+9.
Hipótese: P pertence à mediatriz e A≠B.
Teorema direto: PA=PB.
Equação: 4x−3=2x+9 ⇒ 2x=12 ⇒ x=6.
Resposta: PA=PB=21.
Verificação: 4·6−3=21 e 2·6+9=21.
9. Recíproca da mediatriz
A≠B, P, A e B são coplanares e PA=PB.
Hipóteses: extremos distintos, coplanaridade e igualdade dos comprimentos.
Propriedade: recíproca do teorema da mediatriz.
Relação: PA=PB ⇒ P pertence à mediatriz de AB.
Conclusão: P∈m.
Verificação: usamos a volta da equivalência, não o teorema direto.
10. Construção da mediatriz
AB=10 cm e os arcos têm o mesmo raio R=7 cm, com centros A e B.
Condição: AB/2=5 cm e R=7>5, então há duas interseções C e D.
Igualdades: CA=CB=7 e DA=DB=7.
Recíproca: C e D pertencem à mediatriz.
Conclusão: a reta CD é a mediatriz de AB.
Verificação: a mesma abertura foi usada e C≠D.
Exercícios
1. No Diagrama 1, o pequeno quadrado junto a O informa que o ângulo:
2. Qual notação afirma que r é perpendicular a s?
3. Duas retas perpendiculares formam quatro ângulos. Suas medidas são:
4. No Diagrama 4, qual ponto é o pé da perpendicular de P à reta r?
5. Qual descrição define corretamente a mediatriz de AB?
6. Um ângulo formado por retas perpendiculares mede 5x−20°. O valor de x é:
7. No mesmo plano, r e s são distintas, r ⟂ t e s ⟂ t. Logo:
8. H é a projeção de P sobre r, PH=6 e Q∈r com Q≠H. Necessariamente:
9. Duas retas distintas e paralelas são ligadas por uma perpendicular comum de 7,5 cm. A distância entre elas é:
10. P pertence à mediatriz de AB, PA=3x+5 e PB=5x−11. Quais são x e a distância PA?
11. A≠B, P, A e B são coplanares e PA=PB. Pela recíproca da mediatriz:
12. Para AB=12 cm, qual abertura R garante duas interseções distintas dos arcos da construção da mediatriz?
13. No mesmo plano, r ∥ s, t ⟂ r e u é distinta de r e s, com u ⟂ t. Qual conclusão reúne corretamente as relações?
14. H é a projeção de P sobre r, Q∈r, Q≠H, PH=2x+1 e PQ=5x−4. Qual condição sobre x é necessária e suficiente para a desigualdade do teorema?
15. AB=20 cm, arcos de centros A e B usam a mesma abertura R=13 cm e se cruzam em C e D. Outro ponto Q satisfaz QA=QB. Qual afirmação é correta?
Gabarito comentado:
1-B: o quadrado é a marca formal de ângulo reto, portanto a medida é 90°; a escala visual não é usada.
2-C: r ⟂ s é a notação de perpendicularidade; r ∥ s indica paralelismo.
3-D: um ângulo é 90°, os adjacentes são seus suplementos e os OPV são congruentes; todos medem 90° e somam 360°.
4-A: H∈r e PH ⟂ r; logo H é o pé. P é exterior e Q produz o segmento oblíquo.
5-C: as duas condições são indispensáveis: passar pelo ponto médio e ser perpendicular à reta AB.
6-B: 5x−20=90 ⇒ 5x=110 ⇒ x=22; verificando, 5·22−20=90°.
7-A: os correspondentes formados com t medem 90°; pela recíproca dos correspondentes, r ∥ s. Distinção e coplanaridade estão dadas.
8-D: para Q≠H, o teorema da menor distância dá PQ>PH=6. A igualdade só ocorreria em Q=H.
9-C: d(r,s) é o comprimento da perpendicular comum, portanto 7,5 cm.
10-B: pelo teorema direto, 3x+5=5x−11 ⇒ x=8; PA=3·8+5=29 e PB=5·8−11=29.
11-A: PA=PB, com A≠B e coplanaridade, ativa a recíproca: P pertence à mediatriz.
12-C: AB/2=6 cm; duas interseções exigem R>6 cm. Entre as alternativas, apenas 7 cm satisfaz.
13-D: r∥s e t⟂r transferem t⟂s. Como r e u são distintas e ambas perpendiculares a t, u∥r; por transitividade, u∥s.
14-B: Q≠H exige PQ>PH: 5x−4>2x+1 ⇒ 3x>5 ⇒ x>5/3. Essa condição também torna os dois comprimentos positivos.
15-A: R=13>10=AB/2 produz C≠D. CA=CB, DA=DB e QA=QB; pela recíproca, os três pontos pertencem à mediatriz, determinada por C e D.
Resumo final
Retas concorrentes com ângulo reto; notação r ⟂ s. Os quatro ângulos medem 90°.
Por qualquer ponto do plano passa uma única perpendicular a uma reta dada.
H é o pé; PH é perpendicular; d(P,r)=PH. Se P∈r, a distância é zero.
Para Q∈r, PQ≥PH; igualdade somente em Q=H.
Perpendicularidade comum prova paralelismo para retas distintas e coplanares.
Se r∥s e t⟂r, então t⟂s.
É constante e igual ao comprimento de qualquer perpendicular comum.
Reta perpendicular a AB pelo ponto médio.
P∈m⇔PA=PB, com A≠B e hipóteses adequadas.
Conjunto dos pontos equidistantes de A e B.
Mesma abertura e R>AB/2 produzem duas interseções.
Use marcas, medidas e hipóteses; nunca apenas a aparência.