Conceito de área e unidades quadradas
É a medida da extensão de uma região plana. Figuras congruentes têm a mesma área; regiões disjuntas têm áreas aditivas; retirar uma região corresponde a subtrair sua área.
| Grandeza | O que mede | Unidade |
|---|---|---|
| Perímetro | Comprimento do contorno | cm, m, km |
| Área | Extensão da região | cm², m², km² |
Retângulos 1×5 e 2×4 têm perímetro 12, mas áreas 5 e 8. Área e perímetro são grandezas distintas; unidade linear não pode representar área.
Base e altura correspondentes
Qualquer lado pode ser escolhido como base, desde que se use sua altura correspondente. No triângulo, essa altura é a distância perpendicular do vértice oposto à reta que contém a base; em paralelogramos e trapézios, é a distância perpendicular entre as retas que contêm as bases.
O lado inclinado não é altura sem marca de ângulo reto. Em triângulo obtusângulo, a altura relativa a determinada base pode cair fora da figura.
Áreas de triângulos
Base e altura
b é a medida da base e h sua altura correspondente, ambas na mesma unidade. A fórmula vale para todo triângulo não degenerado, inclusive obtusângulo.
Duas cópias congruentes do triângulo formam um paralelogramo de base b, altura h e área bh. Cada cópia ocupa metade: A=bh/2.
Exemplo: b=12 cm e h=7 cm dão A=12·7/2=42 cm².
Triângulo retângulo
Os catetos a e b são perpendiculares, portanto A=ab/2. Para catetos 6 e 8, A=24 unidades². A hipotenusa não é altura relativa a um cateto.
Dois lados e o ângulo compreendido
a,b>0 são dois lados, C é o ângulo compreendido, 0°<C<180°, e o triângulo é não degenerado. Como h=b·sen(C), substituir em ah/2 produz a fórmula. Com a=8, b=10 e C=30°, A=20 unidades².
Usar o seno de um ângulo que não está entre os dois lados escolhidos pode fornecer altura incompatível. O desenho não substitui a identificação dos lados adjacentes ao ângulo.
Triângulos: Heron, equilátero e relações avançadas
Fórmula de Heron
Para a,b,c>0 que satisfazem a+b>c, a+c>b e b+c>a, defina o semiperímetro p=(a+b+c)/2.
Se a≤b≤c, basta verificar a+b>c depois de confirmar positividade. Se a+b=c, a área é zero e o triângulo não é não degenerado. Para 13,14,15: p=21 e A=√(21·8·7·6)=√7056=84 unidades².
Triângulo equilátero
A altura divide o lado ℓ ao meio. Por Pitágoras, h²=ℓ²−(ℓ/2)²=3ℓ²/4; assim h=ℓ√3/2 e A=ℓh/2=ℓ²√3/4. Para ℓ=6, A=9√3 unidades².
Com semiperímetro p e inraio r, A=pr. Com lados a,b,c e circunraio R, A=abc/(4R). r e R representam raios diferentes e devem ser identificados.
Áreas de quadriláteros
Lado ℓ: A=ℓ². Se ℓ=10, A=100.
Base b e altura h: A=bh. Para 8×15, A=120.
A=bh, com h perpendicular à base. Corte e rearranjo formam retângulo equivalente.
Bases paralelas B,b e altura h: A=(B+b)h/2=mh, em que m=(B+b)/2.
Diagonais perpendiculares D,d: A=Dd/2.
Diagonais D,d formando θ: A=Dd·sen(θ)/2.
No paralelogramo, deslocar um triângulo lateral produz um retângulo de mesma base e altura, sem alterar a área. Multiplicar a base pelo lado inclinado é incorreto quando esse lado não é a altura.
No trapézio, dois trapézios congruentes formam paralelogramo de base B+b e altura h; metade de (B+b)h dá A=(B+b)h/2. Para B=18, b=10 e h=7, A=98 unidades².
Em quadriláteros convexos com diagonais perpendiculares, a decomposição em quatro triângulos basta para A=Dd/2; não é necessário que uma diagonal bissecte a outra. No losango ambas se bissectam; no deltoide adotado, geralmente apenas uma bissecta a outra. Para D=24 e d=10, A=120 unidades².
Para diagonais D,d e ângulo θ compreendido, A=Dd·sen(θ)/2. Quando θ=90°, sen(90°)=1. Não use essa fórmula sem conhecer o ângulo entre as diagonais.
Polígonos regulares
O apótema ap é o segmento perpendicular do centro ao ponto médio de um lado. Se P é o perímetro, a divisão em n triângulos isósceles congruentes dá:
Cada triângulo tem base ℓ e altura ap; a soma das bases é P=nℓ. A fórmula exige polígono regular e apótema verdadeiro.
Para n lados de medida ℓ: P=nℓ, ap=ℓ/[2·tan(180°/n)] em graus, ou ap=ℓ/[2·tan(π/n)] em radianos. Logo A=nℓ²/[4·tan(180°/n)].
O hexágono regular divide-se em seis triângulos equiláteros: A=6·ℓ²√3/4=3ℓ²√3/2. Para ℓ=4, A=24√3 unidades².
Círculo, setor, coroa e segmento circular
A área corresponde ao disco delimitado pela circunferência: A=πR², com R>0. Circunferência é a curva e possui comprimento; círculo ou disco é a região e possui área. Para R=5 cm, A=25π cm².
Se 0≤α≤360 é o valor numérico em graus, Asetor=(α/360)·πR². Para R=4 e α=90, A=4π.
Se 0≤θ≤2π está em radianos, Asetor=R²θ/2. Não substitua graus diretamente.
R>r≥0: Acoroa=π(R²−r²), e não π(R−r)².
A=(α/360)·π(R²−r²), retirando o círculo menor no mesmo setor angular.
As fórmulas dos setores são equivalentes porque θ=πα/180. Para α=90, R=6 e r=2, o setor da coroa mede (1/4)π(36−4)=8π unidades²; a coroa inteira mede 32π.
É a região entre uma corda e seu arco. Para θ em radianos, Asegmento=Asetor−Atriângulo=R²(θ−senθ)/2. Para o segmento maior, subtraia o menor de πR².
Figuras compostas, vazadas e sobrepostas
Divida a região em figuras conhecidas e some áreas disjuntas: Atotal=A₁+A₂+⋯+Aₙ.
Em regiões vazadas, Asombreada=Aexterna−Ainterna.
A(X∪Y)=A(X)+A(Y)−A(X∩Y).
Não some a interseção duas vezes e não suponha tangência ou congruência pela aparência.
Se um círculo está inscrito num quadrado de lado 10, a tangência aos quatro lados garante diâmetro 10 e raio 5. A área externa ao círculo é 100−25π unidades².
Semelhança, conversão de unidades e análise dimensional
Se figuras semelhantes têm razão linear k=comprimento₂/comprimento₁>0, então P₂/P₁=k e A₂/A₁=k². Em Geometria Espacial, volumes variam por k³. Nunca use k como razão de áreas.
Se Amenor=27 e k=4/3 para maior/menor, então Amaior=27·(4/3)²=48.
| Conversão | Equivalência de área |
|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 m² | 10.000 cm² |
| 1 km² | 1.000.000 m² |
| 1 hectare | 10.000 m² |
Como 1 m=100 cm, então 1 m²=(100 cm)²=10.000 cm². Logo 0,08 m²=800 cm², e não 8 cm². No sentido inverso, divida por 10.000.
base×altura, diagonal×diagonal e raio² geram unidade quadrada. Um resultado final em cm ou m não representa área; somar comprimento com área é inválido.
Estratégia de resolução
- Identifique a região cuja área é pedida.
- Registre todas as hipóteses geométricas.
- Escolha uma decomposição.
- Identifique base e altura correspondentes.
- Converta as medidas para a mesma unidade.
- Escolha a fórmula com menos incógnitas.
- Calcule primeiro de forma exata.
- Aproxime apenas se solicitado.
- Escreva a unidade quadrada.
- Verifique a ordem de grandeza.
Pegadinhas
- Área e perímetroSão grandezas diferentes.
- UnidadeÁrea exige unidade quadrada.
- Lado inclinadoNão é automaticamente a altura.
- PerpendicularidadeConfirme a distância de 90° relativa à base.
- Ângulo trigonométricoDeve ser o compreendido.
- HeronExige desigualdades triangulares.
- SemiperímetroCalcule p antes de montar o radical.
- pÉ semiperímetro, não perímetro.
- ApótemaNão é o lado do polígono.
- Polígono irregularNão usa P·ap/2.
- Graus e radianosNão podem ser trocados diretamente.
- CoroaNão é π(R−r)².
- Raio e diâmetroNão são intercambiáveis.
- TangênciaNão se conclui pela aparência.
- SobreposiçãoA interseção não pode ser contada duas vezes.
- EscalaRazão de áreas é k².
- m² para cm²O fator é 10.000.
- Arredondamentoπ e raízes ficam exatos até o final.
Questões resolvidas
1. Triângulo por base e altura
Dados: b=12 cm e h=7 cm, perpendiculares.
A=bh/2=12·7/2.
Resultado: A=42 cm².
Verificação: metade do retângulo 12×7.
2. Dois lados e ângulo
a=8 cm, b=10 cm e C=30° compreendido.
A=ab·sen(C)/2=8·10·(1/2)/2.
Resultado: A=20 cm².
O seno é do ângulo entre os lados dados.
3. Heron
Lados 13 cm,14 cm,15 cm satisfazem as desigualdades.
p=(13+14+15)/2=21 cm.
A=√(21·8·7·6)=√7056.
Resultado: A=84 cm².
4. Trapézio
B=18 cm, b=10 cm, h=7 cm perpendicular.
A=(B+b)h/2=(18+10)·7/2.
Resultado: A=98 cm².
Equivale a base média 14 vezes altura 7.
5. Losango
Diagonais perpendiculares D=24 cm e d=10 cm.
A=Dd/2=24·10/2.
Resultado: A=120 cm².
6. Hexágono regular
Seis lados de ℓ=4 cm.
Seis triângulos equiláteros: A=6·ℓ²√3/4.
A=6·16√3/4.
Resultado exato: A=24√3 cm².
7. Setor de coroa
α=90°, R=6 cm, r=2 cm, círculos concêntricos.
A=(90/360)π(6²−2²).
Resultado exato: A=8π cm².
8. Círculo inscrito no quadrado
Quadrado de lado 10 cm; tangência garante R=5 cm.
Aexterna=10²−π·5².
Resultado exato: 100−25π cm².
Não se aproxima π sem solicitação.
9. Semelhança
Amenor=27 cm² e razão linear maior/menor 4/3.
Amaior/Amenor=(4/3)²=16/9.
Amaior=27·16/9.
Resultado: 48 cm².
10. Escala e conversão combinadas
Amaior=0,72 m² e razão linear menor/maior 1/3.
Amenor=0,72·(1/3)²=0,08 m².
0,08·10.000=800.
Resultado: Amenor=800 cm².
Exercícios
1. A altura relativa a uma base de um triângulo é:
2. Triângulo com b=12 cm e h=7 cm possui área:
3. Um paralelogramo de base 8 cm e altura perpendicular 15 cm possui área:
4. Um círculo de raio 5 cm possui área:
5. Dois lados medem 8 cm e 10 cm e o ângulo compreendido mede 30°. A área é:
6. Um triângulo de lados 13 cm,14 cm,15 cm tem área:
7. Um triângulo equilátero de lado 8 cm tem área:
8. Trapézio com bases 18 cm e 10 cm e altura 7 cm possui área:
9. Um losango — ou deltoide convexo — tem diagonais perpendiculares de 24 cm e 10 cm. Sua área é:
10. Hexágono regular de lado 4 cm possui área:
11. Setor circular de 90° e raio 4 cm possui área:
12. Coroa circular de raios 6 cm e 2 cm possui área:
13. Um círculo está inscrito num quadrado de lado 10 cm. A área do quadrado externa ao círculo é:
14. A conversão correta de 2,5 m² para cm² é:
15. Uma figura tem área 0,72 m². Uma semelhante menor tem razão linear menor/maior 1/3. Sua área é:
Gabarito comentado:
1-B: altura é perpendicular à reta da base e pode ser externa; lado inclinado sem 90° não serve.
2-C: A=bh/2=12·7/2=42 cm²; 84 omite a divisão por 2.
3-A: no paralelogramo, a altura dada é perpendicular à base: A=8·15=120 cm²; o lado inclinado não seria usado.
4-D: A=πR²=π·5²=25π cm²; não se usa diâmetro nem apenas R.
5-B: C=30° é compreendido: A=8·10·sen30°/2=20 cm².
6-C: p=21 e Heron dá √(21·8·7·6)=84 cm²; os lados satisfazem as desigualdades.
7-A: A=ℓ²√3/4=64√3/4=16√3 cm², resultado exato.
8-D: h é perpendicular: A=(18+10)·7/2=98 cm².
9-B: a perpendicularidade permite decompor losango ou deltoide: A=24·10/2=120 cm²; bisseção mútua não é necessária para a área.
10-C: seis equiláteros fornecem A=6·4²√3/4=24√3 cm².
11-A: 90/360=1/4; A=(1/4)π·4²=4π cm².
12-D: A=π(6²−2²)=π(36−4)=32π cm², não π(6−2)².
13-B: “inscrito” garante diâmetro 10 e R=5; diferença=100−25π cm².
14-C: 1 m²=10.000 cm²; 2,5·10.000=25.000 cm².
15-A: áreas variam pelo quadrado: 0,72·(1/3)²=0,08 m²=800 cm².
Resumo final
Região em unidades quadradas versus contorno em unidades lineares.
Devem corresponder e ser perpendiculares.
bh/2, ab·sen(C)/2, Heron e equilátero.
Exige positividade, semiperímetro e desigualdades triangulares.
Use bases, altura, diagonais e ângulo com as hipóteses adequadas.
A=P·ap/2, com apótema verdadeiro.
Círculo, setor, coroa e segmento têm fórmulas distintas.
Decomponha, subtraia vazios e corrija sobreposição.
Razão linear k produz razão de áreas k².
Eleve ao quadrado o fator linear.
Preserve π e raízes até eventual aproximação final.
Confira unidade quadrada e ordem de grandeza.