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EstudaMath

Teorema de Tales

Paralelas, proporções e construções

Organize segmentos pela posição geométrica, monte razões consistentes e use o paralelismo como hipótese — nunca como aparência.

Paralelas, transversais e segmentos correspondentes

Retas paralelas

Retas distintas e coplanares sem ponto comum; notação r∥s.

Transversal

Reta que intercepta duas ou mais retas em pontos distintos.

Feixe de paralelas

Conjunto de três ou mais retas paralelas distintas.

Segmentos determinados

Partes das transversais entre paralelas consecutivas ou escolhidas.

Segmentos correspondentes têm extremos sobre os mesmos pares de paralelas. A correspondência é determinada pelas paralelas, não pela inclinação ou pelo comprimento aparente. Em uma razão, AB representa o comprimento do segmento AB.

A−B−CD−E−FAB↔DEBC↔EFAC↔DF

Teorema de Tales no feixe de paralelas

Se três ou mais retas paralelas distintas são cortadas por duas transversais distintas, cada uma interceptando todas as paralelas, então os segmentos correspondentes determinados sobre as transversais são proporcionais.

r∥s∥u; as transversais t e v encontram r,s,u, respectivamente, em A,B,C e D,E,F, nessas ordens.
AB/BC=DE/EFAB/AC=DE/DFBC/AC=EF/DFAB/DE=BC/EF=AC/DF

Dentro de cada transversal: AB/BC=DE/EF. Entre correspondentes: AB/DE=BC/EF. Não misture as duas estruturas na mesma igualdade.

Feixe de três paralelas e duas transversaisAs paralelas r, s e u têm marcas formais iguais. As transversais t e v determinam A-B-C e D-E-F, mostrando AB correspondente a DE, BC a EF e AC a DF.rsutvABCDEFAB↔DE, BC↔EF, AC↔DF
Diagrama 1. Os chevrons registram r∥s∥u; os pares dependem das mesmas faixas entre paralelas. Figura esquemática, sem escala.

Exemplo 1: AB=4, BC=6 e DE=10.

4/6=10/EF ⇒ 4·EF=60 ⇒ EF=15.

Verificação: 4/6=10/15=2/3.

Exemplo 2: AB=3, BC=5, DE=6; logo AC=8.

AB/AC=DE/DF ⇒ 3/8=6/DF ⇒ DF=16.

EF=16−6=10.

Verificação: BC/AC=5/8=10/16.

Configuração triangular interna

Considere △ABC. D pertence ao interior do segmento AB, E pertence ao interior do segmento AC, e a reta que contém DE é paralela à reta que contém BC.

D∈int(AB), E∈int(AC), A−D−B, A−E−C e DE∥BC.
Configuração triangular interna de TalesNo triângulo ABC, D está entre A e B, E entre A e C, e DE é formalmente paralelo a BC.ADBECA−D−B; A−E−C; DE∥BC
Diagrama 2. As ordens dos pontos e os chevrons de paralelismo são hipóteses formais. Figura esquemática, sem escala.

Proporções na configuração triangular

Parte/todo superior

AD/AB=AE/AC=DE/BC.

Parte/todo inferior

DB/AB=EC/AC.

Parte/parte

AD/DB=AE/EC.

Entre lados

AD/AE=DB/EC=AB/AC.

Todo/parte inferior

AB/DB=AC/EC.

Todo/parte superior

AB/AD=AC/AE.

Reconstrua, não memorize: identifique correspondentes, escolha o tipo de razão e repita o mesmo padrão. Não inverta apenas uma razão.

TipoPrimeiro ladoSegundo lado
parte/todo superiorAD/ABAE/AC
parte/parteAD/DBAE/EC
parte/todo inferiorDB/ABEC/AC
todo/parte superiorAB/ADAC/AE

Exemplo 1: AD=6, DB=4, AE=9.

6/4=9/EC ⇒ EC=6; AC=9+6=15.

Verificação: 6/4=9/6=3/2 e 6/10=9/15=3/5.

Exemplo 2: AD=5, AB=8, AC=24.

5/8=AE/24 ⇒ AE=15.

Verificação: 5/8=15/24.

Exemplo 3: AD=x+1, DB=3, AE=2x−1, EC=5.

(x+1)/3=(2x−1)/5 ⇒ 5x+5=6x−3 ⇒ x=8.

AD=9, AE=15 e AC=20.

Verificação: 9/3=15/5=3; todos os comprimentos são positivos.

Teorema direto e progressão

Hipótese

DE∥BC, com D e E nas posições correspondentes.

Conclusão

AD/DB=AE/EC e as demais proporções correspondentes.

Nesta ordem do curso, Áreas e Semelhança ainda não fundamentam a aula. Tales é apresentado como teorema fundamental. Uma demonstração formal por áreas será retomada depois das propriedades necessárias; usar Semelhança agora seria circular, pois ela é a próxima aula e se apoia nesta proporcionalidade.

A correspondência geométrica explica como montar as razões, mas o formato do desenho não constitui prova.

Sombras: apenas preparação

Raios solares aproximadamente paralelos geram ângulos correspondentes. A proporcionalidade entre alturas e sombras será formalizada por triângulos semelhantes na próxima aula; problemas completos de sombras ficam em Semelhança.

Recíproca no caso interno

Teorema direto

Dado DE∥BC, conclui-se AD/DB=AE/EC.

Recíproca

Dados D e E interiores, comprimentos positivos e AD/DB=AE/EC, conclui-se DE∥BC.

Justificativa: por D, trace a única paralela a BC, que encontra AC em E′. Pelo teorema direto, AD/DB=AE′/E′C. Pela hipótese, AD/DB=AE/EC. A divisão interna de AC numa razão positiva é única, então E=E′ e DE∥BC.

Justificativa da recíproca internaPor D é traçada a paralela a BC, que encontra AC em E linha. A unicidade da divisão interna identifica E linha com E.ADBE=E′Cmesma razão interna ⇒ mesmo ponto
Diagrama 3. O círculo duplo registra a coincidência E=E′ obtida por unicidade, não por aparência. Figura esquemática, sem escala.

Prolongamentos correspondentes

Caso externo além de B e C

Considere A−B−D e A−C−E. D e E estão nas semirretas AB e AC além de B e C. Com comprimentos positivos, se AD/AB=AE/AC, então DE∥BC.

Pontos externos em prolongamentos correspondentesA-B-D e A-C-E aparecem em duas semirretas. BC e DE possuem marcas formais de paralelismo.ABDCEA−B−D; A−C−E; DE∥BC
Diagrama 4. Os dois pontos são externos em posições correspondentes; as duas paralelas têm chevrons. Figura esquemática, sem escala.

Com comprimentos não orientados, não use automaticamente a mesma fórmula para qualquer combinação de pontos internos e externos. Uma formulação única exigiria segmentos orientados, assunto fora do nível desta aula.

Contraexemplo: posições não correspondentes

Se D é interno em AB, mas E está além de C, a igualdade numérica AD/AB=CE/AC=1/2 não é uma hipótese da recíproca: os segmentos ocupam posições diferentes e DE não precisa ser paralelo a BC.

Contraexemplo com um ponto interno e outro externoD está entre A e B, enquanto E está além de C. Apesar de AD sobre AB e CE sobre AC poderem valer um meio, DE não é paralelo a BC.ADBCEAD/AB=CE/AC não implica DE∥BC×
Diagrama 5. A igualdade positiva usa partes de posições diferentes; ela não substitui as hipóteses geométricas. Figura esquemática, sem escala.

Quarta proporcional

Para comprimentos positivos a,b,c, a quarta proporcional x satisfaz a/b=c/x. Assim a·x=b·c e x=bc/a, com a,b,c,x>0.

Exemplo: 3/5=6/x.

3x=30 ⇒ x=10.

Verificação: 3/5=6/10. As posições nas duas razões continuam correspondentes.

Construção geométrica

  1. De O, trace duas semirretas.
  2. Na primeira, marque OA=a e OB=b.
  3. Na segunda, marque OC=c.
  4. Ligue A a C.
  5. Por B, trace a paralela a AC, encontrando a segunda semirreta em D.
  6. Por Tales, OA/OB=OC/OD; logo OD=x.
Construção da quarta proporcionalDuas semirretas partem de O. A e B estão na primeira, C e D na segunda; AC é paralela a BD.OABCDAC∥BD ⇒ OA/OB=OC/OD
Diagrama 6. Os chevrons registram AC∥BD; os pontos seguem a mesma ordem a partir de O. Figura esquemática, sem escala.

Divisão de segmentos

Divisão em cinco partes iguais

De A, trace uma semirreta auxiliar e marque A₁,…,A₅ em cinco passos iguais. Ligue A₅ a B e trace paralelas por A₁,…,A₄. Tales transfere a igualdade para AB.

Divisão de AB em cinco partes iguaisCinco segmentos iguais são marcados numa semirreta auxiliar. Quatro paralelas a A5B cortam AB em cinco partes iguais.ABA₁A₂A₃A₄A₅cinco passos iguais ⇒ cinco partes iguais em AB
Diagrama 7. Marcas transversais iguais registram as divisões; chevrons iguais identificam as cinco paralelas. Figura esquemática, sem escala.

Divisão na razão 2:3

Marque cinco passos iguais na auxiliar, ligue A₅ a B e, por A₂, trace uma paralela. Se P é a interseção com AB, então AP/PB=2/3.

Divisão de AB na razão dois para trêsCinco passos iguais aparecem na semirreta auxiliar. A paralela pelo segundo ponto encontra AB em P, produzindo AP para PB igual a dois para três.ABPA₂A₅AP:PB=2:3
Diagrama 8. Cinco marcas iguais formam 2+3; a paralela por A₂ transfere a razão para AB. Figura esquemática, sem escala.

Escala e unidades

E=medida representada/medida real, sempre com as duas medidas na mesma unidade.

Na escala 1:n, uma unidade no desenho representa n unidades reais. Real=desenho×n; desenho=real÷n.

Mapa 1:50.000; desenho 3,6 cm.

Real=3,6·50.000=180.000 cm=1.800 m=1,8 km.

Verificação: 3,6/180.000=1/50.000.

Caminho inverso: real 4 km na escala 1:100.000.

4 km=400.000 cm; desenho=400.000/100.000=4 cm.

Verificação: 4/400.000=1/100.000.

Nunca divida centímetros por quilômetros diretamente. Converta primeiro para a mesma unidade.

Método para montar proporções

  1. Identifique paralelas

    Exija dado ou marca formal.

  2. Identifique transversais

    Separe as linhas cortadas.

  3. Marque a ordem

    Internos e externos não são intercambiáveis.

  4. Associe segmentos

    Use os mesmos pares de paralelas.

  5. Escolha o tipo

    Parte/parte, parte/todo ou todo/parte.

  6. Escreva a primeira razão

    Declare o padrão.

  7. Repita o padrão

    Na segunda transversal.

  8. Confira inversões

    Não inverta somente uma.

  9. Resolva

    Faça a álgebra com cuidado.

  10. Responda ao pedido

    x pode ser apenas uma etapa.

  11. Teste positividade

    Comprimentos elementares são positivos.

  12. Substitua

    Verifique a proporção original.

  13. Ignore aparência

    Use hipóteses, não inclinação visual.

Pegadinhas e contraexemplos

  • Sem paralelismo

    Tales direto não se aplica.

  • Recíproca incompleta

    Proporção isolada não basta.

  • Não correspondentes

    Faixas diferentes não formam pares.

  • Uma inversão

    Invalida a igualdade.

  • Tipos misturados

    Parte/parte não combina com parte/todo.

  • Objeto × medida

    AB em razão é comprimento; AB é segmento.

  • D∈AB

    Especifique segmento, reta ou semirreta.

  • Denominador

    Não pode ser zero.

  • Positividade

    Comprimentos devem ser positivos.

  • Interno × externo

    Não misture posições.

  • Ordem

    A−D−B é diferente de A−B−D.

  • Prolongamento

    Exige diagrama e ordem explícita.

  • Aparência

    Linhas que parecem paralelas podem não ser.

  • Inclinação

    Não determina correspondência.

  • Distributiva

    Expanda os dois membros corretamente.

  • x

    Calcule o segmento pedido.

  • Parte ou total

    Some apenas quando necessário.

  • Escala

    Converta unidades e não inverta E.

  • Sombras

    Exigem justificativa por semelhança.

Contraexemplo sem paralelismo formalTrês linhas com inclinações ligeiramente diferentes são cortadas por transversais. Sem marcas ou hipótese de paralelismo, Tales não pode ser aplicado.sem hipótese ou marcas de ∥: não aplique Tales
Diagrama 9. Parecer paralelo não é ser paralelo; este é o segundo contraexemplo visual da aula. Figura esquemática, sem escala.

Questões resolvidas

1. Correspondência

r∥s∥u; A−B−C e D−E−F.

Hipóteses: duas transversais e três paralelas.

Pares: AB↔DE, BC↔EF, AC↔DF.

Conclusão: AB/BC=DE/EF.

Verificação: cada par ocupa a mesma faixa.

2. Feixe parte/parte

AB=4, BC=6, DE=10.

Ordem: A−B−C e D−E−F.

Proporção: 4/6=10/EF.

Cálculo: EF=15.

Verificação: 4/6=10/15.

3. Feixe com total

AB=3, BC=5, DE=6.

Total: AC=8.

Proporção: 3/8=6/DF.

Cálculo: DF=16 e EF=10.

Verificação: 5/8=10/16.

4. Triângulo parte/parte

DE∥BC, AD=6, DB=4, AE=9.

Ordem: A−D−B; A−E−C.

Proporção: 6/4=9/EC.

Cálculo: EC=6; AC=15.

Verificação: 6/4=9/6.

5. Triângulo parte/todo

DE∥BC, AD=5, AB=8, AC=24.

Proporção: AD/AB=AE/AC.

Cálculo: 5/8=AE/24 ⇒ AE=15.

Conclusão: EC=9.

Verificação: 15+9=24 e 5/8=15/24.

6. Expressão algébrica

AD=x+1, DB=3, AE=2x−1, EC=5.

Proporção: (x+1)/3=(2x−1)/5.

Cálculo: 5x+5=6x−3 ⇒ x=8.

Conclusão: AD=9, AE=15, AC=20.

Verificação: 9/3=15/5=3 e medidas positivas.

7. Recíproca interna

A−D−B, A−E−C; AD=8, DB=12, AE=10, EC=15.

Razões: 8/12=10/15=2/3.

Hipóteses: pontos interiores e comprimentos positivos.

Conclusão: DE∥BC pela recíproca.

Verificação: a ordem é correspondente.

8. Prolongamentos

A−B−D, A−C−E; AB=8, AD=12, AC=10, AE=15.

Razões: AD/AB=12/8=3/2 e AE/AC=15/10=3/2.

Posições: ambos externos correspondentes.

Conclusão: DE∥BC.

Verificação: nenhuma posição interna foi misturada.

9. Quarta proporcional

3/5=6/x.

Correspondência: 3↔6 e 5↔x.

Cálculo: 3x=30 ⇒ x=10.

Conclusão: a quarta proporcional é 10.

Verificação: 3/5=6/10.

10. Divisão 2:3

AB deve ser dividido por P na razão 2:3.

Construção: cinco passos iguais; paralela pelo segundo.

Proporção: AP/PB=2/3.

Se AB=25: AP=10 e PB=15.

Verificação: 10+15=25 e 10/15=2/3.

11. Escala

Mapa 1:50.000; distância 3,6 cm.

Unidades: trabalhe primeiro em centímetros.

Cálculo: 3,6·50.000=180.000 cm.

Conclusão: 1.800 m=1,8 km.

Verificação: 3,6/180.000=1/50.000.

12. Problema combinado

DE∥BC, AD/AB=3/5, AB=20 e AC=30.

Parte: AD=(3/5)·20=12.

Proporção: AD/AB=AE/AC.

Cálculo: 3/5=AE/30 ⇒ AE=18.

Verificação: DB=8, EC=12 e 12/8=18/12=3/2.

Exercícios

Fácil

1. Na forma direta de Tales, a hipótese principal é:

A) perpendicularidadeB) paralelismoC) congruênciaD) circunferência
Fácil

2. No Diagrama 1, qual segmento corresponde a AB?

A) EFB) DFC) DED) AC
Fácil

3. Na configuração triangular indicada pelo Diagrama 2, com DE∥BC, AD=5, AB=8 e AC=24, quanto mede AE?

A) 15B) 12C) 10D) 18
Fácil

4. A quarta proporcional em 3/5=6/x é:

A) 6B) 8C) 9D) 10
Fácil

5. Na escala 1:50.000:

A) 50.000 cm reais viram 50.000 cm no mapaB) 1 cm no mapa representa 50.000 cm reaisC) 1 km representa 50.000 kmD) unidades podem ser diferentes na razão
Médio

6. AB=6, BC=9 e DE=10. Com as três paralelas, EF mede:

A) 12B) 14C) 15D) 18
Médio

7. AB=3, BC=5 e DE=6. Qual é DF?

A) 16B) 12C) 10D) 8
Médio

8. No Diagrama 2, DE∥BC, AD=6, DB=4 e AE=9. EC mede:

A) 4B) 5C) 8D) 6
Médio

9. Na configuração triangular indicada, com DE∥BC, AD=6, DB=4 e AE=9, qual é AC?

A) 12B) 15C) 18D) 20
Médio

10. DE∥BC, AD=x+1, DB=3, AE=2x−1 e EC=5. Quais são x e AC?

A) x=5, AC=14B) x=6, AC=16C) x=8, AC=20D) x=10, AC=24
Médio

11. D pertence ao interior de AB, E ao interior de AC, os comprimentos são positivos e AD/DB=AE/EC. Conclui-se:

A) DE∥BCB) AB=ACC) DE⊥BCD) AD=AE
Médio

12. A construção do Diagrama 7 divide AB em:

A) duas partesB) três partesC) quatro partesD) cinco partes iguais
Médio

13. No Diagrama 8, o ponto P divide AB de modo que:

A) AP/PB=3/2B) AP/PB=2/3C) AP/PB=2/5D) AP/PB=3/5
Médio

14. Em 1:50.000, uma distância de 3,6 cm no mapa representa:

A) 180 kmB) 18 kmC) 1,8 kmD) 0,18 km
Difícil

15. Com A−D−B, A−E−C e DE∥BC, qual proporção preserva parte/parte?

A) AD/DB=AE/ECB) AD/AB=AE/ECC) AB/DB=AE/ACD) AD/EC=DB/AE
Difícil

16. A−B−D e A−C−E, AB=8, AD=12, AC=10 e AE=15. Qual conclusão é válida?

A) D e E são internosB) DE⊥BCC) nenhuma relação pode ser concluídaD) DE∥BC, pois 12/8=15/10
Difícil

17. DE∥BC, AD=x+2, DB=4, AE=2x+1 e EC=6. Qual é AC?

A) 12B) 15C) 18D) 21
Difícil

18. Uma distância real de 7,5 km é representada na escala 1:250.000 por:

A) 30 cmB) 7,5 cmC) 3 cmD) 0,3 cm

Gabarito comentado:

1-B: o paralelismo é a hipótese que gera proporcionalidade.

2-C: AB e DE ficam entre r e s.

3-A: AD/AB=AE/AC ⇒ 5/8=AE/24 ⇒ AE=15; 5/8=15/24.

4-D: 3x=30 ⇒ x=10, e 3/5=6/10.

5-B: na escala 1:50.000, as duas medidas devem estar em centímetros.

6-C: 6/9=10/EF ⇒ EF=15.

7-A: AC=8; 3/8=6/DF ⇒ DF=16.

8-D: 6/4=9/EC ⇒ EC=6.

9-B: EC=6, então AC=9+6=15.

10-C: 5(x+1)=3(2x−1) ⇒ x=8; AE=15 e AC=20.

11-A: são exatamente as hipóteses da recíproca interna.

12-D: cinco passos iguais e quatro paralelas intermediárias produzem cinco partes.

13-B: o segundo de cinco passos transfere 2:3 para AP:PB.

14-C: 3,6·50.000=180.000 cm=1,8 km.

15-A: AD/DB e AE/EC comparam parte superior com inferior nos dois lados; as demais misturam padrões.

16-D: os dois pontos são externos correspondentes e AD/AB=AE/AC=3/2.

17-B: (x+2)/4=(2x+1)/6 ⇒ 6x+12=8x+4 ⇒ x=4; AE=9, EC=6, AC=15, todos positivos.

18-C: 7,5 km=750.000 cm; 750.000/250.000=3 cm.

Resumo final

Feixe

Três ou mais paralelas cortadas por transversais.

Correspondência

Mesmos pares de paralelas.

Direto

Paralelismo dado ⇒ proporções.

Triângulo

D e E internos e DE∥BC.

Parte/parte

AD/DB=AE/EC.

Parte/todo

AD/AB=AE/AC.

Recíproca

Proporção interna positiva ⇒ paralelismo.

Externos

Use dois prolongamentos correspondentes.

Quarta proporcional

a/b=c/x ⇒ x=bc/a.

Partes iguais

Passos iguais e paralelas.

Razão m:n

Marque m+n passos e use o ponto m.

Escala

Representada/real na mesma unidade.

Unidades

Converta antes de calcular.

Semelhança

Sombras serão formalizadas na próxima aula.