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Teorema de Pitágoras

Relação métrica e recíproca

Use quadrados dos lados para calcular medidas e reconhecer o tipo de triângulo.

Teorema e identificação dos lados

Em triângulo retângulo não degenerado, c é a hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto e maior lado. Os catetos são a e b.

c²=a²+b²
Demonstração do teorema de Pitágoras por decomposição Um quadrado de lado a mais b contém quatro triângulos retângulos congruentes de catetos a e b. As quatro hipotenusas c delimitam um quadrado central de área c ao quadrado. A comparação de áreas produz a ao quadrado mais b ao quadrado igual a c ao quadrado. a b a b c² c (a+b)² = 4·(ab/2) + c² a² + b² = c²
A área do quadrado externo é a soma das áreas dos quatro triângulos congruentes e do quadrado central; simplificando, obtém-se a²+b²=c². Figura ilustrativa, sem escala.

Recíproca e classificação

Primeiro verifique a desigualdade triangular. Depois, com c como maior lado:

c²=a²+b² ⇒ retângulo
c²<a²+b² ⇒ acutângulo
c²>a²+b² ⇒ obtusângulo

Diagonais, alturas e malhas

Quadrado: d=l√2. Retângulo: d=√(a²+b²). Em isósceles, a altura à base também é mediana e cria dois triângulos retângulos. Em malha, use deslocamentos horizontal e vertical.

Rampas e escadas

Modele a altura vertical, o afastamento horizontal e o comprimento inclinado. Identifique qual é a hipotenusa antes de substituir e simplifique raízes extraindo quadrados perfeitos.

Ternos pitagóricos

3–4–5, 5–12–13 e 8–15–17 são ternos. Para inteiros positivos m>n, os números m²−n², 2mn e m²+n² formam um terno pitagórico.

m²−n², 2mn, m²+n²

O terno é primitivo quando m e n são coprimos e têm paridades diferentes.

Pegadinhas

  • Aplicar Pitágoras sem ângulo reto.
  • Classificar antes de verificar a existência do triângulo.
  • Escolher como c um lado que não é o maior.
  • Esquecer a raiz ao obter um comprimento.
  • Afirmar que toda parametrização produz terno primitivo.

Questões resolvidas

1. Isósceles

Lados iguais 13 e base 10.

A altura divide a base em 5 e 5.

h=√(13²−5²)=12.

2. Rampa

Desnível 0,9 m e avanço 1,2 m.

c=√(0,81+1,44)=√2,25.

c=1,5 m.

3. Existência e classificação

Medidas 4,7,10.

4+7>10: existe triângulo.

10²>4²+7²; é obtusângulo.

Exercícios

Fácil

1. No triângulo retângulo, c é:

A) qualquer ladoB) o lado oposto ao ângulo retoC) o menor ladoD) uma altura
Médio

2. Retângulo 8×15 tem diagonal:

A) 17B) 19C) 23D) √161
Médio

3. No diagrama, a=6 e b=8. c=

A) 10B) 12C) 14D) 48
Difícil

4. Medidas 2,3,6 podem ser classificadas pelos quadrados?

A) sim, obtusânguloB) sim, retânguloC) não, pois não formam triânguloD) sim, acutângulo
Difícil

5. Isósceles de lados 10,10,12 tem altura relativa à base:

A) 6B) 8C) 10D) √244

Gabarito comentado:

1-B: É a hipotenusa.

2-A: 8–15–17.

3-A: c=√(36+64)=10.

4-C: 2+3≤6; falha a desigualdade triangular.

5-B: Metade da base é 6; h=√(100−36)=8.

Resumo final

  • Pitágoras exige triângulo retângulo.
  • Verifique existência antes da classificação angular.
  • c é sempre o maior lado.
  • Alturas e diagonais geram triângulos retângulos.
  • Primitividade de ternos requer coprimalidade e paridades diferentes.