Definição e classificações
Polígono é linha poligonal fechada com pelo menos três lados. Num simples, lados não consecutivos não se cruzam; no complexo, cruzam. Convexo contém todo segmento entre pontos internos; côncavo não. Regular é simultaneamente equilátero e equiângulo.
Nomenclatura
3 triângulo; 4 quadrilátero; 5 pentágono; 6 hexágono; 7 heptágono; 8 octógono; 9 eneágono ou nonágono; 10 decágono; 12 dodecágono; 20 icoságono.
Diagonais e triangulação
total=n(n−3)/2
triângulos de um vértice=n−2
O fator 1/2 evita contar cada diagonal duas vezes.
Ângulos de polígonos convexos
Sext=360°
A soma externa usa um ângulo por vértice no mesmo sentido.
Polígono regular e problemas inversos
externo=360°/n
interno+externo=180°
Um número D de diagonais só é possível se n(n−3)/2=D tiver solução inteira n≥3.
Pegadinhas
- Chamar apenas equilátero de regular.
- Aplicar fórmula de ângulo individual a irregular.
- Esquecer dividir diagonais por 2.
- Usar soma externa sem convexidade/orientação.
- Aceitar n não inteiro num problema inverso.
Questões resolvidas
1. Soma interna
S_int=1980°.
(n−2)180=1980.
n−2=11, n=13.
2. Ângulo externo
Regular com externo 24°.
n=360/24=15.
3. Possibilidade de diagonais
D=44.
n(n−3)=88.
n²−3n−88=0 dá n=11 inteiro; é possível.
Exercícios
1. Um polígono regular é:
2. Diagonais de um octógono:
3. No diagrama, um hexágono triangulado por um vértice produz:
4. Regular com ângulo interno 156° tem n:
5. Qual número não pode ser total de diagonais de um polígono?
Gabarito comentado:
1-C: As duas condições são necessárias.
2-B: 8·5/2=20.
3-B: n−2=4 triângulos.
4-B: Externo=24°, n=360/24=15.
5-B: D=10 leva a n²−3n−20=0, cujo discriminante 89 não produz n inteiro; portanto não é possível.
Resumo final
- Simples, convexo e regular são classificações diferentes.
- De um vértice saem n−3 diagonais.
- Soma interna vem de n−2 triângulos.
- No regular, externo=360°/n.
- Problemas inversos exigem n inteiro ≥3.