EstudaMath

Teorema de Tales

Paralelas e proporcionalidade

Use paralelas para justificar proporções, cuidando da correspondência entre segmentos.

Feixe de paralelas

Três ou mais retas paralelas cortadas por duas transversais determinam segmentos correspondentes proporcionais. A ordem nas transversais deve ser a mesma.

Configuração triangular

Em △ABC, com D∈AB, E∈AC e DE∥BC:

AD/AB=AE/AC=DE/BC
AD/DB=AE/EC
AB/DB=AC/EC

As primeiras são parte/todo; as demais mantêm parte/parte ou todo/parte.

Configuração triangular de TalesEm ABC, D pertence a AB, E pertence a AC e DE é paralelo a BC.ABCDEDE ∥ BC
D∈AB, E∈AC e DE∥BC: partes e totais devem manter a correspondência. Figura ilustrativa, sem escala.
Feixe de paralelas e duas transversaisTrês paralelas cortam duas transversais e produzem segmentos correspondentes.ABCDEFAB/BC = DE/EF
Segmentos entre as mesmas paralelas são correspondentes nas duas transversais. Figura ilustrativa, sem escala.

Recíproca

Se D e E pertencem aos lados ou prolongamentos correspondentes, as medidas são positivas, a ordem é preservada e AD/DB=AE/EC, então DE∥BC.

Divisão e quarta proporcional

Para a/b=c/x, x=bc/a, com a≠0. Construções com paralelas dividem segmentos em partes iguais ou em uma razão prescrita.

Escalas, sombras e prolongamentos

Mapas e maquetes usam razão entre medida representada e real. Sombras exigem raios solares aproximadamente paralelos e referências compatíveis. Em prolongamentos, use segmentos positivos e respeite a ordem geométrica.

Pegadinhas

  • Misturar parte/parte com parte/todo.
  • Aplicar Tales sem paralelas ou sem hipótese recíproca.
  • Ignorar a ordem dos pontos em prolongamentos.
  • Associar numeradores de posições diferentes.
  • Contar a escala em unidades incompatíveis.

Questões resolvidas

1. Partes e totais

DE∥BC, AD=6, DB=4 e AE=9.

AD/DB=AE/EC.

6/4=9/EC, então EC=6; AC=15.

2. Recíproca

AD=8, DB=12, AE=10, EC=15.

AD/DB=2/3 e AE/EC=2/3.

Com pontos nos lados correspondentes, DE∥BC.

3. Escala

Mapa 1:50.000; distância 3,6 cm.

Real=3,6·50.000=180.000 cm.

180.000 cm=1,8 km.

Exercícios

Fácil

1. Na forma direta de Tales, a hipótese central é:

A) perpendicularidadeB) paralelismoC) congruênciaD) círculo
Médio

2. DE∥BC, AD=4, DB=6, AE=8. EC=

A) 10B) 12C) 14D) 16
Médio

3. No diagrama, AD=5, AB=8 e AC=24. AE=

A) 10B) 12C) 15D) 19
Difícil

4. D∈AB e E∈AC; AD/DB=AE/EC com medidas positivas. Pode-se concluir:

A) AD=AEB) DE∥BCC) AB=ACD) DE⊥BC
Difícil

5. DE∥BC, AD=x+1, DB=3, AE=2x−1 e EC=5. Para D e E ficarem nos segmentos, x e AC são:

A) x=2, AC=8B) x=4, AC=12C) x=5, AC=14D) x=8, AC=20

Gabarito comentado:

1-B: Paralelas produzem proporcionalidade.

2-B: 4/6=8/EC, então EC=12.

3-C: AD/AB=AE/AC; 5/8=AE/24.

4-B: É a recíproca com pontos nos lados correspondentes.

5-D: 5(x+1)=3(2x−1) dá x=8; AE=15 e AC=20, com todas as partes positivas.

Resumo final

  • Tales requer paralelas e duas transversais.
  • Correspondência entre partes e totais deve ser consistente.
  • A recíproca exige ordem e medidas positivas.
  • Escalas exigem unidades compatíveis.
  • Prolongamentos precisam ser interpretados geometricamente.