Definições, notação e enunciado formal
Triângulo não degenerado que possui exatamente um ângulo reto, isto é, de medida 90°.
São os dois lados que formam o ângulo reto.
É o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo retângulo; não pode ser escolhida arbitrariamente.
Tem área positiva: seus vértices não são colineares e as medidas de seus lados são reais positivas.
Considere △ABC com m(∠C)=90°. Os segmentos AC e BC são os catetos, e AB é a hipotenusa. Adotaremos a=|BC|, b=|AC| e c=|AB|; as barras indicam comprimentos, distinguindo cada medida do segmento geométrico.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
No teorema, c representa a hipotenusa e, portanto, o maior lado do triângulo retângulo. A relação só pode ser aplicada diretamente quando a hipótese de ângulo reto foi estabelecida. Os termos a², b² e c² são quadrados de medidas: se a e b estão em centímetros, esses termos aparecem em cm² durante o cálculo, mas a raiz final volta a ser uma medida em centímetros.
Demonstração por decomposição de áreas
- Constrói-se um quadrado de lado a+b.
- Colocam-se nele quatro triângulos retângulos congruentes, cada um com catetos a e b e hipotenusa c.
- As quatro hipotenusas delimitam um quadrilátero central cujos quatro lados medem c.
- Se α e β são os ângulos agudos de cada triângulo, α+β=90°. Na disposição, cada ângulo interno central mede 180°−(α+β)=90°.
- Com quatro lados de medida c e quatro ângulos retos, o quadrilátero central é um quadrado de área c².
Passo a passo da dedução
Calcule a área do quadrado externo de lado a+b.
A = (a+b)²Some as áreas dos quatro triângulos retângulos.
4 · (ab/2) = 2abIguale a área externa à soma dos triângulos com o quadrado central.
(a+b)² = 2ab + c²Desenvolva o quadrado da soma.
a² + 2ab + b² = 2ab + c²Subtraia 2ab dos dois membros.
a² + b² = c²
Cálculo da hipotenusa e dos catetos
Usa-se a raiz quadrada positiva porque comprimentos são positivos. Em um triângulo retângulo válido, c>a e c>b; por isso, os radicandos c²−b² e c²−a² são positivos.
a=9 e b=12: c=√(9²+12²)=√225=15.
c=13 e a=5: b=√(13²−5²)=√144=12.
a=b=1: c=√(1²+1²)=√2.
√2 é o valor exato; 1,41 é uma aproximação decimal, não uma igualdade exata.
Com catetos 9 cm e 12 cm, a soma dos quadrados é 225 cm²; então c=√(225 cm²)=15 cm.
Teorema direto e recíproca
Hipótese: o triângulo é retângulo. Conclusão: c²=a²+b², sendo c a hipotenusa.
Hipótese: a, b e c são lados positivos de um triângulo, c é o maior e c²=a²+b². Conclusão: o ângulo oposto a c mede 90°.
Se um triângulo possui lados positivos a, b e c, com c sendo o maior lado, e satisfaz c²=a²+b², então o triângulo é retângulo, e o ângulo oposto ao lado c mede 90°.
Assim, o teorema direto calcula ou relaciona lados depois de conhecido o ângulo reto; a recíproca reconhece o ângulo reto a partir das medidas dos lados.
Existência do triângulo antes da classificação
Organize três medidas positivas como a≤b≤c. Basta verificar a+b>c: como c é o maior lado, as outras duas desigualdades triangulares já são automaticamente satisfeitas.
Como 2+3≤6, essas medidas não formam um triângulo. Comparar 6² com 2²+3² e chamá-lo de “obtusângulo” seria uma falsa classificação, pois não há triângulo para classificar.
- Confirme que as três medidas são positivas.
- Ordene-as: a≤b≤c.
- Teste a+b>c.
- Somente se o triângulo existir, compare c² com a²+b².
Classificação angular pelos lados
Depois de confirmar a existência, defina c como o maior lado. O ângulo C oposto a c é o maior ângulo do triângulo.
c²=a²+b²; pela recíproca, C=90°.
c²<a²+b²; o maior ângulo satisfaz C<90°.
c²>a²+b²; o maior ângulo satisfaz C>90°.
Sem a+b>c, a classificação angular não se aplica.
| Medidas | Existência | Comparação | Classificação |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3+4>5 | 25=9+16 | retângulo |
| 5, 6, 7 | 5+6>7 | 49<25+36 | acutângulo |
| 4, 7, 10 | 4+7>10 | 100>16+49 | obtusângulo |
| 2, 3, 6 | 2+3≤6 | não aplicável | não forma triângulo |
Esta é uma antecipação: c²=a²+b²−2ab·cos(C). Se cos(C)=0, então C=90°; se cos(C)>0, então C<90°; se cos(C)<0, então C>90°. Não é necessário dominar essa lei para usar corretamente a tabela.
Diagonais, alturas e malhas
A diagonal divide-o em dois triângulos retângulos congruentes: d²=l²+l², logo d=l√2.
A diagonal é a hipotenusa: d=√(a²+b²). Para 8×15, d=√289=17.
Se os lados congruentes medem l e a base mede b, a altura relativa à base também é mediana: h=√(l²−(b/2)²). Para l=13 e b=10, h=12.
A altura divide o lado l em duas partes l/2: h²=l²−(l/2)²=3l²/4, portanto h=l√3/2.
Malha ou plano
Para deslocamentos horizontal Δx e vertical Δy, os segmentos perpendiculares formam os catetos, e a distância retilínea entre os pontos é d=√((Δx)²+(Δy)²). Com Δx=9 e Δy=12, d=15. Essa distância não é a soma 9+12 do percurso quebrado.
Rampas, escadas e modelagem
Traduza o enunciado: altura ou desnível costuma ser um cateto, afastamento horizontal o outro, e rampa, cabo ou escada inclinada costuma ser a hipotenusa. Confirme isso pela perpendicularidade e pela posição oposta ao ângulo reto, não por palavras isoladas.
c=√(0,9²+1,2²)=√(0,81+1,44)=√2,25=1,5 m.
Com parede vertical e piso horizontal, h=√(10²−6²)=√64=8 m.
Ternos pitagóricos e parametrização de Euclides
Um terno pitagórico é uma tripla de inteiros positivos (a,b,c) que satisfaz a²+b²=c². A ordem dos catetos pode ser trocada, mas c deve ser a hipotenusa. Exemplos: 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25.
O terno é primitivo quando mdc(a,b,c)=1. Assim, 3,4,5 é primitivo; 6,8,10 também é pitagórico, porém não primitivo, pois é o dobro de 3,4,5 e tem máximo divisor comum 2.
Para inteiros m>n>0:
Essas expressões sempre formam um terno pitagórico.
Verificação algébrica:
(m²−n²)²+(2mn)²
=m⁴−2m²n²+n⁴+4m²n²
=m⁴+2m²n²+n⁴
=(m²+n²)².
Para que o terno produzido seja primitivo, m e n devem ser coprimos e ter paridades diferentes. Nem toda escolha produz um terno primitivo.
a=3, b=4, c=5.
a=5, b=12, c=13.
a=15, b=8, c=17; ordenando os catetos: 8,15,17.
Para inteiro positivo k: k(m²−n²), 2kmn, k(m²+n²).
Todo terno pitagórico primitivo pode ser obtido por essa parametrização, a menos da troca da ordem dos catetos. Para k>1, obtêm-se múltiplos não primitivos.
Erros frequentes e contraexemplos
- Sem ângulo retoNão aplique o teorema direto sem estabelecer a perpendicularidade.
- c arbitrárioNa fórmula, c é a hipotenusa; na classificação, c deve ser o maior lado.
- Maior lado ≠ hipotenusaEm um triângulo qualquer, o maior lado só é hipotenusa se o triângulo for retângulo.
- InexistênciaVerifique a desigualdade triangular antes de classificar.
- Quadrados incompletosA relação correta é c²=a²+b², não c²=a+b.
- Soma linearEm geral c≠a+b.
- Raiz esquecidaDe c²=225 conclui-se c=15, não 225.
- Raiz negativaComprimentos usam a raiz positiva.
- Arredondamento precoceMantenha o radical exato até a conclusão.
- Desenho sem escalaUse hipóteses e marcas, não a aparência.
- Terno ≠ primitivo6,8,10 é pitagórico, mas não primitivo.
- EuclidesCoprimalidade e paridades diferentes são condições de primitividade.
Os lados 5,6,7 formam um triângulo, mas 7²=49 e 5²+6²=61. Portanto, a igualdade pitagórica não vale; o triângulo é acutângulo.
Questões resolvidas
1. Hipotenusa
Hipóteses: triângulo retângulo com catetos 9 cm e 12 cm. Incógnita: hipotenusa c.
Fórmula: c=√(a²+b²), pois são conhecidos os dois catetos.
Substituição: c=√(9²+12²)=√(81+144).
Desenvolvimento: c=√225=15 cm.
Conclusão: a hipotenusa mede 15 cm.
2. Cateto
Hipóteses: hipotenusa 13 cm e um cateto 5 cm. Incógnita: outro cateto b.
Fórmula: b=√(c²−a²), pois c é a hipotenusa.
Substituição: b=√(13²−5²)=√(169−25).
Desenvolvimento: b=√144=12 cm.
Conclusão: o outro cateto mede 12 cm.
3. Diagonal de retângulo
Hipóteses: retângulo 8 cm×15 cm; lados adjacentes perpendiculares. Incógnita: diagonal d.
Fórmula: d=√(8²+15²), pois a diagonal é a hipotenusa.
Substituição: d=√(64+225).
Desenvolvimento: d=√289=17 cm.
Conclusão: a diagonal mede 17 cm.
4. Altura de isósceles
Hipóteses: lados congruentes 13 cm e base 10 cm. Incógnita: altura h relativa à base.
Construção: a altura também é mediana; cada metade da base mede 5 cm.
Fórmula: h=√(13²−5²).
Desenvolvimento: h=√(169−25)=√144=12 cm.
Conclusão: a altura relativa à base mede 12 cm.
5. Existência e classificação
Hipóteses: medidas 4 cm, 7 cm e 10 cm. Incógnita: existência e tipo angular.
Existência: 4+7>10, então formam um triângulo.
Maior lado: c=10.
Comparação: 10²=100 e 4²+7²=65; logo 100>65.
Conclusão: o triângulo é obtusângulo.
6. Rampa
Hipóteses: desnível vertical 0,9 m e avanço horizontal 1,2 m, perpendiculares. Incógnita: comprimento c da rampa.
Fórmula: c=√(0,9²+1,2²).
Substituição: c=√(0,81+1,44)=√2,25.
Desenvolvimento: c=1,5 m.
Conclusão: a rampa mede 1,5 m.
7. Resultado radical
Hipóteses: quadrado de lado 1 m. Incógnita: diagonal d.
Fórmula: d=√(1²+1²).
Desenvolvimento: d=√2 m, valor exato.
Aproximação: d≈1,41 m, somente se solicitada.
Conclusão: a diagonal mede exatamente √2 m.
8. Problema algébrico
Hipóteses: lados x, x+7 e x+8 de um triângulo retângulo; x+8 é a hipotenusa. Incógnita: x>0.
Equação: x²+(x+7)²=(x+8)².
Desenvolvimento: x²−2x−15=0, então (x−5)(x+3)=0.
Validade: x=5 ou x=−3; rejeita-se −3 por não ser comprimento positivo.
Conclusão: x=5 e os lados medem 5, 12 e 13.
Exercícios
1. Em △ABC, m(∠C)=90°. Qual segmento é a hipotenusa?
2. Um triângulo retângulo tem catetos 9 cm e 12 cm. A hipotenusa mede:
3. A hipotenusa mede 17 cm e um cateto mede 8 cm. O outro cateto mede:
4. O que se conclui sobre as medidas 2, 3 e 6?
5. Um retângulo mede 7 cm por 24 cm. Sua diagonal mede:
6. Um triângulo isósceles tem lados 13 cm, 13 cm e base 10 cm. A altura relativa à base mede:
7. O triângulo de lados 5, 6 e 7 é:
8. Uma escada de 10 m apoia-se em parede perpendicular ao piso, com o pé a 6 m da parede. A altura alcançada é:
9. Qual análise sobre ternos e a parametrização de Euclides está correta?
10. Um retângulo tem diagonal 13 cm e um lado 5 cm. Qual é sua área?
11. Um triângulo isósceles tem lados 25 cm, 25 cm e base 14 cm. Sua área é:
12. Os lados de um triângulo retângulo medem x, x+7 e x+8, sendo x+8 a hipotenusa. Os lados são:
Gabarito comentado:
1-B: com ∠C reto, o lado oposto é AB; portanto AB é a hipotenusa. AC e BC são catetos.
2-C: c=√(9²+12²)=√225=15 cm. Somar 9+12 ignoraria os quadrados.
3-A: b=√(17²−8²)=√225=15 cm. A raiz negativa não representa comprimento.
4-D: 2+3≤6, então falha a desigualdade triangular; a classificação pelos quadrados não se aplica.
5-B: d=√(7²+24²)=√625=25 cm, pois a diagonal é a hipotenusa.
6-C: a altura divide a base em 5 e 5; h=√(13²−5²)=√144=12 cm.
7-A: o triângulo existe e 7²=49<5²+6²=61; logo é acutângulo.
8-D: parede e piso são perpendiculares; h=√(10²−6²)=√64=8 m.
9-B: m=4,n=1 produzem 15,8,17, isto é, 8,15,17; são primitivos. O dobro 16,30,34 tem mdc 2 e não é primitivo.
10-A: o outro lado vale √(13²−5²)=12 cm; a área é 5·12=60 cm².
11-C: metade da base mede 7 cm; h=√(25²−7²)=24 cm e S=14·24/2=168 cm².
12-D: x²+(x+7)²=(x+8)² leva a (x−5)(x+3)=0; como x>0, x=5, dando 5,12,13.
Resumo final
O teorema direto exige triângulo retângulo.
É o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo retângulo.
c=√(a²+b²); a=√(c²−b²); b=√(c²−a²).
Com a≤b≤c, verifique a+b>c antes de classificar.
Com c como maior: compare c² com a²+b².
Diagonais, alturas, malhas, rampas e escadas.
Inteiros positivos que satisfazem a²+b²=c².
mdc 1; em Euclides, m e n coprimos e de paridades diferentes.
No triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado. Nos critérios de classificação, c deve representar o maior lado do triângulo.