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EstudaMath

Congruência

Critérios, correspondência e demonstrações

Descubra quando os dados determinam exatamente o mesmo triângulo e como transformar marcas geométricas em uma prova rigorosa.

Conceito de congruência

Dois triângulos são congruentes quando possuem a mesma forma e o mesmo tamanho. Formalmente, um pode ser levado exatamente sobre o outro por uma transformação rígida do plano.

Translação, rotação, reflexão e combinações desses movimentos preservam distâncias e ângulos. Por isso, triângulos congruentes podem estar separados, girados ou refletidos; posição e orientação não alteram a congruência.

Congruência não significa “parecer igual”: ela precisa ser garantida por dados, marcas ou um critério válido.
Um triângulo sob movimentos rígidosO mesmo triângulo aparece em posição original, após rotação e após reflexão. Marcas de um, dois e três traços registram lados correspondentes.originalgirado e transladadorefletidomesmos comprimentos e ângulos
Diagrama 1. A orientação pode mudar, mas as três famílias de marcas permanecem correspondentes. Figura esquemática, sem escala.

Notação, igualdade e correspondência

Objetos geométricos

AB≅DE; ∠BAC≅∠EDF; △ABC≅△DEF.

Medidas numéricas

AB=DE e m(∠BAC)=m(∠EDF). Comprimentos e medidas angulares são números.

Em △ABC≅△DEF, a ordem determina A↔D, B↔E e C↔F. Portanto, AB↔DE, BC↔EF, AC↔DF; ∠BAC↔∠EDF, ∠ABC↔∠DEF e ∠ACB↔∠DFE. Na notação de três letras de um ângulo, o vértice sempre ocupa a posição central.

A↔DB↔EC↔FAB↔DEBC↔EFAC↔DF

A ordem não é decorativa. Com essas correspondências, escrever △ABC≅△DFE é incorreto, pois indicaria B↔F. Para reconstruir a ordem: escolha um vértice, encontre o correspondente, prossiga pelos lados e confira todos os pares.

Correspondência completa entre dois triângulosTriângulos ABC e DEF têm um traço em AB e DE, dois em AC e DF, três em BC e EF, além de marcas angulares correspondentes.ABCDEFA↔D, B↔E, C↔F
Diagrama 2. Cada par usa a mesma quantidade de traços ou o mesmo tipo de arco; cor não é a única informação. Figura esquemática, sem escala.

Partes correspondentes

Se △ABC≅△DEF, então AB=DE, BC=EF, AC=DF e m(∠A)=m(∠D), m(∠B)=m(∠E), m(∠C)=m(∠F). Depois que a congruência foi demonstrada por um critério válido, todos os demais elementos correspondentes também são congruentes.

Ordem lógica

1. verificar hipóteses; 2. aplicar um critério; 3. escrever a congruência na ordem correta; 4. concluir outras partes correspondentes.

Consequências

Triângulos congruentes possuem o mesmo perímetro, a mesma área e todas as partes correspondentes congruentes.

Evite raciocínio circular: não use como hipótese justamente a igualdade que pretende provar. Mesmo perímetro ou mesma área, isoladamente, não garante congruência.

Contraexemplo de perímetro: os lados 3,4,5 e o equilátero de lado 4 produzem perímetro 12, mas os triângulos não são congruentes.

Propriedades da relação

Reflexiva

△ABC≅△ABC. Em particular, um lado comum satisfaz AM=AM sem que seu comprimento seja fornecido.

Simétrica

Se △ABC≅△DEF, então △DEF≅△ABC.

Transitiva

Se △ABC≅△DEF e △DEF≅△GHI, então △ABC≅△GHI.

Quadro dos critérios

CritérioDados suficientesPosição decisivaErro frequente
LLLtrês pares de ladoscorrespondência corretaignorar existência
LALdois lados e um ânguloângulo compreendidousar LLA
ALAdois ângulos e um ladolado compreendidotrocar a ordem
LAAo/AALdois ângulos e lado não compreendidolado oposto a um conhecidoconfundir com LLA
HChipotenusa e um catetodois triângulos retângulosomitir ângulos retos
Critérios são condições suficientes para demonstrar congruência; não são apenas siglas para memorizar.

Critério LLL

Se os três lados de um triângulo são respectivamente congruentes aos três lados de outro, então os triângulos são congruentes.

AB=DE, BC=EF e AC=DF ⇒ △ABC≅△DEF.

A correspondência deve ser estabelecida; listar seis números não basta. Os comprimentos ainda precisam formar triângulos. Para 5,6,8, a existência é confirmada por 5+6>8.

Critério lado-lado-ladoDois triângulos possuem três pares de lados correspondentes: um, dois e três traços.ABCDEFAB=DE, BC=EF, AC=DF
Diagrama 3. Três famílias de marcas estabelecem os pares; o desenho não é a prova. Figura esquemática, sem escala.

Exemplo: dois triângulos têm lados correspondentes 5,6,8.

Existência: 5+6>8.

Critério: os três pares coincidem, portanto LLL.

Verificação: a ordem é definida pelos pares de lados.

Critério LAL

Se dois lados são respectivamente congruentes e os ângulos compreendidos entre esses lados também são congruentes, os triângulos são congruentes.

AB=DE, AC=DF e ∠BAC≅∠EDF ⇒ △ABC≅△DEF.

∠BAC está entre AB e AC; ∠EDF está entre DE e DF. Um ângulo não compreendido forma LLA, que não é critério geral.

Critério lado-ângulo-ladoDois pares de lados e os ângulos compreendidos em A e D estão marcados.ABCDEFo arco está entre os dois lados marcados
Diagrama 4. O arco marca o ângulo compreendido em cada triângulo. Figura esquemática, sem escala.

Dados: AB=DE=7, AC=DF=5 e m(∠BAC)=m(∠EDF)=60°.

Conclusão: △ABC≅△DEF por LAL.

Se BC=3x+2 e EF=5x−10, então 3x+2=5x−10, logo x=6.

Verificação: BC=20 e EF=20.

Critério ALA

Se dois ângulos são respectivamente congruentes e os lados compreendidos entre esses ângulos também são congruentes, os triângulos são congruentes.

∠A≅∠D, AB=DE e ∠B≅∠E ⇒ △ABC≅△DEF.
Critério ângulo-lado-ânguloÂngulos A e D têm um arco, B e E têm dois arcos, e os lados compreendidos AB e DE possuem uma marca.ABCDEFAB e DE ficam entre os ângulos informados
Diagrama 5. Um e dois arcos distinguem os pares angulares; o traço está no lado compreendido. Figura esquemática, sem escala.

Dados: m(∠A)=m(∠D)=50°, m(∠B)=m(∠E)=70° e AB=DE=8.

Critério: ALA, pois AB e DE são compreendidos.

Terceiro ângulo: 180°−50°−70°=60°.

Verificação: a correspondência é A↔D, B↔E, C↔F.

Critério LAAo ou AAL

A nomenclatura varia. Usaremos LAAo: lado, ângulo e ângulo oposto; outros materiais escrevem AAL para dois ângulos e um lado não compreendido.

∠A≅∠D, ∠C≅∠F e AB=DE ⇒ △ABC≅△DEF. AB é oposto a C; DE é oposto a F.

Dois ângulos determinam o terceiro pela soma de 180°. Assim, chega-se a uma configuração equivalente a ALA. LAAo não é LLA: aqui há dois ângulos e um lado; em LLA há dois lados e apenas um ângulo não compreendido.

Critério LAAo com lado não compreendidoÂngulos A e D têm um arco, C e F têm dois, enquanto AB e DE, opostos a C e F, recebem uma marca.ABCDEFAB e DE são opostos aos ângulos de dois arcos
Diagrama 6. O lado marcado não está entre os dois ângulos, mas é oposto a um deles. Figura esquemática, sem escala.

Critério hipotenusa–cateto

Dois triângulos retângulos são congruentes quando possuem hipotenusas correspondentes congruentes e um par de catetos correspondentes congruentes.

m(∠C)=m(∠F)=90°, AB=DE (hipotenusas) e AC=DF (catetos) ⇒ △ABC≅△DEF por HC.

O ângulo reto é indispensável. Duas hipotenusas iguais em triângulos quaisquer não autorizam HC. Dois catetos correspondentes em triângulos retângulos já formam LAL, pois o ângulo compreendido mede 90°.

Critério hipotenusa-catetoDois triângulos retângulos têm quadrados nos ângulos C e F, duas marcas nas hipotenusas AB e DE e uma marca nos catetos AC e DF.CABFDEAB=DE=13 e AC=DF=5
Diagrama 7. Quadrados registram os ângulos retos; pares diferentes usam uma e duas marcas. Figura esquemática, sem escala.

Como Pitágoras aparece depois no módulo, HC é usado aqui como critério. Sua demonstração por esse teorema fica para a aula apropriada.

Dados insuficientes

Um lado ou um ângulo

Permite infinitos triângulos.

Dois lados

Falta determinar a abertura entre eles.

Dois ângulos

Determinam a forma, não o tamanho.

AAA

Garante somente semelhança, não congruência.

LLA

Não é critério geral; pode haver ambiguidade.

Perímetro ou área

Igualdade isolada é insuficiente.

AAA não garante congruência

Contraexemplo para AAAUm triângulo equilátero de lado 2 e outro de lado 5 possuem três ângulos de 60 graus, mas tamanhos diferentes.lado 2lado 560°60°60°60°60°60°
Diagrama 8. Ambos são equiláteros e semelhantes, porém não congruentes: AAA fixa a forma e permite fatores de escala diferentes. Figura esquemática, sem escala.

Caso ambíguo LLA

Considere AC=8, BC=5 e m(∠A)=30°. O lado BC é oposto a A, e o ângulo não está compreendido entre os dois lados conhecidos.

  1. Construa AC=8.
  2. Trace em A uma semirreta a 30° de AC.
  3. Trace a circunferência de centro C e raio 5.
  4. Ela encontra a semirreta em B₁ e B₂.
  5. Formam-se dois triângulos com os mesmos dados.
Construção do caso ambíguo LLAAC mede 8, uma semirreta parte de A formando 30 graus e a circunferência de centro C e raio 5 intercepta a semirreta nos pontos B1 e B2.ACB₁B₂30°AC=8raio 5
Diagrama 9. B₁ e B₂ pertencem à mesma semirreta e à circunferência; os dois triângulos satisfazem AC=8, BC=5 e A=30°, mas não são congruentes. Construção esquemática, sem escala.

Conforme os dados, LLA pode produzir nenhum, um ou dois triângulos. HC é uma situação especial: além de informações lado–lado–ângulo, exige dois triângulos retângulos.

LAL versus LLA

LAL

Dois lados e o ângulo entre eles: garante congruência.

LLA

Dois lados e um ângulo não compreendido: não garante em geral.

Comparação visual entre LAL e LLAÀ esquerda o ângulo marcado está entre os dois lados; à direita o ângulo marcado é oposto a um lado e não está compreendido.LAL: compreendidoLLA: não compreendido
Diagrama 10. A posição do arco, registrada formalmente, muda a suficiência dos dados. Figura esquemática, sem escala.

Estrutura de uma demonstração

  1. Identifique

    Nomeie os dois triângulos.

  2. Registre hipóteses

    Copie dados e condições.

  3. Traduza marcas

    Escreva relações formais.

  4. Procure elementos comuns

    Use reflexividade.

  5. Mapeie vértices

    Defina a correspondência.

  6. Verifique posições

    Compreendido ou oposto.

  7. Escolha o critério

    Somente um caso válido.

  8. Escreva a ordem

    Preserve os pares.

  9. Conclua partes

    Depois da congruência.

  10. Justifique

    Indique dado, definição ou teorema.

InformaçãoJustificativa
AB=ACdado
BM=CMM é ponto médio
AM=AMlado comum/reflexividade
△ABM≅△ACMLLL
∠BAM≅∠CAMpartes correspondentes

“Parecem iguais” não é justificativa. Marcas visuais só podem ser usadas quando fazem parte dos dados do problema.

Aplicações demonstradas

Mediana relativa à base do isósceles

Em △ABC, AB=AC e M é ponto médio de BC. Logo BM=CM e AM=AM. Assim △ABM≅△ACM por LLL, com A↔A, B↔C e M↔M.

Partes correspondentes dão ∠BAM≅∠MAC, então AM é bissetriz. Também ∠BMA≅∠AMC; como são adjacentes e suplementares, cada um mede 90°. Logo AM⊥BC. Portanto, a mediana relativa à base também é bissetriz e altura.

Congruência na mediana de um isóscelesAB e AC têm uma marca, BM e CM têm duas, AM é comum, os ângulos em A têm arcos iguais e há marca de perpendicularidade em M.ABCM△ABM≅△ACM por LLL
Diagrama 11. Todas as hipóteses e conclusões usadas na prova possuem marcas distintas. Figura esquemática, sem escala.

Teorema da mediatriz: direto e recíproca

Direto, para P distinto de M: M é ponto médio de AB e PM⊥AB. Então AM=MB, PM=PM e ∠PMA=∠PMB=90°. Logo △PMA≅△PMB por LAL e PA=PB.

Recíproca, para P distinto de M: PA=PB, M é ponto médio e PM é comum. Logo △PMA≅△PMB por LLL. Os ângulos em M são congruentes, adjacentes e suplementares; portanto valem 90°. Assim PM⊥AB e P pertence à mediatriz.

Se P=M, a equidistância PA=PB e o pertencimento à mediatriz são imediatos pela definição de ponto médio.

Demonstração do teorema da mediatrizA, M e B são colineares, AM e MB possuem marcas iguais, PM é perpendicular a AB e PA e PB formam os dois triângulos.PAMBAM=MB, PM comum e ângulos retos
Diagrama 12. A colinearidade, o ponto médio e a perpendicularidade são registrados formalmente. Figura esquemática, sem escala.

Pegadinhas e contraexemplos

  • AAA

    Garante forma, não tamanho.

  • Semelhança

    Não é sinônimo de congruência.

  • LAL

    Exige ângulo compreendido.

  • LAAo × LLA

    Dois ângulos contra apenas um.

  • HC

    Exige dois triângulos retângulos.

  • Hipotenusa

    É o lado oposto ao ângulo reto.

  • Dois catetos

    Registre o ângulo compreendido de 90°.

  • Lado comum

    Use AM=AM por reflexividade.

  • Circularidade

    Não suponha o que quer provar.

  • Ordem

    Correspondências incompatíveis invalidam a escrita.

  • Lados trocados

    Confira pares antes do critério.

  • Aparência

    O formato desenhado não demonstra nada.

  • Reflexão

    Orientação oposta não impede congruência.

  • Perímetro

    Mesmo total não basta.

  • Área

    Mesmo valor não basta.

  • Partes correspondentes

    Somente depois de provar congruência.

  • LLL

    Verifique se os lados formam triângulos.

  • LLA

    Não é critério geral, mas pode ter solução única em casos particulares.

  • Resposta

    Depois de achar x, calcule o elemento pedido.

Questões resolvidas

1. Correspondência de vértices

△ABC≅△PQR.

Hipótese: a ordem já está correta.

Correspondência: A↔P, B↔Q, C↔R.

Conclusão: AC↔PR e ∠B↔∠Q.

Verificação: cada posição foi preservada.

2. Partes correspondentes

△ABC≅△DEF, AB=7, BC=9 e AC=11.

Correspondência: AB↔DE, BC↔EF, AC↔DF.

Conclusão: DE=7, EF=9, DF=11.

Perímetro: ambos valem 27.

Verificação: a soma 7+9+11 retorna 27.

3. LLL

Os lados correspondentes são 5,6,8.

Existência: 5+6>8.

Critério: três pares de lados, LLL.

Conclusão: os triângulos são congruentes.

Verificação: cada par foi previamente associado.

4. LAL e cálculo

AB=DE, AC=DF, ∠A≅∠D; BC=3x+2 e EF=5x−10.

Critério: LAL, com ângulo compreendido.

Correspondência: BC↔EF.

Cálculo: 3x+2=5x−10 ⇒ x=6.

Verificação: BC=EF=20.

5. ALA

m(∠A)=m(∠D)=50°, m(∠B)=m(∠E)=70° e AB=DE=8.

Posição: AB e DE são compreendidos.

Critério: ALA; △ABC≅△DEF.

Conclusão: m(∠C)=m(∠F)=60°.

Verificação: 50+70+60=180.

6. LAAo

m(∠A)=m(∠D)=45°, m(∠C)=m(∠F)=65° e AB=DE.

Posição: AB e DE são opostos a C e F.

Terceiro ângulo: m(∠B)=m(∠E)=70°.

Critério: LAAo, equivalente a ALA.

Verificação: A↔D, B↔E, C↔F.

7. Hipotenusa–cateto

m(∠C)=m(∠F)=90°, AB=DE=13 e AC=DF=5.

Hipóteses: dois retângulos, hipotenusas e catetos correspondentes.

Critério: HC.

Conclusão: △ABC≅△DEF.

Verificação: C↔F preserva os ângulos retos.

8. Lado comum

AB=AC e M é ponto médio de BC.

Dados: AB=AC e BM=CM.

Reflexividade: AM=AM.

Critério: △ABM≅△ACM por LLL.

Verificação: três pares foram usados sem circularidade.

9. Ordem e ângulo

△ABC≅△QPR, m(∠B)=3x+5° e m(∠P)=5x−25°.

Correspondência: B↔P.

Cálculo: 3x+5=5x−25 ⇒ x=15.

Resposta: os dois ângulos medem 50°.

Verificação: 45+5=75−25=50.

10. Isósceles

AB=AC, M é ponto médio de BC.

Critério: △ABM≅△ACM por LLL.

Partes: ∠BAM=∠MAC e ∠BMA=∠AMC.

Conclusão: AM é bissetriz e altura.

Verificação: os ângulos em M são iguais e suplementares, logo 90°.

11. Mediatriz

M é ponto médio de AB e PM⊥AB.

Dados: AM=MB e ângulos retos em M.

Comum: PM=PM.

Critério: △PMA≅△PMB por LAL.

Conclusão: PA=PB por partes correspondentes.

Verificação: a igualdade só foi usada depois da congruência, sem raciocínio circular.

12. AAA e LLA

Compare três ângulos iguais com os dados AC=8, BC=5 e A=30°.

AAA: determina forma, não tamanho.

LLA: a circunferência pode cortar a semirreta duas vezes.

Conclusão: nenhum conjunto garante congruência geral.

Verificação: os contraexemplos estão nos Diagramas 8 e 9.

Exercícios

Fácil

1. Se △ABC≅△DEF, qual lado corresponde a AC?

A) DEB) DFC) EFD) ED
Fácil

2. Em △ABC≅△DEF, ∠ABC corresponde a:

A) ∠EDFB) ∠DFEC) ∠FEDD) ∠DEF
Fácil

3. Três pares de lados correspondentes congruentes caracterizam:

A) LLLB) LALC) ALAD) AAA
Fácil

4. Qual conjunto representa corretamente LAL?

A) dois lados e qualquer ânguloB) três ângulosC) dois lados e o ângulo compreendidoD) dois ângulos sem lado
Fácil

5. Dois ângulos e o lado compreendido formam:

A) HCB) ALAC) LLLD) LLA
Fácil

6. Por que AAA não garante congruência?

A) porque ângulos não podem ser medidosB) porque sempre produz dois triângulosC) porque exige ângulo retoD) porque fixa a forma, mas permite tamanhos diferentes
Médio

7. A↔P, B↔R e C↔Q. A escrita correta é:

A) △ABC≅△PQRB) △ABC≅△QRPC) △ABC≅△PRQD) △ABC≅△RPQ
Médio

8. Após provar congruência, lados correspondentes medem 4x−3 e 2x+9. Quanto vale x?

A) 6B) 5C) 4D) 3
Médio

9. A↔D, m(∠A)=2x+10° e m(∠D)=5x−20°. Qual é a medida comum?

A) 20°B) 25°C) 35°D) 30°
Médio

10. Em LAAo, são conhecidos:

A) três ladosB) dois ângulos e um lado não compreendidoC) dois lados e um ângulo não compreendidoD) uma hipotenusa apenas
Médio

11. Qual conjunto permite aplicar HC?

A) triângulos quaisquer com um lado igualB) triângulos com três ângulos iguaisC) dois retângulos com hipotenusa e um cateto correspondentes iguaisD) dois retângulos apenas
Médio

12. Nos triângulos ABM e ACM, qual igualdade vem da reflexividade?

A) AM=AMB) AB=BMC) AC=CMD) ∠B=∠C
Médio

13. A diferença decisiva entre LAL e LLA é:

A) a quantidade de triângulosB) a presença de um lado comumC) o tamanho dos ladosD) a posição do ângulo em relação aos dois lados
Médio

14. Um triângulo foi refletido, preservando comprimentos e ângulos. Em relação ao original, ele é:

A) necessariamente semelhante, mas não congruenteB) congruente, embora tenha orientação opostaC) impossível de compararD) congruente somente se também transladado
Difícil

15. Em ABC isósceles, AB=AC e M é ponto médio de BC. Depois de △ABM≅△ACM por LLL, conclui-se corretamente:

A) AM é apenas medianaB) BC é bissetriz de AC) AM também é bissetriz e alturaD) AB⊥AC
Difícil

16. M é ponto médio de AB e PM⊥AB. Qual conclusão decorre de △PMA≅△PMB por LAL?

A) PA=PBB) PM=ABC) P é ponto médio de ABD) AM=PM
Difícil

17. Para AC=8, BC=5 e A=30°, a construção do Diagrama 9 mostra que LLA pode produzir:

A) sempre nenhum triânguloB) sempre um único triânguloC) triângulos obrigatoriamente congruentesD) dois triângulos não congruentes
Difícil

18. Se △ABC≅△DEF e △DEF≅△GHI, qual lado corresponde a AC pela transitividade?

A) GHB) GIC) HID) DG

Gabarito comentado:

1-B: A↔D e C↔F, então AC↔DF.

2-D: B é o vértice central e corresponde a E; ∠ABC↔∠DEF.

3-A: três pares de lados correspondentes formam LLL.

4-C: LAL exige que o ângulo esteja entre os dois lados informados.

5-B: em ALA, o lado informado fica entre os dois ângulos.

6-D: equiláteros de lados 2 e 5 têm os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes.

7-C: as posições fornecem diretamente P,R,Q, logo △ABC≅△PRQ.

8-A: 4x−3=2x+9 ⇒ 2x=12 ⇒ x=6; ambos os lados medem 21.

9-D: 2x+10=5x−20 ⇒ x=10; a medida comum é 30°.

10-B: LAAo/AAL usa dois ângulos e um lado não compreendido; LLA usa dois lados.

11-C: HC requer dois triângulos retângulos, hipotenusas correspondentes e um par de catetos.

12-A: AM é o mesmo segmento nos dois triângulos, portanto AM=AM.

13-D: LAL usa o ângulo compreendido; em LLA ele não está entre os lados.

14-B: reflexão é transformação rígida e preserva forma e tamanho.

15-C: partes correspondentes dão a bissetriz; ângulos iguais e suplementares em M valem 90°, dando a altura.

16-A: PA e PB são partes correspondentes depois do LAL; não se usa essa igualdade antes da prova.

17-D: a circunferência encontra a semirreta em B₁ e B₂, produzindo dois triângulos distintos.

18-B: A↔D↔G e C↔F↔I, portanto AC↔GI.

Resumo final

Conceito

Mesma forma e tamanho por movimentos rígidos.

Notação

Objetos são congruentes; suas medidas são iguais.

Ordem

△ABC≅△DEF fixa A↔D, B↔E, C↔F.

Partes

Conclusões correspondentes vêm depois do critério.

LLL

Três pares de lados.

LAL

Dois lados e ângulo compreendido.

ALA

Dois ângulos e lado compreendido.

LAAo/AAL

Dois ângulos e lado não compreendido.

HC

Dois retângulos, hipotenusa e um cateto.

Lado comum

É congruente a si mesmo.

AAA

Semelhança, não congruência.

LLA

Caso ambíguo; não é critério geral.

Prova

Hipóteses, correspondência, critério e conclusão.

Aplicações

Isósceles e mediatriz demonstrados sem circularidade.