EstudaMath

Semelhança

Forma, escala e razões de áreas

Relacione figuras de mesma forma e converta escalas lineares em razões de áreas.

Definição e razão orientada

Figuras semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Defina:

k=lado da figura 2/lado correspondente da figura 1

Inverter as figuras substitui k por 1/k. Congruência é o caso k=1.

Triângulos semelhantes por homotetia O triângulo DEF é obtido multiplicando por 1,25 os dois vetores que partem de A no triângulo ABC. Portanto, todos os lados correspondentes têm a mesma razão. ABC DEF abc 1,25a1,25b1,25c k = 1,25
Figura esquemática, sem escala: DE=1,25·AB, EF=1,25·BC e DF=1,25·AC por construção.

Critérios de triângulos

  • AA: dois ângulos correspondentes congruentes;
  • LAL proporcional: dois pares de lados proporcionais e ângulo compreendido congruente;
  • LLL proporcional: três pares correspondentes na mesma razão.

Comprimentos, perímetros e áreas

P₂/P₁=k
h₂/h₁=m₂/m₁=b₂/b₁=k
A₂/A₁=k²

Alturas, medianas e bissetrizes correspondentes são comprimentos e variam com k.

Problemas inversos

De áreas, obtenha k pela raiz quadrada positiva. De perímetros, k é a própria razão. Só depois determine o lado ou a área procurada.

Sombras, mapas e maquetes

Em sombras, os raios solares devem ser aproximadamente paralelos, objetos verticais, solo compatível e medições no mesmo instante. Mapas e maquetes exigem conversão de unidades.

Pegadinhas

  • Usar k sem declarar a direção.
  • Misturar lados não correspondentes.
  • Aplicar k às áreas em vez de k².
  • Usar LAL sem ângulo compreendido.
  • Comparar sombras medidas em instantes diferentes.

Questões resolvidas

1. Área inversa

Áreas 32 e 98, figura 2 maior.

k²=98/32=49/16.

k=7/4.

2. Perímetros

P₁=30, P₂=45 e um lado da figura 1 mede 8.

k=45/30=3/2.

Correspondente da figura 2=12.

3. Sombra

Haste 1,8 m projeta 1,2 m; árvore projeta 8 m no mesmo instante.

h/8=1,8/1,2=3/2.

h=12 m.

Exercícios

Fácil

1. Se k=1, figuras semelhantes são:

A) sempre congruentesB) sempre retângulosC) de áreas diferentesD) não comparáveis
Médio

2. k=3 da figura 1 para a 2. A razão A₂/A₁ é:

A) 3B) 6C) 9D) 27
Médio

3. No diagrama, △DEF é a figura 2 e △ABC a figura 1. Se DE=15 e AB=6, k=

A) 2B) 5/2C) 3D) 5
Difícil

4. Áreas de semelhantes são 45 e 80. A razão maior/menor dos lados é:

A) 4/3B) 16/9C) 5/4D) 35/16
Difícil

5. Mapa 1:25.000 mostra 7,2 cm. A distância real é:

A) 180 mB) 1,8 kmC) 18 kmD) 180 km

Gabarito comentado:

1-A: Mesma forma e mesma escala.

2-C: Áreas variam com k².

3-B: k=DE/AB=15/6=5/2.

4-A: k=√(80/45)=√(16/9)=4/3.

5-B: 7,2·25.000=180.000 cm=1,8 km.

Resumo final

  • Defina a direção de k antes de calcular.
  • AA, LAL proporcional e LLL proporcional são critérios.
  • Comprimentos e perímetros variam com k; áreas, com k².
  • Congruência é semelhança com k=1.
  • Aplicações exigem hipóteses físicas e unidades compatíveis.