Quadriláteros e convenção de trapézio
Todo quadrilátero simples convexo tem soma interna 360°. Neste módulo, adotamos: trapézio possui exatamente um par de lados opostos paralelos. Assim, paralelogramos e trapézios ficam em classes distintas; outros livros podem usar “pelo menos um par”.
Paralelogramos e critérios
Um quadrilátero é paralelogramo se ocorrer qualquer condição completa:
- dois pares de lados opostos paralelos;
- dois pares de lados opostos congruentes;
- um par oposto simultaneamente paralelo e congruente;
- diagonais que se cortam ao meio;
- dois pares de ângulos opostos congruentes.
Uma igualdade isolada de lados ou ângulos não basta.
Retângulo, losango e quadrado
Retângulo é paralelogramo com quatro ângulos retos; suas diagonais são congruentes e se bissetam. Dentro dos paralelogramos, diagonais congruentes caracterizam retângulo.
Losango é paralelogramo com quatro lados congruentes; suas diagonais são perpendiculares, bissetam-se e bissetam ângulos. Dentro dos paralelogramos, diagonais perpendiculares caracterizam losango. Quadrado pertence às duas famílias.
Trapézios
Bases são os lados paralelos; altura é a distância entre elas. O trapézio isósceles tem lados não paralelos congruentes, ângulos de cada base congruentes e diagonais congruentes. O trapézio retângulo possui dois ângulos retos.
m une os pontos médios dos lados não paralelos.
Deltoide e hierarquia
Deltoide é um quadrilátero com dois pares distintos de lados consecutivos congruentes. Suas diagonais são perpendiculares e uma bisseta a outra; isso, isoladamente, não o torna losango. O quadrado é retângulo e losango; cada inclusão preserva todas as propriedades da família superior.
Pegadinhas
- Não declarar a convenção de trapézio.
- Afirmar que uma única igualdade de lados prova paralelogramo.
- Dizer que diagonais perpendiculares tornam qualquer quadrilátero losango.
- Negar que quadrado seja retângulo e losango.
- Usar base média sem pontos médios nos lados não paralelos.
Questões resolvidas
1. Critério de paralelogramo
Diagonais AC e BD encontram-se em M; AM=MC e BM=MD.
As duas diagonais se cortam ao meio.
Logo o quadrilátero é paralelogramo.
2. Trapézio
B=18,b=10.
A base média une pontos médios dos lados não paralelos.
m=(18+10)/2=14.
3. Retângulo
Num paralelogramo, diagonais são congruentes.
Essa propriedade, dentro da família dos paralelogramos, caracteriza retângulo.
Exercícios
1. Na convenção desta aula, trapézio possui:
2. Qual condição completa garante paralelogramo?
3. No diagrama, o quadrado pertence às famílias:
4. Um paralelogramo tem diagonais perpendiculares. Ele é necessariamente:
5. Trapézio isósceles tem bases 8 e 18, altura 12. Cada lado não paralelo mede:
Gabarito comentado:
1-A: A convenção é declarada para evitar ambiguidade entre livros.
2-C: Bisseção mútua das diagonais é critério.
3-C: Ele reúne quatro ângulos retos e quatro lados congruentes.
4-B: A hipótese de já ser paralelogramo torna o critério suficiente.
5-B: A diferença 10 divide-se em 5 por lado; √(12²+5²)=13.
Resumo final
- A aula adota trapézio com exatamente um par paralelo.
- Critérios de paralelogramo devem ser completos.
- Diagonais congruentes caracterizam retângulo dentro dos paralelogramos.
- Diagonais perpendiculares caracterizam losango dentro dos paralelogramos.
- Quadrado herda propriedades de retângulo e losango.