Definição, elementos e convenções
É um polígono simples de quatro lados. Em ABCD, os vértices estão nomeados na ordem do contorno; AB, BC, CD e DA são lados, enquanto AC e BD são diagonais.
AB e CD são lados opostos, assim como BC e DA; AB e BC são consecutivos. ∠A e ∠C são opostos; ∠A e ∠B, consecutivos. AB indica segmento e |AB|, seu comprimento. A ordem dos vértices, não a posição visual, determina essas relações.
Todo segmento entre pontos da região permanece nela.
Existe ângulo interno reflexo e segmento entre pontos que sai da região.
Possui autointerseção; não recebe automaticamente as propriedades desta aula.
Paralelogramos, retângulos, losangos, quadrados e trapézios serão simples e convexos.
Uma diagonal de um quadrilátero convexo forma dois triângulos, logo Sint=(4−2)180°=360°. A mesma soma vale no quadrilátero simples côncavo, interpretando corretamente o ângulo reflexo e usando triangulação válida.
Se três ângulos medem 75°, 110° e 95°, o quarto mede 360°−75°−110°−95°=80°.
Nesta página, trapézio é o quadrilátero simples convexo com exatamente um par de lados opostos paralelos. Assim, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados não são trapézios. Na convenção inclusiva, “pelo menos um par”, todo paralelogramo seria trapézio. Verifique a convenção da prova e não a troque durante a resolução.
Paralelogramo: definição e propriedades
Paralelogramo é o quadrilátero simples convexo com dois pares de lados opostos paralelos. Em ABCD: AB∥CD e BC∥AD.
|AB|=|CD| e |BC|=|AD|.
∠A=∠C, ∠B=∠D e consecutivos são suplementares.
Se M=AC∩BD, então |AM|=|MC| e |BM|=|MD|.
Cada diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.
Na diagonal AC, ∠BAC=∠DCA e ∠BCA=∠DAC por alternos internos; AC é comum. Logo ΔBAC≅ΔDCA pelo caso ALA. Da congruência vêm lados e ângulos opostos congruentes. Aplicando raciocínio análogo aos triângulos formados no encontro das diagonais, conclui-se que ambas se cortam ao meio.
Critérios para reconhecer um paralelogramo
Um quadrilátero simples convexo é paralelogramo se satisfizer qualquer condição completa:
- os dois pares de lados opostos são paralelos;
- os dois pares de lados opostos são congruentes;
- um par de lados opostos é simultaneamente paralelo e congruente;
- as duas diagonais se cortam ao meio;
- os dois pares de ângulos opostos são congruentes;
- as suplementaridades consecutivas garantem os dois pares de lados opostos paralelos.
Um único par de lados congruentes, um único par paralelo, apenas uma diagonal bissetando a outra ou apenas um par de ângulos congruentes não garantem paralelogramo. Um trapézio possui um par paralelo; um deltoide pode ter uma diagonal bissetando a outra.
Retângulo e relações métricas
Retângulo é o quadrilátero com quatro ângulos retos. Seus lados opostos são paralelos, portanto todo retângulo é paralelogramo.
Quatro ângulos de 90°, lados opostos paralelos e congruentes.
São congruentes e cortam-se ao meio; cada uma forma dois triângulos retângulos congruentes.
Paralelogramo com um ângulo reto é retângulo.
Paralelogramo com diagonais congruentes é retângulo.
Diagonais congruentes não caracterizam retângulo entre todos os quadriláteros: um trapézio isósceles também as possui.
Se os lados medem a e b e a diagonal mede d, Pitágoras fornece d²=a²+b². Para a=6 e b=8, d=10. Se d=13 e a=5, b=√(13²−5²)=12.
Losango e quadrado
Losango
Losango é o quadrilátero com quatro lados congruentes. Todo losango é paralelogramo.
São perpendiculares e cortam-se ao meio.
AC bisseta ∠A e ∠C; BD bisseta ∠B e ∠D.
Dois lados consecutivos congruentes, diagonais perpendiculares ou uma diagonal bissetando um ângulo.
As diagonais de um losango não precisam ser congruentes; isso ocorre no quadrado.
Se as diagonais medem D e d e o lado mede ℓ, então ℓ²=(D/2)²+(d/2)² e ℓ=½√(D²+d²). Para D=24 e d=10, ℓ=13 e P=52. Como antecipação de áreas, A=Dd/2.
Diagonais perpendiculares isoladamente não garantem losango: um deltoide pode possuir essa propriedade.
Quadrado
Quadrado possui quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. É simultaneamente paralelogramo, retângulo e losango e herda todas as propriedades dessas classes.
Congruentes, perpendiculares, bissetam-se e bissetam os ângulos.
Retângulo com lados consecutivos congruentes ou diagonais perpendiculares; losango com ângulo reto ou diagonais congruentes.
Diagonais simultaneamente congruentes e perpendiculares.
Se o lado mede ℓ, então d=ℓ√2.
Hierarquia entre as famílias
Nem todo retângulo é quadrado; nem todo losango é quadrado; um paralelogramo oblíquo pode não ser retângulo nem losango. Pela convenção exclusiva, trapézios ficam fora da família dos paralelogramos.
Trapézios: elementos, classificações e relações
Considere ABCD com AB∥CD. As bases têm medidas B (maior) e b (menor); AD e BC são lados não paralelos. A altura h é a distância perpendicular entre as retas das bases e não precisa coincidir com um lado.
Como as bases são paralelas, ∠A+∠D=180° e ∠B+∠C=180°. O trapézio escaleno tem laterais diferentes; o isósceles, laterais congruentes; o retângulo possui um lateral perpendicular às bases e, portanto, dois ângulos retos.
Ângulos de cada base congruentes, diagonais congruentes e eixo de simetria perpendicular às bases.
Ângulos de uma base congruentes ou diagonais congruentes garantem trapézio isósceles.
Une pontos médios das laterais, é paralela às bases e mede m=(B+b)/2.
O segmento que os une é paralelo às bases e mede |B−b|/2; não é a base média.
Prolongando uma lateral e usando uma diagonal, o Teorema de Tales e o segmento médio de triângulo mostram que o segmento pelos pontos médios é paralelo às bases e sua medida é a média aritmética B/2+b/2.
Exemplo: B=18 e b=10 dão m=14. A fórmula exige pontos médios; não vale para qualquer paralelo às bases.
Se B>b, cada projeção horizontal das laterais mede (B−b)/2. Logo ℓ²=h²+[(B−b)/2]². Para B=18, b=8 e h=12: projeção=5, ℓ=13 e perímetro=18+8+13+13=52.
Deltoide: convenção e propriedades
Deltoide é um quadrilátero simples convexo com dois pares de lados consecutivos congruentes, sendo diferentes as medidas dos dois pares: |AB|=|AD|, |CB|=|CD| e |AB|≠|CB|. Algumas fontes usam definição inclusiva e consideram o losango um deltoide.
AC⊥BD, |BM|=|MD| e AC bisseta ∠A e ∠C.
Os ângulos opostos ∠B e ∠D são congruentes.
BD não divide AC ao meio nem bisseta ∠B e ∠D.
Diagonais perpendiculares não garantem deltoide nem losango.
Quadro comparativo
| Família | Lados | Ângulos | Diagonais |
|---|---|---|---|
| Paralelogramo | Opostos paralelos e congruentes. | Opostos congruentes. | Bissetam-se. |
| Retângulo | Opostos congruentes. | Quatro retos. | Congruentes e bissetam-se. |
| Losango | Quatro congruentes. | Opostos congruentes. | Perpendiculares, bissetam-se e bissetam ângulos correspondentes. |
| Quadrado | Quatro congruentes. | Quatro retos. | Congruentes, perpendiculares, bissetam-se e bissetam ângulos. |
| Trapézio isósceles | Laterais congruentes. | Os de cada base são congruentes. | Congruentes. |
| Deltoide | Dois pares consecutivos congruentes. | Um par oposto congruente. | Perpendiculares; somente AC bisseta a outra na convenção indicada. |
Propriedades parecidas não podem ser transportadas sem hipótese: diagonais congruentes caracterizam retângulo apenas dentro dos paralelogramos; diagonais perpendiculares caracterizam losango apenas dentro dos paralelogramos.
Estratégia de classificação
- Verifique se o quadrilátero é simples e convexo.
- Identifique os pares de lados opostos paralelos.
- Dois pares: investigue paralelogramo; exatamente um: trapézio pela convenção desta página.
- No paralelogramo, ângulo reto indica retângulo; lados consecutivos congruentes indicam losango; ambas indicam quadrado.
- Use diagonais somente com a hipótese exigida pelo critério.
- Não conclua nada apenas pela aparência ou escala do desenho.
Erros frequentes
- TrapézioNão declarar ou trocar a convenção.
- Um par congruenteNão garante paralelogramo.
- Uma diagonalBissetar a outra não garante paralelogramo.
- Duas diagonaisAmbas devem se cortar ao meio.
- CongruentesSem paralelogramo, não garantem retângulo.
- Trapézio isóscelesTambém possui diagonais congruentes.
- PerpendicularesSem paralelogramo, não garantem losango.
- DeltoideTambém pode ter diagonais perpendiculares.
- LosangoSuas diagonais não são sempre congruentes.
- QuadradoÉ retângulo e losango.
- Base médiaExige pontos médios das laterais.
- Diferença das basesSó se divide igualmente no trapézio isósceles.
- DeltoideSomente AC divide BD ao meio na configuração adotada.
- AparênciaNão substitui definição, marca ou hipótese.
Questões resolvidas
1. Diagonais que se cortam ao meio
Em ABCD, M=AC∩BD, AM=MC e BM=MD.
Hipótese: quadrilátero simples convexo.
As duas diagonais se cortam ao meio, critério completo.
Conclusão: ABCD é paralelogramo.
2. Diagonais congruentes
Um paralelogramo possui diagonais congruentes.
A hipótese de paralelogramo está dada.
Pelo critério específico, ele é retângulo.
Sem essa hipótese, um trapézio isósceles seria contraexemplo.
3. Diagonais perpendiculares
Um paralelogramo possui diagonais perpendiculares.
Dentro dos paralelogramos, perpendicularidade das diagonais caracteriza losango.
Conclusão: é losango; não se conclui quadrado sem congruência ou ângulo reto.
4. Congruentes e perpendiculares
As diagonais de um paralelogramo são congruentes e perpendiculares.
Congruentes → retângulo; perpendiculares → losango.
Retângulo e losango simultaneamente → quadrado.
5. Ângulos consecutivos
Num paralelogramo, medem (3x+10)° e (5x−6)°.
São suplementares: 3x+10+5x−6=180.
8x+4=180; x=22.
Ângulos: 76° e 104°, cuja soma é 180°.
6. Base média
Trapézio com B=18 cm e b=10 cm.
O segmento une os pontos médios das laterais.
m=(18+10)/2=14 cm.
Conclusão: a base média mede 14 cm.
7. Trapézio isósceles
B=18 cm, b=8 cm e h=12 cm.
Projeção lateral=(18−8)/2=5 cm.
ℓ=√(12²+5²)=13 cm.
P=18+8+2·13=52 cm.
8. Losango
Diagonais de 24 cm e 10 cm.
Semidiagonais: 12 cm e 5 cm, perpendiculares.
ℓ=√(12²+5²)=13 cm; P=4·13=52 cm.
9. Retângulo
Diagonal 13 cm e lado 5 cm.
Pitágoras: b=√(13²−5²)=√144=12 cm.
Conclusão: o outro lado mede 12 cm.
10. Deltoide
|AB|=|AD|≠|CB|=|CD|.
AC é eixo de simetria.
Logo AC⊥BD, AC divide BD ao meio e bisseta ∠A e ∠C.
Não se conclui que BD divida AC ao meio ou bissecte B e D.
Exercícios
1. Três ângulos de um quadrilátero simples medem 75°, 110° e 95°. O quarto mede:
2. Na convenção desta página, trapézio possui:
3. Em todo paralelogramo, as diagonais:
4. Todo quadrado pertence simultaneamente às famílias:
5. Qual condição completa garante que um quadrilátero simples convexo seja paralelogramo?
6. Um paralelogramo com diagonais congruentes é:
7. Um paralelogramo com diagonais perpendiculares é:
8. Um retângulo tem lados 6 cm e 8 cm. Sua diagonal mede:
9. Um trapézio tem bases 18 cm e 10 cm. Sua base média mede:
10. Ângulos consecutivos de um paralelogramo medem (3x+10)° e (5x−6)°. Determine x e os ângulos.
11. Um paralelogramo possui diagonais congruentes e perpendiculares. Ele é:
12. Um losango possui diagonais de 24 cm e 10 cm. Seu perímetro é:
13. Trapézio isósceles com bases 18 cm e 8 cm e altura 12 cm possui perímetro:
14. No deltoide com |AB|=|AD|≠|CB|=|CD|, qual afirmação é correta?
15. Um retângulo tem diagonal 13 cm e um lado 5 cm. O outro lado mede:
Gabarito comentado:
1-B: quadriláteros simples somam 360°; 360−75−110−95=80°.
2-C: a página usa a convenção exclusiva: exatamente um par paralelo; pela inclusiva, paralelogramos entrariam.
3-A: todo paralelogramo tem diagonais que se cortam ao meio; congruência e perpendicularidade exigem subclasses.
4-D: quadrado é simultaneamente paralelogramo, retângulo e losango; na convenção exclusiva, não é trapézio.
5-B: bisseção mútua das duas diagonais é critério suficiente; apenas uma bissetando a outra não basta.
6-C: dentro dos paralelogramos, diagonais congruentes caracterizam retângulo; fora dessa família há trapézio isósceles.
7-A: dentro dos paralelogramos, diagonais perpendiculares caracterizam losango; isso não exclui o caso quadrado.
8-D: d=√(6²+8²)=√100=10 cm.
9-B: pelos pontos médios das laterais, m=(18+10)/2=14 cm.
10-C: consecutivos são suplementares: 3x+10+5x−6=180, então x=22; os ângulos são 76° e 104°.
11-A: congruentes tornam o paralelogramo retângulo; perpendiculares tornam-no losango; ambas as classes dão quadrado.
12-D: semidiagonais 12 e 5 formam triângulo retângulo; lado=13 e P=4·13=52 cm.
13-B: projeção=(18−8)/2=5; lateral=√(12²+5²)=13 e P=18+8+26=52 cm.
14-C: AC é o eixo de simetria: é perpendicular a BD, bissecta BD e os ângulos A e C; as recíprocas não valem para BD em geral.
15-A: b=√(13²−5²)=√144=12 cm, valor positivo.
Resumo final
Todo quadrilátero simples soma 360°.
A convenção adotada exige exatamente um par paralelo.
Dois pares opostos paralelos; critérios completos devem ser usados.
Quatro retos; diagonais congruentes e bissetadas.
Quatro lados congruentes; diagonais perpendiculares e bissetadas.
É retângulo e losango e herda ambas as famílias.
Laterais e diagonais congruentes; ângulos de cada base congruentes.
Une pontos médios das laterais e mede (B+b)/2.
Dois pares consecutivos distintos; AC é eixo e divide BD ao meio.
Propriedades de diagonais e recíprocas exigem a família indicada.